Статика. Равновесие тел

Лабораторная работа № 5. Изучение равновесия тел под действием нескольких сил Цель работы: - экспериментально установить соотношение между силами, действующими на рычаг, и плечами этих сил, при котором рычаг находится в равновесии; - состоит в проверке утверждения о том, что тело, имеющее закреплённую ось вращения, находится в равновесии, если сумма моментов сил, стремящихся вращать тело по часовой стрелке, равна сумме моментов сил, стремящихся вращать его против часовой стрелки. Оборудование: рычаг с балансиром, груз 100 г (4 шт.), стержень штатива с муфтой, динамометр, укладочный пенал. Дополнительное оборудование: линейка. Теоретическая часть. Основным признаком взаимодействия тел в динамике является возникновение ускорений. Однако часто бывает нужно знать, при каких условиях тело, на которое действует несколько различных сил, не движется с ускорением. Подвесим шар на нити. На шар действует сила тяжести, но не вызывает ускоренного движения к Земле. Этому препятствует действие равной по модулю и направленной в противоположную сторону силы упругости. Сила тяжести и сила упругости уравновешивают друг друга, их равнодействующая равна нулю, поэтому равно нулю и ускорение шара (рис. 1). Рис. 1. Рис. 2. Точку, через которую проходит равнодействующая сил тяжести при любом расположении тела, называют центром тяжести (рис. 2). Раздел механики, изучающий условия равновесия сил, называется статикой. Абсолютно твердым телом называют тело, расстоянием между любыми двумя точками которого неизменно. Равновесие невращающихся тел. Равномерное прямолинейное поступательное движение тела или его покой возможны только при равенстве нулю геометрической суммы всех сил, приложенных к телу. Таким образом, нвращающееся тело находится в равновесии, если геометрическая сумма сил, приложенных к телу, равна нулю. Рис. 3. Рис. 4. Рис. 5. Первое условие равновесия твердого тела: если его тело находится в равновесии, то геометрическая сумма внешних сил, приложенных к нему, равна нулю: F1  F2  F3  ...  Fn  0 (1) Равновесие тел, имеющих ось вращения. В повседневной жизни и технике часто встречаются тела, которые не могут двигаться поступательно, но могут вращаться вокруг оси. Примерами таких тел могут служить двери и окна, колеса автомобиля, качели и т. д. Если вектор силы F лежит на прямой, пересекающей ось вращения, то эта сила уравновешивается силой упругости Fупр со стороны оси вращения (рис. 3). Если же прямая, на которой лежит вектор силы F , не пересекает ось вращения, то эта сила не может быть уравновешена силой упругости со стороны оси вращения, и тело поворачивается вокруг оси (рис. 4). Вращение тела вокруг оси под действием одной силы F1 может быть остановлено действием второй силы F2 . Опыт показывает, что если две силы F1 и F2 по отдельности вызывают вращение тела в противоположных направлениях, то при их одновременном действии тело находится в равновесии, если выполняется условие: F1  d1  F2  d 2 (2) где d1 и d 2 - кратчайшие расстояния от прямых, на которых лежат векторы сил F1 и F2 (линии действия сил), до оси вращения (рис. 5). Длину перпендикуляра d, опущенного из оси вращения на линию действия силы, называют плечом силы. Моментом силы относительно оси вращения тела называется взятое со знаком «плюс» или «минус» произведение модуля силы на ее плечо. Момент силы F обозначается буквой M: M  F  d (3) Будем считать момент силы F положительным, если в отсутствие других сил она может вызвать поворот тела против часовой стрелки, и отрицательным, если F при тех же условиях может повернуть тело по часовой стрелке. За единицу вращающего момента в СИ принимается момент силы в 1 Н, линия действия которой находится на расстоянии 1 м от оси вращения. Эту единицу называют ньютон-метром (Н  м). Второе условие равновесия твердого тела: при равновесии твердого тела сумма моментов всех внешних сил, действующих на него относительно любой оси, равна нулю: M 1  M 2  M 3  ...  