Синергетический подход к анализу и управлению электоральным поведением.

Архетип коллективного бессознательного - странный аттрактор

Итак, архетипы коллективного бессознательного являются двигателями политических процессов. Как пишет В. Одайник, «архетип - организующий принцип, стоящий за психологическими феноменами» Одайник В. Психология политики. Политические и социальные идеи Карла Густава Юнга. М.: Ювента, 1996. С.27..

В предыдущем разделе было приведено достаточно доводов в пользу того, что коллективное бессознательное вполне является нелинейной системой (средой). А в открытых нелинейных системах (средах) организующими принципами выступают аттракторы. Напомним, что аттрактор - это точка или множество в фазовом пространстве, к которым притягиваются все траектории из некоторой окрестности аттрактора, называемой также областью, или бассейном, притяжения. Траектории, выйдя из начальных состояний, в конце концов приближаются к аттракторам. Аттрактор обозначает активные устойчивые центры потенциальных путей эволюции системы, способные притягивать и организовывать окружающую среду.

Мы уже рассматривали, что существуют несколько типов (классов) аттракторов: точечные, периодические, квазипериодические (аттрактор тора) и странные. Попытаемся уточнить, какой из этих типов больше подходит для моделирования архетипов.

Обратимся еще раз к трактовке странного аттрактора применительно к социальной среде, предложенной Капустиным В.С. в работе «Введение в теорию социальной самоорганизации».

Явление аттрактора в социальной системе можно определить как такое будущее состояние изменяющейся системы, которого еще не знает настоящее, но прошлое уже там присутствует и распоряжается. Это означает, что в различных временных рядах нелинейности отдельные события прошлого могут опережать настоящее и подстерегать нас из будущего.

Любой акт деятельности всегда полифункционален и многозначен, но субъектом действия осознается только с точки зрения его цели, оставляя вне внимания иные проявления, каждое из которых существует в своей логике. Результаты, находящиеся за пределами осознания субъекта деятельности, как правило, не принадлежат ему, а значит, не интересны ему и не контролируются им (пространство эпифеноменов). Эпифеномен - явление, сопутствующее в качестве побочного продукта другим, фундаментальным явлениям, но не оказывающее на них прямого воздействия. Это самостоятельное пространство эпифеноменов можно сравнить с безбрежным морем бесчисленных смыслов: мудрец - рыбак в безбрежном море бытия, как рыб вылавливает смыслы. Каждый этнос, исходя из условий своего проживания и в соответствии с национальными особенностями мышления, кодирует смысл по-своему, что бы он был понятен, узнаваем, что бы его можно было передавать, т.е. декодировать при коммуникации, запустить в «эстафету поведения».

Аттрактор - это проявившийся из эвентуального будущего вектор последующих изменений, - это или мобилизующий и структурирующий образ будущего, или образ грядущей катастрофы, ускоряющий процессы распада. Понять аттрактор, значит, создать условия для прогнозирования развития, моделирования поведения и оптимального управления процессами. Бездумная, эгоистичная или коррумпированная власть может предлагать из своего настоящего любые векторы развития, но все они будут формальны. Аттрактор неумолимо «назначит» свой сценарий развития. Империи, державы, династии стремительно рушились, когда пространство эпифеноменов не транслировало или транслировало в социумы негативные образы будущего. Мировая практика показывает, что видение позитивного будущего - один из важнейших источников социальной энергии. Капустин В.С. Введение в теорию социальной самоорганизации: учебное пособие. Web: http://spkurdyumov.narod.ru/Kapustin12.htm

Пространство эпифеноменов это та же действительность, только нелинейно-целостно мыслимая. Там та же реальность действий (практик), только они не завершаются, как в мире феноменов с достижением ожидаемых результатов, которые, впрочем, всегда есть иллюзия достижения, а продолжают делиться, размножаться каждое мгновение и в каждой точке, разлетаясь в континуумы будущих альтернатив. Это не параллельный и даже не виртуальный мир, а инобытие нашего же мира, в котором обитают смыслы, обладающие свойством безвременности и бесконечности. В этом пространстве спрятана вечная тайна вневременного сопряжения практик, формирования будущих векторов движения социумов, там пишутся черновики бесчисленных сценариев для постановки их в мире феноменов.

Данные положения в первую очередь реализовались в психологии, речь идет о таком ее направлении, как трансперсональная психология, изучающая трансперсональные переживания и связанные с ними явления. Только здесь понятие эпифеноменов преобразовано в понятие коллективного бессознательного, социального бессознательного. Мифологические мотивы активно используются в политике и ПР, но не до конца и не всеми технологами осознается действительная мощь мифа, коллективного бессознательного, архетипа.

К.Г. Юнг неоднократно подчеркивал, что «Содержимое коллективного бессознательного, представленное архетипами, с которыми мы сталкиваемся при любом контакте с массовыми феноменами, всегда биполярно: оно имеет как положительную, так и отрицательную стороны. Любое проявление архетипа делает ситуацию критической, так что невозможно предвидеть ее развитие» Одайник В. Психология политики. Политические и социальные идеи Карла Густава Юнга. М.: Ювента, 1996. С.321.. Таким образом, прослеживаются явные параллели между архетипами и странными аттракторами. Странные аттракторы определяют хаотические режимы. Предсказать поведение траекторий хаотических систем на длительное время невозможно. Странные аттракторы в противоположность циклам или точечным аттракторам описывают движение, которое не станет периодическим (а значит предсказуемым), сколько бы мы ни ждали.

Академик Е.А. Файдыш выстраивает такую логическую цепочку: «Одной из особенностей архетипа является невозможность его однозначного описания или определения. Сколько бы мы не пытались выразить его в виде текста, он всегда будет несоизмеримо сложнее и глубже. Именно поэтому могут быть осознаны только отдельные «тени», проекции, но никогда - он весь целиком.

В недавнее время математиками были открыты объекты очень сходные с ними. Это фрактальные множества и странные аттракторы. Как архетип невозможно задать перечислением его элементов, также и фрактал. Каждый элемент архетипа обладает не меньшей сложностью, чем целое, то же можно сказать и о фрактале. И наконец - самоподобие. Каждый элемент несет и информацию о целом. Этим свойством обладают как архетип, так и фрактал. И еще одно интересное свойство. Фракталы обычно имеют дробную размерность, т.е. как бы находятся между разными пространственными измерениями. Как уже говорилось, об аналогичных свойствах архетипов догадывались в глубокой древности. Интересно, что даже геометрические образы, использовавшиеся для изображения архетипов в древности, очень напоминают фракталы. Это янтры и мандалы» Файдыш Е.А. Сверхсознание. М.: Прогресс, 1993. С. 62-63..

