Что такое хи квадрат наблюдаемое. Классические методы статистики: критерий хи-квадрат
В настоящей заметке χ 2 -распределение используется для проверки согласованности набора данных с фиксированным распределением вероятностей. В критерии согласия часто ты, принадлежащие определенной категории, сравниваются с частотами, которые являются теоретически ожидаемыми, если бы данные действительно имели указанное распределение.
Проверка с помощью критерия согласия χ 2 выполняется в несколько этапов. Во-первых, определяется конкретное распределение вероятностей, которое сравнивается с исходными данными. Во-вторых, выдвигается гипотеза о параметрах выбранного распределения вероятностей (например, о ее математическом ожидании) или проводится их оценка. В-третьих, на основе теоретического распределения определяется теоретическая вероятность, соответствующая каждой категории. В заключение, для проверки согласованности данных и распределения применяется тестовая χ 2 -статистика:
где f 0 - наблюдаемая частота, f е - теоретическая, или ожидаемая частота, k - количество категорий, оставшихся после объединения, р - количество оцениваемых параметров.
Скачать заметку в формате или , примеры в формате
Использование χ 2 -критерия согласия для распределения Пуассона
Для расчета по этой формуле в Excel удобно воспользоваться функцией =СУММПРОИЗВ() (рис. 1).
Для оценки параметра λ можно воспользоваться оценкой . Теоретическую частоту X успехов (Х = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и более), соответствующую параметру λ = 2,9 можно определить с помощью функции =ПУАССОН.РАСП(Х;;ЛОЖЬ). Умножив пуассоновскую вероятность на объем выборки n , получим теоретическую частоту f e (рис. 2).
Рис. 2. Фактические и теоретические частоты прибытий в минуту
Как следует из рис. 2, теоретическая частота девяти и более прибытий не превосходит 1,0. Для того чтобы каждая категория содержала частоту, равную 1,0 или большему числу, категорию «9 и более» следует объединить с категорией «8». То есть, остается девять категорий (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и более). Поскольку математическое ожидание распределения Пуассона определяется на основе выборочных данных, количество степеней свободы равно k – р – 1 = 9 – 1 – 1 = 7. Используя уровень значимости, равный 0,05 находим критическое значение χ 2 -статистики, имеющей 7 степеней свободы по формуле =ХИ2.ОБР(1-0,05;7) = 14,067. Решающее правило формулируется следующим образом: гипотеза Н 0 отклоняется, если χ 2 > 14,067, в противном случае гипотеза Н 0 не отклоняется.
Для расчета χ 2 воспользуемся формулой (1) (рис. 3).
Рис. 3. Расчет χ 2 -критерия согласия для распределения Пуассона
Так как χ 2 = 2,277 < 14,067, следует, что гипотезу Н 0 отклонять нельзя. Иначе говоря, у нас нет оснований утверждать, что прибытие клиентов в банк не подчиняется распределению Пуассона.
Применение χ 2 -критерия согласия для нормального распределения
В предыдущих заметках при проверке гипотез о числовых переменных использовалось предположение о том, что исследуемая генеральная совокупность имеет нормальное распределение. Для проверки этого предположения можно применять графические средства, например, блочную диаграмму или график нормального распределения (подробнее см. ). При больших объемах выборок для проверки этих предположений можно использовать χ 2 -критерий согласия для нормального распределения.
Рассмотрим в качестве примера данные о 5-летней доходности 158 инвестиционных фондов (рис. 4). Предположим, требуется поверить, имеют ли эти данные нормальное распределение. Нулевая и альтернативная гипотезы формулируются следующим образом: Н 0 : 5-летняя доходность подчиняется нормальному распределению, Н 1 : 5-летняя доходность не подчиняется нормальному распределению. Нормальное распределение имеет два параметра - математическое ожидание μ и стандартное отклонение σ, которые можно оценить на основе выборочных данных. В данном случае = 10,149 и S = 4,773.
Рис. 4. Упорядоченный массив, содержащий данные о пятилетней среднегодовой доходности 158 фондов
Данные о доходности фондов можно сгруппировать, разбив, например на классы (интервалы) шириной 5% (рис. 5).