M n  0 (4) Общее условие равновесия тела. Объединяя два вывода, можно сформулировать общее условие равновесия тела: тело находится в равновесии, если равны нулю геометрическая сумма векторов всех приложенных к нему сил и алгебраическая сумма моментов этих сил относительно оси вращения. При выполнении общего условия равновесия тело необязательно находится в покое. Согласно второму закону Ньютона при равенстве нулю равнодействующей всех сил ускорение тела равно нулю и оно может находиться в покое или двигаться равномерно и прямолинейно. Равенство нулю алгебраической суммы моментов сил не означает также, что при этом тело обязательно находится в покое. На протяжении нескольких миллиардов лет с постоянным периодом продолжается вращение Земли вокруг оси именно потому, что алгебраическая сумма моментов сил, действующих на Землю со стороны других тел, очень мала. По той же причине продолжает вращение с постоянной частотой раскрученное велосипедное колесо, и только внешние силы останавливают это вращение. Два условия равновесия твердого тела являются необходимыми и достаточными для равновесия твердого тела. Если же тело не абсолютно твердое, то под действием приложенных к нему внешних сил оно может и не находиться в равновесии, хотя сумма внешних сил и сумма их моментов относительно любой оси равна нулю. Это происходит, потому что под действием внешних сил тело может деформироваться и сумма всех сил, действующих на каждый его элемент, в этом случае не будут равна нулю. Приложим, например, к концам резинового шнура две силы, равные по модулю и направленные вдоль шнура в противоположные стороны. Под действием этих сил шнур не будет находиться в равновесии (шнур растягивается), хотя сумма внешних сил равна нулю и равна нулю сумма их моментов относительно оси, проходящей через любую точку шнура. Виды равновесия. В практике большую роль играет не только выполнение условия равновесия тел, но и качественная характеристика равновесия, называемая устойчивостью. Различают три вида равновесия тел: - устойчивое, - неустойчивое - безразличное. Равновесие называется устойчивым, если после небольших внешних воздействий тело возвращается в исходное состояние равновесия. Это происходит, если при небольшом смещении тела в любом направлении от первоначального положения равнодействующая сил, действующих на тело, становится отличной от нуля и направлена к положению равновесия. В устойчивом равновесии находится, например, шар на дне углубления (рис. 6). Рис. 6. Рис. 7. Рис. 8. Равновесие называется неустойчивым, если при небольшом смещении тела из положения равновесия равнодействующая приложенных к нему сил отлична от нуля и направлена от положения равновесия (рис. 7). Если при небольших смещениях тела из первоначального положения равнодействующая приложенных к телу сил остается равной нулю, то тело находится в состоянии безразличного равновесия. В безразличном равновесии находится шар на горизонтальной поверхности (рис. 8). Тело, имеющее неподвижную ось вращения, находится в устойчивом равновесии, если его центр тяжести расположен ниже оси вращения и находится на вертикальной прямой, проходящей через ось вращения (рис. 9, а). При небольшом отклонении от этого положения равновесия алгебраическая сумма моментов сил, действующих на тело, становится отличной от нуля, и возникающий момент сил поворачивает тело к первоначальному положению равновесия (рис. 9, б). Рис. 9. Рис. 10. Если же центр тяжести находится на вертикальной прямой, проходящей через ось вращения, но расположен выше оси вращения, то равновесие неустойчивое (рис. 10, а, б). Тело находится в безразличном равновесии, когда ось вращения тела проходит через его центр тяжести (рис. 11). Равновесие тела на опоре. Если вертикальная линия, проведенная через центр тяжести С тела, пересекает площадь опоры, то тело находится в равновесии (рис. 12). Если же вертикальная линия, проведенная через центр тяжести, не пересекает площадь опоры, то тело опрокидывается (рис. 13). Рис. 11. Рис. 12. Рис. 13. Практическая часть. Работа предназначена для формирования более целостного представления о действии рычага и разновидностях его конструкции. Работа состоит из двух частей. В первой части экспериментально подтверждается условие равновесия рычага, а во второй части – второе условие равновесия. Перед началом выполнения работы внимательно прочитайте ход работы. 1. Соберите экспериментальную установку. Из укладочного пенала извлекают необходимое для работы оборудование, крышку пенала устанавливают на место. Рычаг прикрепляют крепежным винтом муфты к штативу, как и предусмотрено его конструкцией. Вид этой установки показан на рисунке 14. Убедитесь в том, что рычаг может вращаться вокруг оси без заметного трения. Перемещая ползунок вдоль рычага, найдите такое положение, при котором рычаг располагался бы на оси горизонтально. (Балансиром рычаг приводят в равновесие.). Рис. 14. Затем слева и справа от оси к рычагу подвешивают грузы, а отверстия для подвеса грузов выбирают так, чтобы рычаг оставался в равновесии. На каждой из сторон грузы должны быть повешены только к одному отверстию. Результаты опыта заносят в таблицу. 