Таким образом, развертывание политической ситуации, особенно если речь идет о динамичных массовых процессах, часто объясняется и обеспечивается действием архетипической модели. Как было нами выяснено, в теории нелинейных динамических систем архетипам соответствуют странные (фрактальные) аттракторы. Следовательно, моделирование политических процессов, в том числе динамики общественного сознания и электорального поведения, «субъектом» самоорганизации которых выступает архетип, оптимально с использованием фрактальных объектов (странных аттракторов, фрактальных временных рядов). Эта аналогия намечает сближение обычно разнесенных синергетического и психологического подходов к пониманию, интерпретации политических процессов. Если политический процесс движим архетипическими силами (моделируемыми странными аттракторами), это означает, что до определенной степени (в математике - внутри области странного аттрактора) процесс иррационален, неподвластен логике, непредсказуем. То есть, иррациональность - имманентное свойство многих политических явлений. Однако иррациональность не означает полную неуправляемость, точнее, иррациональность подразумевает невозможность полной управляемости, невозможность предсказуемо навязывать свою волю, манипулировать человеком и обществом. Понимание сути иррационального политического процесса позволяет «подталкивать» его в некотором направлении, но не более того.

Можно сформулировать следующие гипотезы, расширяющие синергетическую теорию аттракторов:

1. Нахождение в зоне притяжения определенного аттрактора сопровождается совершенно определенными событиями, качественно характеризующими параметры состояния аттрактора.

2. Эти события с логической точки зрения могут быть никак не связаны между собой.

3. События, обязанные своим происхождением пребыванию человека в зоне некоторого аттрактора, несмотря на отсутствие логической каузальности, все-таки достаточно сильно коррелированы, то есть фрактальны. Когда мы говорили о фрактальных объектах, мы проводили аналогию с твердыми телами, в которых (в отличие от газа) молекулы жестко связаны между собой.

4. По мере приближения к аттрактору компоненты, характеризующие ключевые свойства аттрактора, усиливаются в происходящих с человеком событиях.

5. Человек регулярно попадает в точки (зоны) потери устойчивости. В этих точках эволюционирующие системы испытывают на себе влияние со стороны различных аттракторов той нелинейной среды, в которой они находятся. Об этом свидетельствуют происходящие в течение небольшого отрезка времени разноплановые (порожденные бассейнами разных аттракторов) события - упрощенно, радостные и грустные. В таких точках человек делает выбор, к какому аттрактору он двинется дальше. По всей видимости, выбор осуществляется посредством резонансного возбуждения структур, близких к одному из аттракторов.

6. Вероятно, существуют некоторый набор действий, позволяющий выйти из зоны притяжения неблагоприятного аттрактора.

Мы предполагаем, что эти закономерности применимы и в политической практике. Внимательно наблюдая за событиями, сопутствующими деятельности в политической сфере, можно постоянно получать информацию о том, в каком направлении движется ситуация и, возможно, предпринимать меры по ее корректировке; уловить еле заметное, но способное изменить всю картину, перестроиться на правильный аттрактор, то есть направить к лучшему из возможных вариантов, - остальное самоорганизуется. Таким образом, можно существенно повысить эффективность и снизить «издержки» политической жизни. Подчеркнем, что в отличие от традиционного мониторинга ситуации, здесь идет речь о более широком взгляде, когда мы принимаем во внимание не только события, объединенные логической цепочкой.

Констатируя кредо синергетики как новое мировидение, Е.Н. Князева, в частности, подчеркивает, что она «не только синтезирует фрагменты обыденного и отчасти научного дисциплинарно разбросанного знания, но даже связывает эпохи - древность с современностью, с современными достижениями науки - принципиально различные, восточный и западный способы мышления мировосприятия (от Востока она берет идею целостного мира, от Запада - традицию анализа, эксперимент)». Шалаев В.П. Синергетика человека, общества, природы: управленческий аспект: Учебное пособие. Йошкар-Ола: Марийский государственный технический университет, 2000. С.26.

При этом мифологические мотивы, также воздействующие на политический расклад, вполне адекватно вписываются в синергетическое мировоззрение. То есть процессы, развивающиеся с использованием таких мотивов, подчинены закономерностям, обнаруженными синергетикой.

Исчерпывающей теории возникновения турбулентности в различных типах гидродинамических течений в настоящее время еще не существует. Был выдвинут, однако, ряд возможных сценариев процесса хаотизации движения, основанных главным образом на компьютерном исследовании модельных систем дифференциальных уравнений, и частично подтвержденных реальными гидродинамическими экспериментами. Дальнейшее изложение в этом и следующем параграфах имеет своей целью лишь дать представление об этих идеях, не входя в обсуждение соответствующих компьютерных и экспериментальных результатов. Отметим лишь, что экспериментальные данные относятся к гидродинамическим движениям в ограниченных объемах; именно такие движения мы и будем иметь в виду ниже.

Прежде всего сделаем следующее общее важное замечание. При анализе устойчивости периодического движения интересны лишь те мультипликаторы, которые по модулю близки к 1 - именно они при небольшом изменении R могут пересечь единичную окружность. Для течения вязкой жидкости число таких «опасных» мультипликаторов всегда конечно по следующей причине. Допускаемые уравнениями движения различные типы (моды) возмущений обладают разными пространственными масштабами (т. е. длинами расстояний, на которых существенно меняется скорость ).

Чем меньше масштаб движения, тем больше градиенты скорости в нем и тем сильнее оно тормозится вязкостью. Если расположить допустимые моды в порядке убывания их масштабов, то опасным может оказаться только некоторое конечное число первых из них; достаточно далекие в этом ряду заведомо окажутся сильно затухающими, т. е. им будут отвечать малые по модулю мультипликаторы. Это обстоятельство позволяет считать, что выяснение возможных типов потери устойчивости периодическим движением вязкой жидкости может производиться по существу так же, как и анализ устойчивости периодического движения диссипативной дискретной механической системы, описываемой конечным числом переменных (в гидродинамическом аспекте этими переменными могут, например, быть амплитуды компонент разложения поля скоростей в ряд Фурье по координатам). Соответственно этому становится конечномерным и пространство состояний.

С математической точки зрения речь идет об исследовании эволюции системы, описываемой уравнениями вида

где - вектор в пространстве величин описывающих систему; функция F зависит от параметра, изменение которого может приводить к изменению характера движения. Для диссипативной системы дивергенция вектора в х-пространстве отрицательна, чем выражается сокращение объемов х-пространства при движении:

Вернемся к обсуждению возможных результатов взаимодействия разных периодических движений. Явление синхронизации упрощает движение. Но взаимодействие может разрушить квазипериодичность также и в направлении существенного усложнения картины. До сих пор молчаливо подразумевалось, что при потере устойчивости периодическим движением возникает в дополнение к нему другое периодическое движение. Логически же это вовсе не обязательно. Ограниченность амплитуд пульсаций скорости обеспечивает лишь ограниченность объема пространства состояний, внутри которого располагаются траектории, соответствующие установившемуся режиму течения вязкой жидкости, но как выглядит картина траекторий в этом объеме априори ничего сказать нельзя.

Траектории могут стремиться к предельному циклу или к незамкнутой намотке на торе (соответственно образам периодического или квазипериодического движений), но могут вести себя и совершенно по-иному - сложно и запутанно. Именно эта возможность чрезвычайно существенна для понимания математической природы и выяснения механизма возникновения турбулентности.