Рис. 5. Распределение частот для пятилетней среднегодовой доходности 158 фондов
Поскольку нормальное распределение является непрерывным, необходимо определить площадь фигур, ограниченных кривой нормального распределения и границами каждого интервала. Кроме того, поскольку нормальное распределение теоретически изменяется от –∞ до +∞, необходимо учитывать площадь фигур, выходящих за пределы классов. Итак, площадь, лежащая под нормальной кривой слева от точки –10, равна площади фигуры, лежащей под стандартизованной нормальной кривой слева от величины Z, равной
Z = (–10 – 10,149) / 4,773 = –4,22
Площадь фигуры, лежащей под стандартизованной нормальной кривой слева от величины Z = –4,22 определяется по формуле =НОРМ.РАСП(-10;10,149;4,773;ИСТИНА) и приближенно равна 0,00001. Для того чтобы вычислить площадь фигуры, лежащей под нормальной кривой между точками –10 и –5, сначала необходимо вычислить площадь фигуры, лежащей слева от точки –5: =НОРМ.РАСП(-5;10,149;4,773;ИСТИНА) = 0,00075. Итак, площадь фигуры, лежащей под нормальной кривой между точками –10 и –5, равна 0,00075 – 0,00001 = 0,00074. Аналогично можно вычислить площадь фигуры, ограниченной границами каждого класса (рис. 6).
Рис. 6. Площади и ожидаемые частоты для каждого класса 5-летней доходности
Видно, что теоретические частоты в четырех крайних классах (два минимальных и два максимальных) меньше 1, поэтому проведем объединение классов, как показано на рис 7.
Рис. 7. Вычисления, связанные с применением χ 2 -критерия согласия для нормального распределения
Используем χ 2 -критерий согласия данных с нормальным распределением с помощью формулы (1). В нашем примере после объединения остаются шесть классов. Поскольку математическое ожидание и стандартное отклонение оцениваются на основе выборочных данных, количество степеней свободы равно k – p – 1 = 6 – 2 – 1 = 3. Используя уровень значимости, равный 0,05, находим, что критическое значение χ 2 -статистики, имеющее три степени свободы =ХИ2.ОБР(1-0,05;F3) = 7,815. Вычисления, связанные с применением χ 2 -критерия согласия, приведены на рис. 7.
Видно, что χ 2 -статистика = 3,964 < χ U 2 7,815, следовательно гипотезу Н 0 отклонять нельзя. Иначе говоря, у нас нет оснований утверждать, что 5-летняя доходность инвестиционных фондов, ориентированных на быстрый рост, не подчиняется нормальному распределению.
В нескольких последних заметках рассмотрены разные подходы к анализу категорийных данных. Описаны методы проверки гипотез о категорийных данных, полученных на основе анализа двух или нескольких независимых выборок. Кроме критериев «хи-квадрат», рассмотрены непараметрические процедуры. Описан ранговый критерий Уилкоксона, который используется в ситуациях, когда не выполняются условия применения t -критерия для поверки гипотезы о равенстве математических ожиданий двух независимых групп, а также критерий Крускала-Уоллиса, который является альтернативой однофакторному дисперсионному анализу (рис. 8).
Рис. 8. Структурная схема методов проверки гипотез о категорийных данных
Используются материалы книги Левин и др. Статистика для менеджеров. – М.: Вильямс, 2004. – с. 763–769
Количественное изучение биологических явлений обязательно требует создания гипотез, с помощью которых можно объяснить эти явления. Чтобы проверить ту или иную гипотезу ставят серию специальных опытов и полученные фактические данные сопоставляют с теоретически ожидаемыми согласно данной гипотезе. Если есть совпадениеэто может быть достаточным основанием для принятия гипотезы. Если же опытные данные плохо согласуются с теоретически ожидаемыми, возникает большое сомнение в правильности предложенной гипотезы.
Степень соответствия фактических данных ожидаемым (гипотетическим) измеряется критерием соответствия хи-квадрат:
фактически наблюдаемое значение признака вi- той;теоретически ожидаемое число или признак (показатель) для данной группы,k число групп данных.
Критерий был предложен К.Пирсоном в 1900 г. и иногда его называют критерием Пирсона.
Задача. Среди 164 детей, наследовавших от одного из родителей фактор, а от другогофактор, оказалось 46 детей с фактором, 50с фактором, 68с тем и другим,. Рассчитать ожидаемые частоты при отношении 1:2:1 между группами и определить степень соответствия эмпирических данных с помощью критерия Пирсона.
Решение: Отношение наблюдаемых частот 46:68:50, теоретически ожидаемых 41:82:41.