2. Ход работы. Для записи результатов измерений и вычислений подготовьте таблицу 1. Таблица 1. № опыта F1 , Н l1 , см M1, Н  м F2 , Н l2 , см M2, Н  м F1 F2 l2 l1 1. 2. 3. 4. 5. В таблице 1 обозначено: F1 - сила, стремящаяся вращать рычаг против часовой стрелки; F2 - сила, стремящаяся, вращать рычаг по часовой стрелке; l1 - плечо силы F1 ; l2 - плечо силы F2 . 1. К правой части рычага подвесьте два груза, используя для подвеса второе отверстие, справа от оси (рис. 15). Рис. 15. К левой части рычага подвесьте два груза. Место подвески этого груза определите экспериментально так, что бы рычаг сохранил равновесие. С помощью линейки измерьте плечи сил. Занесите данные первого опыта в первую строчку таблицы 1. При этом нужно учесть, что сила, стремящаяся вращать рычаг, равна весу грузов, которые подвешены. Вес грузов определяют с помощью динамометра. 2. К левой части рычага к первому отверстию от оси подвесьте три груза. К правой части рычага подвесьте один груз, выбрав место их подвески так, чтобы равновесие рычага сохранилось. Определите плечи и величины сил, приложенных к рычагу в этом опыте. Данные занесите во вторую строчку таблицы 1. 3. Повторите опыт, оставив без изменения плечо силы, а количество грузов уменьшите до одного. Сколько грузов и куда их надо подвесить к правой части рычага, чтобы равновесие рычага сохранилось. Определите плечи и величины сил, приложенных к рычагу в третьем опыте. Данные занесите в третью строчку таблицы 1. 4. К левой части рычага подвесьте два груза, используя для подвеса третье отверстие. Прикрепите динамометр ко второму отверстию справа от оси, как показано на рисунке 16, и, потянув за него вниз, верните рычаг в исходное положение. Рис. 16. По показанию динамометра определите величину силы F, которую необходимо было приложить к рычагу, чтобы вернуть его в равновесие. Измерьте линейкой плечи сил, приложенных к рычагу со стороны грузов и динамометра. Определите плечи и величины сил, приложенных к рычагу в четвертом опыте. Данные занесите в четвертую строчку таблицы 1. 5. Затем силы прикладывают к одной из сторон рычага. Ко второму отверстию справа прикладывают три груза, а динамометр прикрепляют к третьему отверстию, как показано на рисунке 17. По показанию динамометра определите величину силы F, которую необходимо было приложить к рычагу, чтобы вернуть его в равновесие. Измерьте линейкой плечи сил, приложенных к рычагу со стороны грузов и динамометра. Определите плечи и величины сил, приложенных к рычагу в пятом опыте. Данные занесите в пятую строчку таблицы 1. Рис. 17. 6. Для каждого опыта вычислите отношение сил F1 , прилагавшихся к F2 l2 . l1 7. Сделайте вывод о том, в каком отношении должны находиться приложенные к рычагу силы и их плечи, чтобы он находился в равновесии. рычагу и отношение их плеч 8. Для каждого опыта вычислите величины моментов сил M 1 и M 2 по M 1  F1  l1 формулам: (5) M 2  F2  l2 (6) и результаты занесите в таблицу 1. 9. Сравните величины моментов сил, приложенных к рычагу против и по часовой стрелке в каждом опыте, и сделайте вывод о справедливости утверждения, которое необходимо было проверить в работе. Вопросы для защиты лабораторной работы. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Что называется плечом силы? Что называется моментом силы? Что принимают за единицу момента силы? Когда момент силы считают положительным, а когда отрицательным? Назовите два условия равновесия твердого тела. Перечислите основные виды равновесия и кратко охарактеризуйте их. Внимательно посмотрите на рисунок 14 и скажите, находиться ли рычаг под действием приложенных сил в равновесии. Ответ поясните. Расстояние между отверстиями считать одинаковыми. Литература 1. Кабардин О. Ф.. Справ. Материалы: Учеб. Пособие для учащихся.-3-е изд.-М.: Просвещение, 1991.-с.:31-35. 2. Мякишев Г. Я.. Физика: Учебн. для 10 кл. общеобразоват. учреждений/ Г. Я. Мякишев, Б. Б. Буховцев, Н. Н. Сотский.-12-е изд.-М.: Просвещение,2004.- с.:129-138. 3. Справочник школьника. Физика/ Сост. Т. Фещенко, В. Вожегова.–М.: Филологическое общество «СЛОВО», ООО «Фирма» «Издательство АСТ», Центр гуманитарных наук при ф -те журналистики МГУ им. М. В. Ломоносова, 1998.–с.:309-312.