Представить себе сложное и запутанное поведение траекторий внутри ограниченного объема, куда траектории только входят, можно, если предположить, что все траектории в нем неустойчивы. Среди них могут быть не только неустойчивые циклы, но и незамкнутые траектории бесконечно блуждающие внутри ограниченной области, не выходя из нее. Неустойчивость означает, что две сколь угодно близкие точки пространства состояний, передвигаясь в дальнейшем по проходящим через них траекториям, далеко разойдутся; первоначально близкие точки могут относиться и к одной и той же траектории: ввиду ограниченности области незамкнутая траектория может подойти к самой себе сколь угодно близко. Именно такое сложное, нерегулярное поведение траекторий и ассоциируется с турбулентным движением жидкости.

Эта картина имеет еще и другой аспект - чувствительная зависимость течения от малого изменения начальных условий. Если движение устойчиво, то малая неточность в задании начальных условий приведет лишь к аналогичной неточности в определении конечного состояния. Если же движение неустойчиво, то исходная неточность со временем нарастает и дальнейшее состояние системы уже невозможно предвидеть (Н. С. Крылов, 1944; М. Вот, 1952).

Притягивающее множество неустойчивых траекторий в пространстве состояний диссипативной системы действительно может существовать (Е. Lorenz, 1963); его принято называть стохастическим, или странным аттрактором.

На первый взгляд, требование о неустойчивости всех траекторий, принадлежащих аттрактору, и требование о том, чтобы все соседние траектории при к нему стремились, кажутся несовместимыми, поскольку неустойчивость означает разбегание траекторий. Это кажущееся противоречие устраняется если учесть, что траектории могут быть неустойчивыми по одним направлениям в пространстве состояний и устойчивыми (т. е. притягивающими) по другим.

В -мерном пространстве состояний траектории, принадлежащие странному аттрактору, не могут быть неустойчивы по всем (-направлениям (одно направление отвечает движению вдоль траектории), так как это означало бы непрерывный рост начального объема в пространстве состояний, что для диссипативной системы невозможно. Следовательно, по одним направлениям соседние траектории к траекториям аттрактора стремятся, а по другим - неустойчивым - от них уходят (рис. 19).

Такие траектории называют седловыми, и именно множество таких траекторий составляет странный аттрактор.

Странный аттрактор может появиться уже после нескольких бифуркаций возникновения новых периодов: даже сколь угодно малая нелинейность может разрушить квазипериодический режим (незамкнутая обмотка на торе), создав на торе странный аттрактор (D. Ruelle, F. Takens, 1971). Это, однако, не может произойти на второй (начиная с разрушения стационарного режима) бифуркации. При этой бифуркации появляется незамкнутая обмотка на двумерном торе. Учет малой нелинейности не разрушает тора, так что странный аттрактор должен был бы быть расположен на нем. Но на двумерной поверхности невозможно существование притягивающего множества неустойчивых траекторий. Дело в том, что траектории в пространстве состояний не могут пересекаться друг с другом (или сами с собой); это противоречило бы причинности поведения классических систем: состояние системы в каждый момент времени однозначно определяет ее поведение в следующие моменты. На двумерной поверхности невозможность пересечений настолько упорядочивает поток траекторий, что его хаотизация невозможна.

Но уже на третьей бифуркации возникновение странного аттрактора становится возможным (хотя и не обязательным!). Такой аттрактор, приходящий на смену трехчастотному квазипериодическому режиму, расположен на трехмерном торе (S. Newhouse, D. Ruelle, F. Takens, 1978).

Принадлежащие странному аттрактору сложные, запутанные траектории расположены в ограниченном объеме пространства состояний. Классификация возможных типов странных аттракторов, которые могут встретиться в реальных гидродинамических задачах, в настоящее время неизвестна; неясны даже критерии, на которых должна была бы основываться такая классификация. Существующие знания о структуре странных аттракторов основаны в основном лишь на изучении примеров, возникающих при компьютерном решении модельных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, довольно далеких от реальных гидродинамических уравнений.

О структуре странного аттрактора можно, однако, высказать некоторые общие суждения, следующие уже из неустойчивости (седлового типа) траекторий и диссипативности системы.

Для наглядности будем говорить о трехмерном пространстве состояний и представлять себе аттрактор расположенным внутри двумерного тора. Рассмотрим пучок траекторий на пути к аттрактору (ими описываются переходные режимы движения жидкости, ведущие к установлению «стационарной» турбулентности). В поперечном сечении пучка траектории (точнее - их следы) заполняют определенную площадь; проследим за изменением величины и формы этой площади вдоль пучка. Учтем, что элемент объема в окрестности седловой траектории в одном из (поперечных) направлений растягивается, а в другом - сжимается; ввиду диссипативности системы сжатие сильнее, чем растяжение - объемы должны уменьшаться. По ходу траекторий эти направления должны меняться - в противном случае траектории ушли бы слишком далеко (что означало бы слишком большое изменение скорости жидкости). Все это приведет к тому, что сечение пучка уменьшится по площади и приобретет сплющенную, и в то же время изогнутую форму. Но этот процесс должен происходить не только с сечением пучка в целом, но и с каждым элементом его площади. В результате сечение пучка разбивается на систему вложенных друг в друга полос, разделенных пустотами С течением времени (т. е. вдоль пучка траекторий) число полос быстро возрастает, а их ширины убывают. Возникающий в пределе аттрактор представляет собой несчетное множество бесконечного числа не касающихся друг друга слоев - поверхностей, на которых располагаются седловые траектории (своими притягивающими направлениями обращенные «наружу» аттрактора). Своими боковыми сторонами и своими концами эти слои сложным образом соединяются друг с другом; каждая из принадлежащих аттрактору траекторий блуждает по всем слоям и по прошествии достаточно большого времени пройдет достаточно близко к любой точке аттрактора (свойство эргодичности). Общий объем слоев и общая площадь их сечений равны нулю.

По математической терминологии, такие множества по одному из направлений относятся к категории канторовых. Именно канторовость структуры следует считать наиболее характерным свойством аттрактора и в более общем случае -мерного пространства состояний.

Объем странного аттрактора в своем пространстве состояний всегда равен нулю. Он может, однако, быть ненулевым в другом пространстве - меньшей размерности.

Последнее определяется следующим образом. Разобьем все -мерное пространство на малые кубики с длиной ребра и объемом Пусть - минимальное число кубиков, совокупность которых полностью покрывает аттрактор. Определим размерность D аттрактора как предел

Существование этого предела означает конечность объема аттрактора в -мерном пространстве: при малом в имеем (где V - постоянная), откуда видно, что можно рассматривать как число -мерных кубиков, покрывающих в -мерном пространстве объем V. Определенная согласно (31,3) размерность не может, очевидно, превышать полную размерность пространства состояний, но может быть меньше его и, в отличие от привычной размерности, может быть дробной; именно такова она для канторовых множеств.