Зададимся уровнем значимости равным 0,05. Табличное значение критерия Пирсона для этого уровня значимости при числе степеней свободы, равном оказалось равным 5,99. Следовательно гипотезу о соответствии экспериментальных данных теоретическим можно принять, так как, .
Отметим, что при вычислении критерия хи-квадрат мы уже не ставим условия о непременной нормальности распределения. Критерий хи-квадрат может использоваться для любых распределений, которые мы вольны сами выбирать в своих предположениях. В этом есть некоторая универсальность этого критерия.
Еще одно приложение критерия Пирсона это сравнение эмпирического распределения с нормальным распределением Гаусса. При этом он может быть отнесен к группе критериев проверки нормальности распределения. Единственным ограничением является тот факт, что общее число значений (вариант) при пользовании этим критерием должно быть достаточно велико (не менее 40), и число значений в отдельных классах (интервалах) должно быть не менее 5. В противном случае следует объединять соседние интервалы. Число степенй свободы при проверке нормальности распределения должно вычисляться как:.
Критерий Фишера.
Этот параметрический критерий служит для проверки нулевой гипотезы о равенстве дисперсий нормально распределенных генеральных совокупностей.
Или.
При малых объемах выборок применение критерия Стьюдента может быть корректным только при условии равенства дисперсий. Поэтому прежде чем проводить проверку равенства выборочных средних значений, необходимо убедиться в правомочности использования критерия Стьюдента.
где N 1 , N 2 объемы выборок, 1 , 2 числа степеней свободы для этих выборок.
При пользовании таблицами следует обратить внимание, что число степеней свободы для выборки с большей по величине дисперсией выбирается как номер столбца таблицы, а для меньшей по величине дисперсии как номер строки таблицы.
Для уровня значимости по таблицам математической статистики находим табличное значение. Если, то гипотеза о равенстве дисперсий отклоняется для выбранного уровня значимости.
Пример. Изучали влияние кобальта на массу тела кроликов. Опыт проводился на двух группах животных: опытной и контрольной. Опытные получали добавку к рациону в виде водного раствора хлористого кобальта. За время опыта прибавки в весе составили в граммах:
|
Контроль |
|
23. Понятие распределения хи-квадрат и Стьюдента, и графический вид
1) Распределение (хи-квадрат) с n степенями свободы - это распределение суммы квадратов n независимых стандартных нормальных случайных величин.
Распределение (хи – квадрат) – распределение случайной величины (причем математическое ожидание каждой из них равно 0, а среднее квадратическое отклонение-1)
где
случайные величины
независимы
и имеют одно и тоже распределение.
При этом число слагаемых, т.е.,
называется "числом степеней свободы"
распределения хи-квадрат. Число хи-квадрат
опредляется одни параметром-числом
степеней свободы. С увеличением числа
степеней свободы распределение медленно
приближается к нормальному.
Тогда сумма их квадратов
является случайной величиной, распределенной по так называемому закону «хи-квадрат» с k = n степенями свободы; если же слагаемые связаны каким-либо соотношением (например, ), то число степеней свободы k = n – 1.
Плотность этого распределения
Здесь
- гамма-функция; в частности, Г(п + 1) = п!
.
Следовательно, распределение «хи-квадрат» определяется одним параметром – числом степеней свободы k.
Замечание 1. С увеличением числа степеней свободы распределение «хи-квадрат» постепенно приближается к нормальному.
Замечание 2. С помощью распределения «хи-квадрат» определяются многие другие распреде-ления, встречающиеся на практике, например, распределение случайной величины - длины случайного вектора (Х1, Х2,…, Хп), координаты которого независимы и распределены по нормальному закону.
Впервые χ2-распределение было рассмотрено Р.Хельмертом (1876) и К.Пирсоном (1900).
Мат.ожид.=n; D=2n
2) Распределение Стьюдента
Рассмотрим две независимые случайные величины: Z, имеющую нормальное распределение и нормированную (то есть М(Z) = 0, σ(Z) = 1), и V, распределенную по закону «хи-квадрат» с k степенями свободы. Тогда величина
имеет распределение, называемое t – распределением или распределением Стьюдента с k степенями свободы. При этом k называется "числом степеней свободы" распределения Стьюдента.
С возрастанием числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному.