Если груз отклонен от вертикалиr на расстояние r, как и при дви-

жении по окружности, то сила F равна той силе, которая вызывала движение груза по окружностиr . Мы получаем возможность срав-

ружности, по которой движется груз, изменялся вследствие влияния сопротивления воздуха медленнее и изменение это незначительно влияло на измерения, следует выбирать его небольшим (порядок

Оценка погрешностей.

Точность измерения: линейка − ∆ r =± 0,0005 м секундомер− ∆ t =± 0,5 с динамометр−∆ F =± 0,05 Н

Подсчитаем погрешность определения периода (если считать, что число n определено точно):

(7%), то есть ma = (0,108± 0,008) Н. С другой стороны, силу F мы измерили со следующей погрешностью:ε F =∆ F F =0 0,1 ,05 Н Н =0,5 (50%)

Такая погрешность измерения, конечно, очень велика. Измерения с такими погрешностями годны только для приблизительных

оценок. Отсюда видно, что отклонение отношение m F a от единицы

может быть существенным при использовании примененных нами способов измерения* .

Лабораторная работа № 6

«Изучение равновесия тел под действием нескольких сил»

Основной целью работы является установление соотношения между моментами сил, приложенных к телу с закрепленной осью вращения при его равновесии. В нашем случае в качестве такого тела мы используем рычаг. Согласно правилу моментов, чтобы такое тело находилось в равновесии, необходимо чтобы алгебраическая сумма моментов сил относительно оси вращения была равна нулю.

Рассмотрим такое тело (в нашем случае рычагr ). На негоr действуют две силы: вес гру-

зов P и сила F (упругости пружины динамометра), чтобы рычаг находился в равновесии и моменты этих сил должны быть равны по модулю медуr собойr . Абсолютные значения

моментов сил F и P определим соответст-

венно: М1 = Рl 1 ; M2 = Fl 2 .

Выводы о погрешности экспериментальной проверки правила мо-

ментов можно сделать сравнив с единицей отношение: M 1 . M2

Средства измерения: линейка (∆l = ±0,0005 м), динамометр (∆F =

±0,05 H). Массу грузов из набора по механике полагаем равной

(0,1±0,002) кг.

Выполнение работы

1* Так что вам не следует смущаться, если в этой лабораторной работе отношениеma F будет отличным от единицы. Просто аккуратно оцените все погрешности измерений и сделайте соответствующий вывод.

Вычисления: M1 =Pl 1, M2 = Fl 2

1) M 1 =4H 0,1м=0,4 Н м M2 =1,1H 0,35м=0,385 Н м

M 2 =1,04

2) M 1 =2H 0,2м=0,4 Н м M2 =2,7H 0,1 5м=0,405 Н мM

Поскольку ε р = const и не зависит от количества грузов, ясно, что

лежит в пределах погрешности измерений.

Лабораторная работа № 7

«Изучение закона сохранения механической энергии»

Закон сохранения механической энергии. Полная механическая энергия замкнутой системы тел, взаимодействующих силами тяготения или силами упругости, остается неизменной при любых дви-

жениях тел системы Ер1 + Ек1 = Ер2 + Ек2

Рассмотрим такое тело (в нашем случаеr рычагr ). На не-

го действуют две силы: вес грузов P и сила F (упругости пружины динамометра), чтобы рычаг находился в равновесии и моменты этих сил должны быть равны по модулюr медуr собой. Абсолютные значения момен-

тов сил F и P определим соответственно: М1 = Рl 1 ;

M2 = Fl 2 .

Рассмотрим груз, прикрепленный к упругой пружине таким образом, как показано на рисунке. Вначале удерживаем тело в положении 1, пружина не натянута и сила упругости, действующая на тело

равна нулю. Затем отпускаем тело и оно падает под действием силы тяжести до положения 2, в котором сила тяжести полностью компенсируется силой упругости пружины при удлинении ее на h (тело покоится в этот момент времени).