Обратим внимание на следующее важное обстоятельство. Если турбулентное движение уже установилось (течение «вышло на странный аттрактор»), то такое движение диссипативной системы (вязкой жидкости) в принципе не отличается от стохастического движения бездиссипативной системы с меньшей размерностью пространства состояний. Это связано с тем, что для установившегося движения вязкая диссипация энергии в среднем за большое время компенсируется энергией, поступающей от среднего течения (или от другого источника неравновесности). Следовательно, если следить за эволюцией во времени принадлежащего аттрактору элемента «объема» (в некотором пространстве, размерность которого определяется размерностью аттрактора), то этот объем в среднем будет сохраняться - его сжатие в одних направлениях будет в среднем компенсироваться растяжением за счет расходимости близких траекторий в других направлениях. Этим свойством можно воспользоваться, чтобы получить иным способом оценку размерности аттрактора.

Ввиду упомянутой уже эргодичности движения на странном аттракторе, его средние характеристики могут быть установлены путем анализа движения уже вдоль одной принадлежащей аттрактору неустойчивой траектории в пространстве состояний.

Другими словами, предполагаем, что индивидуальная траектория воспроизводит свойства аттрактора, если двигаться по ней бесконечно долгое время.

Пусть уравнение такой траектории, одно из решений уравнений (31,1). Рассмотрим деформацию «сферического» элемента объема при его перемещении вдоль этой траектории. Она определяется уравнениями (31,1), линеаризованными по разности отклонению траекторий, соседних с данной. Эти уравнения, написанные в компонентах, имеют вид

При сдвиге вдоль траектории элемент объема в одних направлениях сжимается, в других растягивается и сфера превращается в эллипсоид. По мере движения вдоль траектории как направления полуосей эллипсоида, так и их длины меняются; обозначим последние посредством где индекс s нумерует направления. Ляпуновскими характеристическими показателями называют предельные значения

Становится отрицательной. Дробная часть размерности находится из равенства

(F. Ledrappier, 1981). Поскольку при вычислении d учитываются лишь наименее устойчивые направления (отбрасываются наибольшие по абсолютной величине отрицательные показатели в конце их последовательности), то даваемая величиной DL оценка размерности есть, вообще говоря, оценка сверху. Эта оценка открывает, в принципе, путь для определения размерности аттрактора по экспериментальным измерениям временного хода пульсаций скорости в турбулентном потоке.

Системный подход в географии: эмерджентность и структурный изоморфизм.

Эмерджентность (англ. emergence - возникновение, появление нового) в теории систем - наличие у какой-либо системы особых свойств, не присущих её подсистемам и блокам, а также сумме элементов, не связанных особыми системообразующими связями; несводимость свойств системы к сумме свойств её компонентов; синоним - «системный эффект».

В биологии и экологии понятие эмерджентности можно выразить так: одно дерево - не лес, скопление отдельных клеток - не организм. Например, свойства биологического вида или биологической популяции не представляют собой свойства отдельных особей, понятия рождаемость, смертность, неприменимы к отдельной особи, но применимы к популяции или виду в целом.

В эволюционистике выражается как возникновение новых функциональных единиц системы, которые не сводятся к простым перестановкам уже имевшихся элементов.

В почвоведении: эмерджентным свойством почвы является плодородие.

В классификации систем эмерджентность может являться основой их систематики как критериальный признак системы.

идеи структурного изоморфизма – тождества структуры без тождества элементов содержания, - получившей распространение в географии в конце 60-х – начале 70-х гг. ХХ в. на фоне победного шествия системного подхода. Возможность применения одного и того же понятийного и математического аппарата, например, для описания меандрирования реки и изменения трассы федерального шоссе в США (в последнем случае тоже происходит прорыв своеобразных прирусловых валов, возникших в силу намного более высокой стоимости земли вблизи существующего шоссе – см. книгу В.Бунге) весьма полезна в практическом отношении и привлекательна в теоретическом.

Одной из ключевых идей вышедшей в 1962г. книги В.Бунге «Теоретическая география» (русский перевод опубликован в 1967г. ), была именно идея структурного изоморфизма, понимаемого как тождество способов пространственной организации географических явлений самой различной природы, изучаемых как физической географией, так и социально-экономической. Бунге смело заимствовал идеи из геоморфологии и прилагал их к описанию социально-географических явлений. Стало хрестоматийным сравнение меандрирования реки и изменение трассы федерального шоссе, так же вынужденного преодолевать «прирусловые валы» высоких цен на землю.

Наиболее распространенными моделями этого вида следует считать гравитационные и энтропийные модели, К последним примыкают и модели, разработанные в рамках теории диффузии нововведений. Все эти модели представляют собой заимствования из различных разделов физики – будь то классическая механика или термодинамика – с целью использования математического аппарата, например, для моделирования пассажиропотоков между городами в зависимости от их демографических масс. Понятно, что применение подобных моделей требует их калибровки – подбора значений констант на основе возможно более обширного эмпирического материала, а их прогнозная ценность в силу этого обстоятельства не безусловна.

Понятие аттрактора. Странные аттракторы.

Аттра́ктор (англ. attract - привлекать, притягивать) - множество состояний (точнее - точек фазового пространства) динамической системы, к которым она стремится с течением времени. Так, наиболее простыми вариантами аттрактора являются притягивающая неподвижная точка (к примеру, в задаче о маятнике с трением о воздух) и периодическая траектория (пример - самовозбуждающиеся колебания в контуре с положительной обратной связью), однако бывают и значительно более сложные примеры.

Существуют различные формализации понятия стремления, что приводит к различным определениям аттрактора, задающим, соответственно, потенциально различные множества (зачастую - вложенные одно в другое). Наиболее употребительными определениями являются максимальный аттрактор (зачастую - в своей малой окрестности, см. ниже), аттрактор Милнора и неблуждающее множество.

Аттракторы классифицируют по:

Формализации понятия стремления: различают максимальный аттрактор, неблуждающее множество, аттрактор Милнора, центр Биркгофа, статистический и минимальный аттрактор.

Регулярности самого аттрактора: аттракторы делят на регулярные (притягивающая неподвижная точка, притягивающая периодическая траектория, многообразие) и странные (нерегулярные - зачастую фрактальные и/или в каком-либо сечении устроенные как канторово множество; динамика на них обычно хаотична).

Локальности («притягивающее множество») и глобальности (здесь же - термин «минимальный» в значении «неделимый») .

Синергетическая революция привела к глубочайшим изменениям в научном мировоззрении, прежде всего – к конституированию финалистского (телеологического) объяснения как равноправного каузальному (причинному), которое только и существовало в науке до создания квантовой механики. Однако тогда крах причинности коснулся лишь явлений микромира, области, бесконечно далекой от нашей повседневной жизни. Синергетическая революция привела к распространению финалистского объяснения на исследования некоторых явлений мезомира, т.е. того мира, в котором мы живем и который доступен нашему повседневному опыту. При этом нам весьма трудно свыкнуться с мыслью о том, что течение некоторых процессов определяется не начальными условиями, т.е. причиной, а конечным состоянием, к которому они стремятся. Это конечное состояние именуется в синергетике аттрактором – областью притяжения процесса.