Это распределение было введено в 1908 г. английским статистиком В. Госсетом, работавшем на фабрике, выпускающей пиво. Вероятностно-статистические методы использовались для принятия экономических и технических решений на этой фабрике, поэтому ее руководство запрещало В. Госсету публиковать научные статьи под своим именем. Таким способом охранялась коммерческая тайна, "ноу-хау" в виде вероятностно-статистических методов, разработанных В. Госсетом. Однако он имел возможность публиковаться под псевдонимом "Стьюдент". История Госсета – Стьюдента показывает, что еще сто лет назад менеджерам Великобритании была очевидна большая экономическая эффективность вероятностно-статистических методов принятия решений.
1. Сопоставляемые показатели должны быть измерены в номинальной шкале (например, пол пациента - мужской или женский) или в порядковой (например, степень артериальной гипертензии, принимающая значения от 0 до 3).
2. Данный метод позволяет проводить анализ не только четырехпольных таблиц, когда и фактор, и исход являются бинарными переменными, то есть имеют только два возможных значения (например, мужской или женский пол, наличие или отсутствие определенного заболевания в анамнезе...). Критерий хи-квадрат Пирсона может применяться и в случае анализа многопольных таблиц, когда фактор и (или) исход принимают три и более значений.
3. Сопоставляемые группы должны быть независимыми, то есть критерий хи-квадрат не должен применяться при сравнении наблюдений "до-"после". В этих случаях проводится тест Мак-Немара (при сравнении двух связанных совокупностей) или рассчитывается Q-критерий Кохрена (в случае сравнения трех и более групп).
4. При анализе четырехпольных таблиц ожидаемые значения в каждой из ячеек должны быть не менее 10. В том случае, если хотя бы в одной ячейке ожидаемое явление принимает значение от 5 до 9, критерий хи-квадрат должен рассчитываться с поправкой Йейтса . Если хотя бы в одной ячейке ожидаемое явление меньше 5, то для анализа должен использоваться точный критерий Фишера .
5. В случае анализа многопольных таблиц ожидаемое число наблюдений не должно принимать значения менее 5 более чем в 20% ячеек.
Для расчета критерия хи-квадрат необходимо:
1. Рассчитываем ожидаемое количество наблюдений для каждой из ячеек таблицы сопряженности (при условии справедливости нулевой гипотезы об отсутствии взаимосвязи) путем перемножения сумм рядов и столбцов с последующим делением полученного произведения на общее число наблюдений. Общий вид таблицы ожидаемых значений представлен ниже:
| Исход есть (1) | Исхода нет (0) | Всего | |
| Фактор риска есть (1) | (A+B)*(A+C) / (A+B+C+D) | (A+B)*(B+D)/ (A+B+C+D) | A + B |
| Фактор риска отсутствует (0) | (C+D)*(A+C)/ (A+B+C+D) | (C+D)*(B+D)/ (A+B+C+D) | C + D |
| Всего | A + C | B + D | A+B+C+D |
2. Находим значение критерия χ 2 по следующей формуле:
где i – номер строки (от 1 до r), j – номер столбца (от 1 до с), O ij – фактическое количество наблюдений в ячейке ij, E ij – ожидаемое число наблюдений в ячейке ij.
В том случае, если число ожидаемого явления меньше 10 хотя бы в одной ячейке, при анализе четырехпольных таблиц должен рассчитываться критерий хи-квадрат с поправкой Йейтса . Данная поправка позволяет уменьшить вероятность ошибки первого типа, т.е обнаружения различий там, где их нет. Поправка Йейтса заключается в вычитании 0,5 из абсолютного значения разности между фактическим и ожидаемым количеством наблюдений в каждой ячейке, что ведет к уменьшению величины критерия хи-квадрат.
Формула для расчета критерия χ 2 с поправкой Йейтса следующая:
3. Определяем число степеней свободы по формуле: f = (r – 1) × (c – 1) . Ссответственно, для четырехпольной таблицы, в которой 2 ряда (r = 2) и 2 столбца (c = 2), число степеней свободы составляет f 2x2 = (2 - 1)*(2 - 1) = 1.
4. Сравниваем значение критерия χ 2 с критическим значением при числе степеней свободы f (по таблице).
Данный алгоритм применим как для четырехпольных, так и для многопольных таблиц.
Как интерпретировать значение критерия хи-квадрат Пирсона?
В том случае, если полученное значение критерия χ 2 больше критического, делаем вывод о наличии статистической взаимосвязи между изучаемым фактором риска и исходом при соответствующем уровне значимости.