Рассмотрим изменение потенциальной энергии системы при переходе тела из положения 1 в положение 2. При переходе из положения 1 в положение 2 потенциальная энергия тела уменьшается на величину mgh, а потенциальная энергия пружины возрастает на ве-

личину kh 2 2 .

Целью работы является сравнение этих двух величин. Средства измерения: динамометр с известной заранее жесткостью пружины 40 Н/м, линейка, груз из набора по механике.

Выполнение работы:

откуда видно, что полученное отклонение от единицы лежит в пределах погрешности измерений.

Лабораторная работа № 8

«Измерение ускорения свободного падения с помощью маятника»

Изучая курс физики вам часто приходилось использовать в решении задач и других расчетах значение ускорения свободного падения на поверхности земли. Вы принимали значение g = 9,81 м/с2 , то есть с той точностью, которой вполне достаточно для производимых вами расчетов.

Целью данной лабораторной работы является экспериментальное установление ускорения свободного падения с помощью маятника. Зная формулу периода колебания математического маятника Т =

2π g l можно выразить значение g через величины, доступные про-

стому установлению путем эксперимента и рассчитать g с некото-

рой точностью. Выразим g = 4 π 2 l , гдеl − длина подвеса, а Т− пери-

од колебаний маятника. Период колебаний маятника Т легко определить, измерив время t, необходимое для совершения некоторого

количества N полных колебаний маятника Т = N t . Математическим

маятником называют груз, подвешенный к тонкой нерастяжимой нити, размеры которого много меньше длины нити, а масса − много больше массы нити. Отклонение этого груза от вертикали происходит на бесконечно малый угол, а трение отсутствует. В реальных

условиях формула Т=2π g l имеет приблизительный характер.

Рассмотрим такое тело (в нашем случаеr рычаг). Наr

него действуют две силы: вес грузов P и сила F (упругости пружины динамометра), чтобы рычаг находился в равновесии и моменты этих сил должны быть равны по модулюr медуr собой. Абсолютные

значения моментов сил F и P определим соответственно:

М1 = Рl 1 ; M2 = Fl 2 .

В лабораторных условиях для измерения с некоторой степенью точности можно использовать небольшой, но массивный металлический шарик, подвешенный на нити длиной 1− 1,5 м (или большей, если есть возможность такой подвес разместить) и отклонять его на небольшой угол. Ход работы целиком понятен из описания ее в учебнике.

Средства измерения: секундомер (∆ t =± 0,5 c); линейка или измерительная лента (∆ l =± 0,5 cм)

Выполнение работы:

Статикой называется раздел механики, изучающий условия равновесия тел.

Из второго закона Ньютона следует, что если геометрическая сумма всех внешних сил, приложенных к телу, равна нулю, то тело находится в состоянии покоя или совершает равномерное прямолинейное движение. В этом случае принято говорить, что силы, приложенные к телу, уравновешивают друг друга. При вычислении равнодействующей все силы, действующие на тело, можно прикладывать к центру масс .

Чтобы невращающееся тело находилось в равновесии, необходимо, чтобы равнодействующая всех сил, приложенных к телу, была равна нулю .

На рис. 1.14.1 дан пример равновесия твердого тела под действием трех сил. Точка пересечения O линий действия сил и не совпадает с точкой приложения силы тяжести (центр масс C ), но при равновесии эти точки обязательно находятся на одной вертикали. При вычислении равнодействующей все силы приводятся к одной точке.

Если тело может вращаться относительно некоторой оси, то для его равновесия недостаточно равенства нулю равнодействующей всех сил .

Вращающее действие силы зависит не только от ее величины, но и от расстояния между линией действия силы и осью вращения.

Длина перпендикуляра, проведенного от оси вращения до линии действия силы, называется плечом силы .

Произведение модуля силы на плечо d называется моментом силы M . Положительными считаются моменты тех сил, которые стремятся повернуть тело против часовой стрелки (рис. 1.14.2).

Правило моментов : тело, имеющее неподвижную ось вращения, находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех приложенных к телу сил относительно этой оси равна нулю:

В Международной системе единиц (СИ) моменты сил измеряются в Н ьютон — метрах (Н∙м ) .

В общем случае, когда тело может двигаться поступательно и вращаться, для равновесия необходимо выполнение обоих условий: равенство нулю равнодействующей силы и равенство нулю суммы всех моментов сил.