Активное обсуждение финалистских представлений, пришедших из биологии и космологии, позволило изменить интеллектуальный климат в географии, поколебать взгляд на каузальное (причинное) объяснение как на единственно возможное в науке вообще и в географии в частности. Это изменение интеллектуального климата подготовило почву для проникновения идей синергетики, в том числе представлений об аттракторе – области притяжения процесса. Еще в 60-е годы ХХ в. получило распространение представление о конфинальности (эквифинальности) в развитии городов-гигантов – эти города обнаруживают несравненно больше сходства между собой, нежели те малые и средние города, из которых они выросли. Анализ развития транспортных сетей методами теории графов или анализ развития систем городского расселения методами теории центральных мест – это тоже примеры задач именно того класса, где наиболее плодотворны представления о детерминации процесса конечным состоянием, а не начальными условиями, о его стремлении к аттрактору, представляющему собой идеальный объект научной теории. И если аттрактор недостижим, это вовсе не значит, что он не существует.

Значение для географии теоретических конструкций типа потенциальной формы, определяющей направление развития отдельных организмов и эволюции биологических видов, или финальной симметрии весьма велико и оно не осталось незамеченным. Аналогия с каталогом форм устойчивой территориальной организации государств, который фактически был разработан В.П.Семеновым-Тян-Шанским, причем раньше, чем Л.С.Берг опубликовал свой знаменитый труд о номогенезе, столь очевидна, что не требует дополнительной аргументации. Остановиться следует на менее очевидных идеях. Это прежде всего представления о конфинальности (эквифинальности) в развитии городов-гигантов, выдвинутые П.Хаггетом еще в 60-е годы . Города этого класса обнаруживают несравненно большее сходство между собой, нежели малые города, из которых они выросли. Те же самые тенденции прослеживаются и в развитии систем городов. Системы центральных мест (город понимается как центральное место потому, что обслуживает не только свое население, но и население своей зоны, тем большей, чем выше уровень иерархии, к которому он принадлежит) также стремятся в своем развитии к определенному равновесному состоянию, т.н. изостатическому равновесию, которое выступает по отношению к ним в качестве аттрактора – области притяжения процесса

Примером исключительно плодотворного применения как аппарата нелинейной динамики, так и ее мировоззренческих принципов стала разработка феноменологической теории роста населения Земли С.П.Капицей, которая позволяет делать как перспективные, так и ретроспективные прогнозы и была с успехом сопоставлена с эмпирической реальностью с помощью последних. Самый важный в мировоззренческом отношении вывод состоит в том, что рост численности населения Земли никогда не регулировался действием внешних факторов, а всегда – неизвестными внутренними закономерностями. Это положение было оформлено создателем теории как принцип демографического императива.

Принципиальная трудность состоит в том, что все имеющиеся у нас в арсенале теории разработаны для описания процессов в обществе «экономическом», основаны на незыблемой вере в экономическое равновесие как аттрактор всех протекающих в экономике процессов, а социальные катаклизмы мы склонны рассматривать как внешние возмущения, уводящие систему от состояния равновесия, к которому она все равно при первой же возможности стремится вернуться. Между тем уже в самой экономической науке все шире распространяются сомнения в экономическом равновесии как «естественном» или «нормальном» состоянии экономики. Их высказывает, в частности, такой влиятельный экономист и социолог как М.Кастельс . Его тезис состоит в том, что в информационном (иначе – «постэкономическом») обществе экономические процессы имеют не только иную природу, но и иную направленность. По его мнению, и территориальная организация информационного общества, включая и организацию расселения, претерпит самые существенные изменения в сравнении с обществом индустриальным.

В результате географам предстоит взяться за решение несравненно более сложных задач, нежели те, с которыми они сталкивались ранее: искать не просто аттракторы, т.е. области притяжения изучаемых процессов, а странные аттракторы , представляющие собой сложные непериодические решения. Такая задача едва ли может быть решена силами только самих географов, без сотрудничества с физиками и математиками, по крайней мере до тех пор, пока не вырастет поколение географов, которое со студенческой скамьи будет осваивать математический аппарат синергетики. Наша задача – создать концептуальные основы для такого сотрудничества, разработав операциональные теории, позволяющие применить к их развитию сначала понятийный, а затем – и математический аппарат синергетики.

В физических системах, n-мерными могут быть, например, две или три координаты, для одного или нескольких физических объектов; в экономических системах они могут быть отдельными переменными, такими как уровень инфляции и уровень безработицы. Если развивающаяся переменная двух-или трехмерная, аттрактор динамического процесса можно представить геометрически в двух или трех измерениях, (как, например, на рисунке).

Если при различных начальных условиях все траектории в фазовом пространстве будут уходить в бесконечность, это будет говорить о том, что у такой системы нет устойчивого состояния.

В случае, когда все они закончатся в одной точке, т. е. система придет к конкретному состоянию, и большее с ней не будет происходить никаких изменений, то такая точка будет являться точкой устойчивого состояния. После выхода из этого состояния, под действием кратковременного возмущения, система всегда вернется в это же состояние.

В этом случае, все траектории заканчиваются в точке, то есть она как бы притягивает к себе со временем все фазовые траектории. Такая точка называется аттрактором (англ. to attract -"притягивать") типа «притягивающая точка ». Понятие аттрактор является обобщением понятия равновесия для сложных систем.

Аттрактор может быть точкой, конечным множеством точек, кривой, разнородностью, или даже сложным комплексом с фрактальной структурой, известным как странный аттрактор . Если переменная является скаляром, аттрактор представляет собой подмножество вещественной числовой прямой. Описывая аттрактор в хаотических динамических системах, он является одним из достижений теории хаоса . Траектория динамической системы в аттракторе не удовлетворяет любым особым ограничениям для оставшихся на аттракторе исключениям, вперед и назад во времени. Траектория может быть периодической и хаотической. Если множество точек является периодическим или хаотичным, но поток в соседней области вдали от множества, набор не является аттрактором, но вместо этого называется отражателем (или репеллером ).

Таким образом, аттрактор - компактное подмножество фазового пространства динамической системы, все траектории из некоторой окрестности которого стремятся к нему при времени, стремящемся к бесконечности. Аттрактором может являться притягивающая неподвижная точка (периодическая траектория (пример - самовозбуждающиеся колебания в контуре с положительной обратной связью), или некоторая ограниченная область с неустойчивыми траекториями внутри (как у странного аттрактора).

Динамическая система , как правило, описывается одним или более дифференциальным или разностным уравнением. Уравнения данной динамической системы указывают свое поведение в отношении любого заданного короткого периода времени. Чтобы определить поведение системы в течение более длительного периода, необходимо интегрировать уравнения либо через аналитические средства либо посредством итерации, часто с помощью компьютеров. Динамические системы в физическом мире, как правило, возникают в результате диссипативных систем: если бы не было в течение времени некоторой движущей силы, движение бы прекратилось. Рассеяние может исходить от внутреннего трения, термодинамических потерь или потери материала и других многих причин.