Пример расчета критерия хи-квадрат Пирсона
Определим статистическую значимость влияния фактора курения на частоту случаев артериальной гипертонии по рассмотренной выше таблице:
1. Рассчитываем ожидаемые значения для каждой ячейки:
2. Находим значение критерия хи-квадрат Пирсона:
χ 2 = (40-33.6) 2 /33.6 + (30-36.4) 2 /36.4 + (32-38.4) 2 /38.4 + (48-41.6) 2 /41.6 = 4.396.
3. Число степеней свободы f = (2-1)*(2-1) = 1. Находим по таблице критическое значение критерия хи-квадрат Пирсона, которое при уровне значимости p=0.05 и числе степеней свободы 1 составляет 3.841.
4. Сравниваем полученное значение критерия хи-квадрат с критическим: 4.396 > 3.841, следовательно зависимость частоты случаев артериальной гипертонии от наличия курения - статистически значима. Уровень значимости данной взаимосвязи соответствует p<0.05.
| Число степеней свободы, f | χ 2 при p=0.05 | χ 2 при p=0.01 |
| 3.841 | 6.635 | |
| 5.991 | 9.21 | |
| 7.815 | 11.345 | |
| 9.488 | 13.277 | |
| 11.07 | 15.086 | |
| 12.592 | 16.812 | |
| 14.067 | 18.475 | |
| 15.507 | 20.09 | |
| 16.919 | 21.666 | |
| 18.307 | 23.209 | |
| 19.675 | 24.725 | |
| 21.026 | 26.217 | |
| 22.362 | 27.688 | |
| 23.685 | 29.141 | |
| 24.996 | 30.578 | |
| 26.296 | ||
| 27.587 | 33.409 | |
| 28.869 | 34.805 | |
| 30.144 | 36.191 | |
| 31.41 | 37.566 |
Описание критерия
Назначения критерия
Критерий «хи-квадрат» Пирсона
Материалы лекции
Тема 6. Выявление различий в распределении признака
Критерий Пирсона: назначение критерия, его описание, область применения, алгоритм расчета.
Критерий Колмогорова–Смирнова для сравнения результатов количественного измерения: назначение критерия, его описание, область применения, алгоритм расчета.
При изучении данной темы необходимо учесть то, что оба критерия непараметрические, они оперируют частотами. Обратите особое внимание на правила принятия решения для рассмотренных критериев: эти правила могут быть противоположны. Внимательно изучите ограничения в применении критериев.
После изучения материала лекции ответьте на контрольные вопросы, ответы занесите в конспект.
Критерий «хи-квадрат» Пирсона может решать несколько задач, в том числе и сравнение распределений.
Критерий χ 2 применяется в двух целях;
1) для сопоставления эмпирического распределения признака с теоретическим - равномерным, нормальным или каким-то иным;
2) для сопоставления двух, трех или более эмпирических распределений одного и того же признака, то есть для проверки их однородности;
3) для оценки стохастической (вероятностной) независимости в системе случайных событий и т.д.
Критерий χ 2 отвечает на вопрос о том, с одинаковой ли частотой встречаются разные значения признака в эмпирическом и теоретическом распределениях или в двух и более эмпирических распределениях.
Преимущество метода состоит в том, что он позволяет сопоставлять распределения признаков, представленных в любой шкале, начиная от шкалы наименований. В самом простом случае альтернативного распределения ("да - нет", "допустил брак - не допустил брака", "решил задачу - не решил задачу" и т. п.) мы уже можем применить критерий χ 2 .
1. Объем выборки должен быть достаточно большим: N>30. При N<30 критерий χ 2 дает весьма приближенные значения. Точность критерия повышается при больших N.
2. Теоретическая частота для каждой ячейки таблицы не должна быть меньше 5: f ≥ 5. Это означает, что если число разрядов задано заранее и не может быть изменено, то мы не можем применять метод χ 2 , не накопив определенного минимального числа наблюдений. Если, например, мы хотим проверить наши предположения о том, что частота обращений в телефонную службу Доверия неравномерно распределяются по 7 дням недели, то нам потребуется 5-7=35 обращений. Таким образом, если количество разрядов (k) задано заранее, как в данном случае, минимальное число наблюдений (N min) определяется по формуле: .
3. Выбранные разряды должны "вычерпывать" все распределение, то есть охватывать весь диапазон вариативности признаков. При этом группировка на разряды должна быть одинаковой во всех сопоставляемых распределениях.