Катящееся по горизонтальной поверхности колесо – пример безразличного равновесия (рис. 1.14.3). Если колесо остановить в любой точке, оно окажется в равновесном состоянии. Наряду с безразличным равновесием в механике различают состояния устойчивого и неустойчивого равновесия.

Состояние равновесия называется устойчивым, если при малых отклонениях тела от этого состояния возникают силы или моменты сил, стремящиеся возвратить тело в равновесное состояние.

При малом отклонении тела из состояния неустойчивого равновесия возникают силы или моменты сил, стремящиеся удалить тело от положения равновесия.

Шар, лежащий на плоской горизонтальной поверхности, находится в состоянии безразличного равновесия. Шар, находящийся в верхней точке сферического выступа, – пример неустойчивого равновесия. Наконец, шар на дне сферического углубления находится в состоянии устойчивого равновесия (рис. 1.14.4).

Для тела, имеющего неподвижную ось вращения, возможны все три вида равновесия. Безразличное равновесие возникает, когда ось вращения проходит через центр масс. При устойчивом и неустойчивом равновесии центр масс находится на вертикальной прямой, проходящей через ось вращения. При этом, если центр масс находится ниже оси вращения, состояние равновесия оказывается устойчивым. Если же центр масс расположен выше оси – состояние равновесия неустойчиво (рис. 1.14.5).

Особым случаем является равновесие тела на опоре. В этом случае упругая сила опоры приложена не к одной точке, а распределена по основанию тела. Тело находится в равновесии, если вертикальная линия, проведенная через центр масс тела, проходит через площадь опоры , т. е. внутри контура, образованного линиями, соединяющими точки опоры. Если же эта линия не пересекает площадь опоры, то тело опрокидывается. Интересным примером равновесия тела на опоре является падающая башня в итальянском городе Пиза (рис. 1.14.6), которую по преданию использовал Галилей при изучении законов свободного падения тел. Башня имеет форму цилиндра высотой 55 м и радиусом 7 м. Вершина башни отклонена от вертикали на 4,5 м.

Вертикальная линия, проведенная через центр масс башни, пересекает основание приблизительно в 2,3 м от его центра. Таким образом, башня находится в состоянии равновесия. Равновесие нарушится и башня упадет, когда отклонение ее вершины от вертикали достигнет 14 м. По-видимому, это произойдет очень нескоро.

В § 41 мы нашли условие равновесия тела, находящегося под действием трех сил, расположенных под углом друг к другу и приложенных к одной точке. Оказалось, что для этого все три силы должны лежать в одной плоскости и каждая из них должна равняться по модулю и быть обратной по направлению равнодействующей двух других сил.

Рис. 97. Исследование условий равновесия твердого тела под действием трех сил, приложенных к разным точкам тела

Рис. 98. Точка пересечения уравновешивающихся сил может лежать вне тела

Но на практике часто силы оказываются приложенными не в одной точке. Выясним, каковы будут условия равновесия в этом случае. Для этого воспользуемся таким же устройством с тремя гирями, какое мы применяли в § 41, с той разницей, что нити, на которых подвешены гири, будем прикреплять к разным точкам куска легкого картона, как показано на рис. 97. Если масса картона мала по сравнению с массами гирь, то силой тяжести, действующей на картон, можно пренебречь и считать, что к нему приложены только силы натяжения нитей. Опыт покажет, что при равновесии все нити (а значит, и силы, действующие на картон) расположатся в одной плоскости. Отмечая на картоне линии, указывающие направления нитей, и продолжая их до пересечения, убедимся, что все три линии пересекаются в одной точке. Перенося в нее точки приложения всех трех сил натяжения нитей, убедимся, что и в этом случае условие равновесия трех сил, сформулированное выше, оказывается выполненным.

Заметим, что точка пересечения направлений сил не должна при этом обязательно лежать в самом теле (рис. 98).

Рис. 99. Люстра находится в равновесии под действием четырех сил, не лежащих в одной плоскости

Рис. 100, К упражнению 72.2

Если на тело действуют больше чем три силы, то равновесие может наступить и в том случае, когда силы не лежат в одной плоскости. Такой случай (груз, подвешенный на трех тросах) показан на рис. 99.

72.1. Докажите, что при равновесии трех сил ломаная, составленная из них, образует "треугольник.

72.2. Груз массы 5 кг подвешен на двух нитях: одна расположена горизонтально, другая - под углом в 45° к горизонту (рис. 100). Найдите силы натяжения нитей.