Рассеиваемая и движущая силы, как правило, сбалансированы, убивая начальные переходные процессы и урегулируют систему в ее типичном поведении. Подмножеством фазового пространства динамической системы, соответствующему типичному поведению является аттрактор, также известный как притягивающая секции или attractee. Инвариантные множества и предельные множества аналогичны концепции аттрактора. Инвариантное множество представляет собой набор, который развивается в себе под воздействием динамики. Аттракторы могут содержать инвариантные множества . Предельным множеством является множество точек, для которых существует некоторое начальное состояние, которое заканчивается сколь угодно близко к предельному множеству (т.е. в каждой точке множества) с течением времени к бесконечности. Аттракторы - предельные множества, но не все предельные множества являются аттракторами: при возможности иметь несколько точек системы сходящимся к предельным множествам, но разные точки, возмущенные немного от предельного множества не может на них воздействовать. Например, затухающей маятник имеет две инвариантные точки: точка х0 минимальной высоты и точка x1 максимальной высоты. Точка x0 также предельное множество, как траектории сходятся к ней; точка x1 не является предельным множеством. Из-за рассеивания точка х0 также аттрактор. Если не будет рассеивания, х0 не будет аттрактором.

Математическое определение

Пусть t представляют время и пусть f (т, )-функция, определяет динамику системы. То есть, если это n-мерные точки в фазовом пространстве, представляющих начальное состояние системы, то f (0, а) = а и, при положительном значении t, f (t, а) является результатом эволюции этого положения после t единиц времени. Например, если система описывает эволюцию свободной частицы в одном измерении, то фазовое пространство есть плоскость R2 с координатами (х, v), где х является положением частицы, v это ее скорость, а = (х, v), и эволюция задается

Аттрактор представляет собой подмножество фазового пространства и характеризуется следующими тремя условиями:

А вперед инвариантна относительно t: если есть элемент A и t (t, а) , для всех t > 0 .

Существует соседняя область А, называемая областью притяжения для А и обозначается B (A) , которая состоит из всех точек b, что " введите A в пределе t → ∞ " . Более формально, B (А) есть множество всех точек b в фазовом пространстве со следующим свойством:

Для любой открытой близлежащей области N А, есть положительная постоянная t,

Нет собственного подмножества имеющего первые два свойства.

Поскольку область притяжения содержит открытое множество, содержащее А, каждая точка, что достаточно близка к А притягивается к А. Определение аттрактора использует метрику на фазовом пространстве, но в результате понятие обычно зависит только от топологии фазового пространства.

Существуют многие другие определения аттрактора в литературе. Например, некоторые авторы требуют, чтобы аттрактор имел положительную меру, другие уменьшают силу требования, что B (А)- близлежащая область.

аттракция периодического-3 цикла и его область притяжения. Три самые темные точки являются точками 3-цикла, которые приводят к друг другу в последовательности, и итерации из любой точки в область притяжения приводит к (обычно асимптотической) сходимости этой последовательности в трех точках.

Типы аттракторов

Аттракторы - части или подмножества фазового пространства динамической системы. До 1960-х годов, аттракторы не мыслились как простые геометрические подмножества фазового пространства, как точки, линии, поверхности и объемы. Более сложные аттракторы, которые не могут быть классифицированы как простых геометрические подмножества, такие как топологические множества, были известны в то время, но принимали их за хрупкие аномалии. Стивен Смейл смог показать, что его подкова (Подкова Смейла - предложенный Стивом Смейлом пример динамической системы, имеющей бесконечное число периодических точек (и хаотическую динамику), причём это свойство не разрушается при малых возмущениях системы) была надежной и, что его аттрактор был подобен структуре множества Кантора. Два простых аттрактора - фиксированная точка и предельный цикл. Аттракторы могут принимать множество других геометрических фигур (фазовые подмножества). Но когда эти множества (или движения в них) не могут быть легко описаны как простые комбинации (например пересечение и объединение) фундаментальных геометрических объектов (например, линий, поверхностей, шаров, тороидов, коллекторы), то аттрактор называется странным аттрактором.

Аттракторы классифицируют по:

Формализации понятия стремления: различают максимальный аттрактор, неблуждающее множество, аттрактор Милнора, центр Биркгофа, статистический и минимальный аттрактор.
Регулярности самого аттрактора: аттракторы делят на регулярные (притягивающая неподвижная точка, притягивающая периодическая траектория, многообразие) и странные (нерегулярные - зачастую фрактальные и/или в каком-либо сечении устроенные как канторово множество; динамика на них обычно хаотична).
Локальности («притягивающее множество») и глобальности (здесь же - термин «минимальный» в значении «неделимый»).

Предельным циклом является периодическая орбита системы, которая изолирована. Примеры включают маятник часов, схему настройки радио и сердцебиения во время отдыха. (Предельный цикл идеального маятника не пример аттрактора предельного цикла, потому что ее орбиты не изолированы: в фазовом пространстве идеального маятника, недалеко от любой точки периодической орбиты есть еще один момент, который принадлежит другой периодической орбите.

фазовый портрет Ван-дер-Поля: аттракция предельного цикла

Предельный тор

Может быть больше, чем одна частота периодической траектории системы через состояние предельного цикла. Например, в физике, одна частота может диктовать скорость, с которой планета вращается вокруг звезды в то время как вторая частота описывает колебания расстояния между этими двумя телами. Если две из этих частот образуют иррациональную фракцию (т.е. они несоизмеримы), траектория больше не закрывается, а предельный цикл становится предельным тором. Этот вид аттрактора называется Nt -тор , если есть Nt - несоизмеримые частоты. Например вот 2-тор:

Временной ряд, соответствующий этому аттрактору - квазипериодический серия: дискретность проб сумм Nt- периодических функций (не обязательно синус волны) с несоизмеримыми частотами. Такой временной ряд не имеет строгую периодичность, но его спектр мощности еще состоит только из резких линий.

Странный аттрактор

Аттрактор называется странным , если он имеет фрактальную структуру . Это часто бывает, когда динамика на нем хаотична, но существуют также странные аттракторы, которые не хаотичны. Этот термин был придуман Дэвидом Рюэлем и Флорисом Такенсом, которые описали аттрактор, возникший в результате серии бифуркаций системы, описывающей поток жидкости. Странные аттракторы часто дифференцируемы в нескольких направлениях, но некоторые из них, такие как пыль Кантора, не дифференцируемы. Странные аттракторы также могут быть найдены в присутствии шума, где они могут быть размещены для поддержки инвариантных случайных вероятностных мер типа Синай-Рюэля-Боуэна. Примеры странных аттракторов включают в себя , аттрактор Хенона , Rössler аттрактор , и аттрактор Лоренца .

Дважды прокрученный аттрактор

аттрактор Лоренца

Частные уравнения

Параболические уравнения в частных производных могут иметь конечномерные аттракторы. Диффузная часть уравнения гасит высокие частоты, а в некоторых случаях приводит к глобальному аттрактору. Гинзбурга-Ландау, Курамото-Сивашинского, и двумерные, вынужденные уравнения Навье-Стокса как известно, приводят к глобальным аттракторам конечной размерности. Для трехмерного несжимаемого уравнения Навье-Стокса с периодическими граничными условиями, если оно имеет глобальный аттрактор, то это аттрактор будет конечных размеров.