4. Необходимо вносить "поправку на непрерывность" при сопоставлении распределений признаков, которые принимают всего 2 значения. При внесении поправки значение χ 2 , уменьшается (см. пример с поправкой на непрерывность).
5. Разряды должны быть неперекрещивающимися: если наблюдение отнесено к одному разряду, то оно уже не может быть отнесено ни к какому другому разряду. Сумма наблюдений по разрядам всегда должна быть равна общему количеству наблюдений.
Алгоритм расчета критерия χ 2
1. Составить таблицу взаимной сопряженности значений признаков следующего вида (по сути это двумерный вариационный ряд, в котором указываются частоты появления совместных значений признака) - таблица 19. В таблице располагаются условные частоты, которые мы обозначим в общем виде как f ij . Например, число градаций признака х равно 3 (k=3), число градаций признака у равно 4 (m=4); тогда i меняется от 1 до k, а j меняется от 1 до m.
Таблица 19
| х i у j | х 1 | х 2 | х 3 | ∑ |
| у 1 | f 11 | f 21 | f 31 | f –1 |
| у 2 | f 12 | f 22 | f 32 | f –2 |
| у 3 | f 13 | f 23 | f 33 | f –3 |
| у 4 | f 14 | f 24 | f 34 | f –4 |
| ∑ | f 1– | f 2– | f 3– | N |
2. Далее для удобства расчетов преобразуем исходную таблицу взаимной сопряженности в таблицу следующего вида (таблица 20), располагая столбики с условными частотами один под другим: Занести в таблицу наименования разрядов (столбцы 1 и 2) и соответствующие им эмпирические частоты (3-й столбец).
Таблица 20
| х i | у j | f ij | f ij * | f ij – f ij * | (f ij – f ij *) 2 | (f ij – f ij *) 2 / f ij * |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| х 1 | у 1 | f 11 | f 11 * | |||
| х 1 | у 2 | f 12 | f 12 * | |||
| х 1 | у 3 | f 13 | f 13 * | |||
| х 1 | у 4 | f 14 | f 14 * | |||
| х 2 | у 1 | f 21 | f 21 * | |||
| х 2 | у 2 | f 22 | f 22 * | |||
| х 2 | у 3 | f 23 | f 23 * | |||
| х 2 | у 4 | f 24 | f 24 * | |||
| х 3 | у 1 | f 31 | f 31 * | |||
| х 3 | у 2 | f 32 | f 32 * | |||
| х 3 | у 3 | f 33 | f 33 * | |||
| х 3 | у 4 | f 34 | f 34 * | |||
| ∑=…………. |
3. Рядом с каждой эмпирической частотой записать теоретическую частоту (4-й столбец), которая вычисляется по следующей формуле (итоговая частоты по соответствующей строчке умножается на итоговую частоту по соответствующему столбику и делится на общее количество наблюдений):
5. Определить число степеней свободы по формуле: ν=(k-1)(m-1) , где k - количество разрядов признака х , m - количество разрядов признака у .
Если ν=1, внести поправку на "непрерывность" и записать её в столбце 5а.
Поправка на непрерывность состоит в том, что от разности между условной и теоретической частотой отнимается еще 0,5. Тогда заголовки столбиков в нашей таблице будет выглядеть следующим образом (таблица 21):
Таблица 21
| х | у | f ij | f ij * | f ij – f ij * | f ij – f ij * – 0,5 | (f ij – f ij * – 0,5) 2 | (f ij – f ij * – 0,5) 2 / f ij * |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 5а | 6 | 7 |
6. Возвести в квадрат полученные разности и занести их в 6-й столбец.
7. Разделить полученные квадраты разностей на теоретическую частоту и записать результаты в 7-й столбец.
8. Просуммировать значения 7-го столбца. Полученную сумму обозначить как χ 2 эмп.
9. Правило принятия решения:
Расчетное значение критерия необходимо сравнить с критическим (или табличным) значением. Критическое значение находится в зависимости от числа степеней свободы по таблице критических значений критерия χ 2 Пирсона (см. Приложение 1.6).
Если χ 2 расч ≥ χ 2 табл, то расхождения между распределениями статистически достоверны, или признаки изменяются согласованно, или связь между признаками статистически значима.
Если χ 2 расч < χ 2 табл, то расхождения между распределениями статистически недостоверны, или признаки изменяются несогласованно, или связи между признаками нет.