72.3. Судно пришвартовано к берегу двумя тросами, образующими с линией берега угол 60° (рис. 101). Под действием ветра, дующего с берега, оба троса натянулись так, что сила натяжения каждого троса составляет 10 кН. Определите силу, с которой ветер давит на судно.

Рис. 101. К упражнению 72.3

Рис. 102. К упражнению 72.4

72.4. На проволоке подвешен груз массы 10 кг; к середине проволоки прикреплена горизонтально расположенная оттяжка, перекинутая через блок (рис. 102). На конец оттяжки подвешен груз массы 2,5 кг. Найдите угол а, который образует верхняя часть проволоки с вертикалью, и силу натяжения верхней части проволоки.

При конструировании различных технических устройств, проектировании инженерных сооружений приходится решать задачи о равновесии тел, на которые действуют силы, расположенные в одной плоскости. Для решения такого класса задач наряду с умением определять проекции сил на координатные оси, необходимо также научиться находить моменты сил относительно некоторых точек. Поскольку все силы расположены в одной плоскости, можно ограничиться понятием алгебраического момента силы относительно некоторой точки. Здесь же встречается понятие опарах сил.

Произвольной плоской системой сил называют совокупность сил, расположенных в одной плоскости и действующих в различных направлениях.

Алгебраическим моментом силы относительно некоторой точки называют алгебраическую величину, равную произведению модуля силы на плечо силы относительно данной точки, взятую с соответствующим знаком. Обозначение имеет вид.

Плечом силы относительно некоторой точки называют кратчайшее расстояние от этой точки до линии действия силы. Другими словами, это длина перпендикуляра, опущенного из точки на линию действия силы. Знак позволяет сравнивать вращательное действие различных сил по отношению к выбранной точке. Принято ставить знак «плюс», если сила стремиться повернуть тело относительно выбранной точки против хода стрелки часов и знак «минус» – в противном случае.

Приведем примеры определения алгебраических моментов силы относительно точки (рис. 3.1). Алгебраическими моментами сил,и, приложенных в точках 1, 2 и 3 относительно точкиО , будут:

;
;
.

Из определения также следует, что, если линия действия силы проходит через заданную точку, то алгебраический момент силы относительно этой точки равен нулю.

Парой сил называют систему двух равных по величине и противоположно направленных сил, не лежащих на одной прямой. Кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары называют плечом пары. Из определения следует, что сумма проекций сил пары на любую ось равна нулю. При решении задач на равновесие тел под действием произвольной плоской системы сил удобно пользоваться понятием алгебраического момента пары сил. Алгебраическим моментом пары сил называют величину, равную произведению модуля одной из сил пары на плечо пары, взятую со знаком «плюс», если пара стремится вращать тело против хода стрелки часов, и со знаком «минус» – в противном случае. Выражения для алгебраических моментов пар сил, приведенных на рис. 3.2 имеют вид:

Пары сил, действующие на абсолютно твердое тело, обладают рядом важных свойств:

1) сумма моментов сил, составляющих пару, относительно любой точки в плоскости действия сил равна алгебраическому моменту этой пары сил (не зависит от выбора точки на плоскости);

2) пары сил, лежащие в одной плоскости и имеющие одинаковые алгебраические моменты, эквивалентны, т.е. оказывают на тело одинаковое воздействие. Из этого следует, что пару сил можно переносить в плоскости ее действия в любую область тела, поворачивать как угодно в этой плоскости, менять одновременно модули сил пары и плечо пары так, чтобы величина алгебраического момента пары оставалась неизменной;

3) несколько пар сил, лежащих в одной плоскости, эквивалентны одной паре, алгебраический момент которой равен сумме алгебраических моментов этих пар.

Перечисленные свойства позволяют изображать пары сил дуговыми стрелками, указывающими направление действия, и задавать при этом численные значения их алгебраических моментов (см. рис. 3.2). Согласно основной теореме статики (теореме Пуансо), произвольную систему сил можно заменить эквивалентной системой, состоящей из одной силы, равной главному вектору системы сил, и одной пары, векторный момент которой равенглавному моменту системы сил относительно некоторой точки – центра приведения. Напомним, что главным вектором системы сил называют геометрическую сумму сил системы, а главным моментом системы сил относительно некоторой точки – геометрическую сумму моментов сил системы относительно этой точки. Поскольку для системы сил, расположенных в одной плоскости, векторные моменты сил относительно любой точки в этой плоскости являются коллинеарными векторами, то главный момент системы сил равен сумме алгебраических моментов сил относительно этой точки. С другой стороны, главный вектор плоской системы сил перпендикулярен плоскости, в которой расположены силы и, следовательно, имеет только не равные нулю проекции на оси координат, расположенные в плоскости действия сил. Условия равновесия – равенства нулю главного вектора и главного момента – произвольной плоской системы сил поэтому могут быть записаны в виде:

(3.1)

где n –количество сил системы;О – центр приведения (в дальнейшем индексы суммирования будем опускать, предполагая, что суммирование производится по всем силам системы);x иy – оси декартовой системы координат, расположенные в плоскости действия сил системы. Условия (3.1) представляют собой аналитические условия равновесия, записанные в первой (основной) форме. Существуют и другие формы условий равновесия, однако при этом накладываются некоторые ограничения на выбор координатных осей или центра приведения. Например, можно использовать и такие условия:

(3.2)

где A иB – любые точки, лежащие в плоскости действия сил, а осьx – ось, не перпендикулярная отрезку
,

или такие условия:

где A ,B иС – любые точки, не лежащие на одной прямой.

Если в условиях равновесия часть сил неизвестна и из них должна быть найдена, тогда эти условия становятся системой линейных алгебраических уравнений. Разрешимость такой системы изучают в линейной алгебре. Следует отметить, что для получения единственного решения число неизвестных сил должно быть равно числу уравнений, а определитель матрицы левой части системы – не равен нулю. Для получения более простых уравнений, с точки зрения решения системы, в качестве центра приведения целесообразно принимать точку пересечения линий действия наибольшего числа неизвестных сил, а оси координат выбирать так, чтобы бỏльшая часть сил была либо параллельна, либо перпендикулярна этим осям. Естественно, что если в плоской системе сил все силы параллельны, то, выбрав одну из осей, параллельной силам, получим, что сумма проекций всех сил на другую ось, перпендикулярную первой, тождественно равна нулю. Таким образом, из трех уравнений равновесия для плоской системы параллельных сил остаются только два. Если же линии действия сил пересекаются в одной точке, то, выбрав ее в качестве центра приведения, получим, что сумма алгебраических моментов всех сил относительно этой точки тождественно равна нулю и для решения задачи остается система двух уравнений. Запишем систему (3.1) в виде:

для 1-го случая

(2.4)

где ось x перпендикулярна силам;

для 2-го случая

(2.5)

Во многих задачах, когда вычисление плеча силы относительно точки затруднено, удобно использовать теорему Вариньона: “Если некоторая система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно любой точки равен сумме моментов всех сил системы относительно той же точки” . Теперь силу можно разложить по линии ее действия на две составляющие и найти сумму моментов этих составляющих относительно выбранной точки. Так, сила, показанная на рис. 3.3, может быть представлена двумя составляющимии
, причем
, а модули этих составляющих равны, соответственно,
и
. На основании приведенной теоремы момент силыотносительно, например, точкиО находят по формуле

гдеa иb , соответственно, плечи сил
иотносительно этой точки.

Часто встречаются задачи, когда на тело действует нагрузка, равномерно распределенная по какой-либо прямой (рис. 3.4.). Ее задаютинтенсивностью q , имеющей размерность Н/м и выражающей силу, приходящуюся на единицу длины участка, на котором эта нагрузка действует. Равномерно распределенную нагрузку можно заменить равнодействующейQ , равной произведению интенсивности на длину участка и приложенной посредине этого участка, т.е.
. Если, например, необходимо определить значение алгебраического момента равномерно распределенной нагрузки (см. рис. 3.4.) относительно точкиO , то используют формулу

.

Для проверки правильности решения задачи записывают дополнительное уравнение, выражающее сумму моментов всех сил относительно любой точки, не использованной при решении задачи. После подстановки в это уравнение найденных значений реакций связей сумма должна быть равной нулю. Наличие погрешностей в вычислениях приводит к тому, что в действительности равенство нулю выполняется неточно. Оценить полученный результат можно с помощью вычисления относительной погрешности, которую определяют, например, по формуле

,

где – модуль полученной суммы;
– сумма положительных слагаемых. Относительная погрешность зависит от точности вычислений, но не должна превышать 1–3 %. Если погрешность велика, то необходимо проверить правильность записи уравнений равновесия и вычислений при решении.