С вычислительной точки зрения, аттракторы можно естественно рассматривать как самовозбуждающиеся аттракторы или скрытые аттракторы. Самовозбуждающиеся аттракторы могут быть локализованы численно при стандартных вычислительных процедурах, в которых после переходной последовательности, начинается траектория с точки на неустойчивом многообразии в малой области неустойчивого равновесия достигаемого аттрактором (как классических аттракторов в Ван дер Поля, Белоусова-Жаботинского, Лоренца и многих других динамических систем). В противоположность этому, область притяжения скрытого аттрактора не содержит области равновесия, поэтому скрытый аттрактор не может быть локализован с помощью стандартных вычислительных процедур.

Хаотичный скрытый аттрактор (зеленый домен) в системе Чуа. Траектории с начальными данными в окрестности двух точек (синий), как правило (красная стрелка) к бесконечности или, как правило (черная стрелка) к точке равновесия стабильного нуля (оранжевый).

Софтом , генерирующим странные аттрактору по праву можно считать Chaoscope , являющимся 3D –визуализатором странных аттракторов. Является бесплатной, работающих на платформе Windows.

Онлайн генератор странных аттракторов: http://wokos.nethium.pl/attractors_en.net

СТРАННЫЙ АТТРАКТОР

Притягивающее множество неустойчивых траекторийв фазовом пространстве диссипативной динамической системы. С. а.,в отличие от аттрактора, не является многообразием (т. е. не является кривойили поверхностью); его геом. устройство очень сложно, а его структура фрактальна(см. Фракталы). Поэтому он получил назв. «странный» [Д. Рюэль (D.Ruelle), Ф. Такенс (F. Takens)]. Тот факт, что все траектории, расположенныев окрестности С. а., притягиваются к нему при , принципиально связан с характером неустойчивостей составляющих его траекторий, Бифуркация, Предельный цикл). ТраекторииС. а. описывают стационарные стохастич. автоколебания, поддерживаемыев диссипативной системе за счёт энергии внеш. источника. С. а. характернылишь для автоколебат. систем, размерность фазового пространства к-рых большедвух (рис. 1). Первая исследовавшаяся система со С. а.- Лоренца система- трёхмерна.

Рис. 1. Странный аттрактор в системе, описываемой уравнениями типа(1).

Системы с периодич. автоколебаниями, матем. образом к-рых является предельныйцикл, удаётся исследовать достаточно полно с помощью методов качественнойтеории дифференц. ур-ний. Построение же теории стохастических колебаний, заключающееся, в частности, в определении (предсказании) характеристики свойств С. а. по заданным параметрам системы, чрезвычайно затруднительнодаже для трёхмерных систем. Подобное построение удаётся провести, однако, Пример . Подобно тому, как генератор Ван-дер-Поля является простейшими канонич. примером системы, демонстрирующей периодич. автоколебания, схема, 2а и определяющая несколько усложнённый генераторВан-дер-Поля, может служить одним из простейших примеров генераторов стохастич. б. Пока ток I в контуре и напряжение на сетке . малы, туннельный диод не оказывает существ. влияния на колебания вконтуре, и они, как и в обычном ламповом генераторе, нарастают. При этомчерез туннельный диод течёт ток I , а напряжение на нём определяетсяветвью характеристики I(V). Когда же ток I достигает значения I т, происходит почти мгновенное переключение туннельного диода (быстротапереключения связана с малостью ёмкости С 1) - скачкомустанавливается напряжение V m . Затем ток через туннельныйдиод уменьшается и происходит его обратное переключение с участка на . Врезультате двух переключений туннельный диод почти полностью поглощаетпоступившую в контур энергию и колебания начинают снова нарастать. (Прирассмотрении работы схемы характеристику лампы можно считать линейной;это оправдано тем, что в интересующем нас режиме колебания ограничиваютсянелинейной характеристикой туннельного диода.) Т. о., генерируемый сигнал U(t )представляет собой последовательность цугов нарастающих колебаний;окончание каждого цуга характеризуется скачком напряжения V(t).

Рис. 2. Принципиальная схема (а) простого генератора шума- генератораВан-дер-Поля, в сеточный контур которого добавлен туннельный диод. Вольт-ампернаяхарактеристика (б) нелинейного элемента - туннельного диода.

Для количественного описания работы схемы исходные ур-ния

преобразуют к безразмерному виду:

где x = I/I m , z= V/V m ,

- нормированнаяхарактеристика диода. Здесь - малый параметр Поэтому все движения в фазовом пространстве (рис. 3)

Рис. 3. Поведение траекторий в фазовом пространстве системы (1) при

можно разбить на быстрые переключения диода (прямые х = const, у = const) и медленные, при к-рых напряжение на диоде «следит» затоком; соответствующие траектории лежат на поверхностях А и В[х = f(z ), f"(z) >0 ], отвечающих участкам и характеристикиДиода.

Система имеет одно неустойчивое [при ] состояние равновесия х = у = z = 0 типа седло. Траектории, лежащиена поверхности А, раскручиваются вокруг неустойчивого фокуса и вконце концов достигают края поверхности А. Здесь происходит срывточки, отображающей на фазовой траектории состояние системы (т. н. изображающейточки) по линии быстрых движений на поверхность В. Пройдя по В, изображающая точка срывается обратно на поверхность А и попадаетв окрестность состояния равновесия - начинается новый цуг нарастающих колебаний. Отображение Пуанкаре, соответствующее ур-ниям (1), при кусочно можно описать непрерывной ф-цией, график к-рой приведён на рис.5. Линейный участок I с коэф. угла наклона, большим единицы, описываетраскручивание траектории на поверхности медленных движений А, соответствующейнарастанию колебаний в контуре. Участок II описывает этап возвращения траекторий, А на поверхность В, обратно на А (см. рис. 3). Все траектории, лежащие вне основания обозначенногопунктиром квадрата, входят в него при асимптотически больших значенияхвремени, т. е. область D - поглощающая и содержит аттрактор. Всетраектории внутри этой области неустойчивы, т. е. аттрактор является странным. свойства стохастичности движений (как показывают численные исследования)сохраняются.

Рис. 4. Спектр мощности сигнала, генерируемого схемой, представленнойна рис. 2а, и осциллограмма этого сигнала.

Рис. 5. График функции f(x), описывающей динамику схемы рис. 2 при .

Фрактальная размерность. Все разнообразие статистич. свойств случайногосигнала, порождаемого динамич. системой со С. а., может быть описано, еслиизвестно распределение вероятности состояний системы. Однако получить (ииспользовать) это распределение для конкретных систем со С. а., чрезвычайносложно (хотя бы потому, что плотность распределения инвариантной вероятностноймеры всегда сингулярна). Это одна из причин, по к-рой для описания С. а.

где , нек-рый фиксированный параметр,- число n -мерных шаров диаметра ,покрывающих С. а. динамич. системы с n -мерным фазовым пространством.

Определённая согласно ур-нию (2) размерность с не может, очевидно, n, но может быть меньше п (n -мерные шарымогут оказаться почти пустыми). Для «обычных» множеств ур-ние (2) даёточевидные результаты. Так, для множества из k точек ,; дляотрезка длины L прямой лилии ,;для куска площади S двумерной поверхности ,и т. д. Неравенство размерности целому числу соответствует сложному геом. 2,6).

С физ. точки зрения, осн. «достоинство» фрактальной размерности С. а. и числом степеней свободы га имеет вид:

Бифуркации странных аттракторов. Пути рождения стохастич. Сценарий Фейгенбаума - цепочка бифуркаций удвоения периода устойчивогопредельного цикла. Если при изменении управляющего параметра периодич. n -мерном фазовом пространствеповедение траекторий отображения Пуанкаре в окрестности претерпевающегобифуркацию удвоения периода предельного цикла определяется ф-цией, напр.,f(x), график к-рой похож на параболу. Эта ф-ция описывает связьмежду координатами в направлении собств. подпространства оператора линеаризацииотображения Пуанкаре, отвечающего мультипликатору (-1) (j + 1)-гои j-го пересечений траекторией системы секущей Пуанкаре: x j+1 = f(x j). Возникшему устойчивому предельному циклуудвоенного периода отвечает двупериодич. траектория отображения f .При дальнейшем изменении параметра бифуркации удвоения периода бесконечноповторяются, а бифуркац. значения, напр.,накапливаются к критич. точке , отвечающей возникновению С. а. В соответствии со сценарием Фейгенбаумаимеет место универсальный (не зависящий от конкретной системы) закон

где = 4,6692... - универсальная константа Фейгенбаума (см. Фейгенбаума универсальность).

Родившемуся С. а. при фиксированном отвечает неск. интервалов на оси х; участки между этими интерваламисодержат притягивающиеся к аттрактору траектории, а также 2 m -периодические(относительно отображения f ), неустойчивые предельные циклы, начинаяс нек-рого m 0 и меньше. При увеличении параметра скорость разбегания траекторий на С. а. увеличивается, и он «разбухает»,последовательно поглощая неустойчивые предельные циклы периодов 2 т+1 ,2 т , ... При этом число отрезков, отвечающих аттрактору,

Рис. 6. «Обратные бифуркации» удвоения периода, иллюстрирующие разбуханиеаттрактора, возникшего по сценарию Фейгенбаума.

Перемежаемость. Во мн. системах при прохождении управляющего параметра(скажем,)через бифуркац. значение переход к стохастич. автоколебаниям внешне осуществляется как редкое нарушениерегулярных колебаний «стохастич. всплесками». При этом длительность ламинарной(регулярной) фазы тем больше, чем меньше надкритичность С ростом же надкритичности длительность регулярной фазы сокращается. Этакартина интерпретируется следующей эволюцией осн. объектов в фазовом пространстве, они «замечают», что старый аттрактор исчез, и, оставаясь рядом с сепаратрисой(также исчезнувшей) седлового предельного цикла, уходят в др. часть фазовогопространства. Если в докритич. области система была глобально устойчива(т. е. существовал только один притягивающий объект), то эти траекториичерез нек-рое время вновь попадают в окрестность исчезнувшего предельногоцикла. Если при этом в докритич. области значений параметров сепаратрисаседлового цикла была вложена в фазовое пространство достаточно сложнымгеом. образом (образовывала бесконечное число складок - «гофрировалась»,содержала гетероклинич. траектории др. седловых циклов и т. п.), то естьпереходный процесс демонстрировал нерегулярное поведение, то время попаданияв окрестность исчезнувшего цикла уже будет являться случайной величиной. Далее повторяется ламинарная фаза, Кроме этих основных способов возникновения С. а. достаточно часто встречаютсятакже переходы к хаотич. автоколебаниям через разрушение квазипериодических(в фазовом пространстве при изменении управляющих параметров теряет гладкостьи разрушается притягивающий двумерный тор) и комбинированные сценарии .

Многомерные странные аттракторы часто обнаруживаются всистемах с большим числом степеней свободы. Среди возможных механизмов, Турбулентность).

Лит.: 1) Рабинович М. И., Трубецков Д. И., Введение в теориюколебаний и волн, М., 1984; 2) Лихтенберг А., Либерман М., Регулярная истохастическая динамика, пер. с англ., М., 1984; 3) Афраймович В. С., РейманА. М., Размерность и энтропия в многомерных системах, в кн.: Нелинейныеволны. Динамика и эволюция, под ред. А. В. Гапонова-Грехова, М. И. Рабиновича, В. С. Афраймович, М.

- странствующий, находящийся в чужой стране...
Краткий церковнославянский словарь
- см. Синергетика...
Большая психологическая энциклопедия
- стра́нный ст.-слав. страньнъ ξένος . От предыдущего...
Этимологический словарь Фасмера
- Заимствование из старославянского, где образовано от страна, имевшего в древнерусском языке значение "чужая страна, чужой народ"...
Этимологический словарь русского языка Крылова
- A/C пр см. _Приложение II стра́нен странна́ стра́нно стра́нны странне́е́ 259 см. _Приложение II - Зачем же так неблагосклонно Вы отзываетесь о нем? За то ль, что мы неугомонно Хлопочем, судим обо всем <...>...
Словарь ударений русского языка
- кр.ф. стра/нен, странна/, стра/нно, стра/нны...
Орфографический словарь русского языка
- СТРА́ННЫЙ, -ая, -ое; -анен, -анна, -анно. Необычный, непонятный, вызывающий недоумение. С. характер. С. вид. Мне странно его поведение. Странно, что он не звонит...
Толковый словарь Ожегова
- СТРА́ННЫЙ, странная, странное; странен, странна, странно. 1. Необычный, трудно объяснимый, вызывающий недоумение. Странная манера говорить. Странные взгляды. «Были странны безмолвные встречи...
Толковый словарь Ушакова
Толковый словарь Ефремовой
- стра́нный I прил. Необычный, вызывающий недоумение. II прил. устар. Находящийся в пути; странствующий, странний...
Толковый словарь Ефремовой
- стра́нный прил., употр. очень часто Морфология: стра́нен, странна́, стра́нно, стра́нны; стра́ннее; нар. стра́нно 1...
Толковый словарь Дмитриева
- стр"анный; кратк. форма -"анен, -анн"а, -"...
Русский орфографический словарь
- Заимств. из ст.-сл. яз. Суф. производное от страна в значении «чужая страна, народ», в др.-рус. яз. это значение еще известно. Первоначально - «чуже», «чужой», затем - «необыкновенный, непостижимый, »...
Этимологический словарь русского языка
- @font-face {font-family: "ChurchArial"; src: url;} span {font-size:17px;font-weight:normal !important; font-family: "ChurchArial",Arial,Serif;}  прил. - странствующий, странник; посторонний, чужой; удивительный...
Словарь церковнославянского языка
- ...
Формы слова
- точка...
Словарь синонимов

"СТРАННЫЙ АТТРАКТОР" в книгах

Странный вкус

автора

Странный вкус

Из книги Маленькие труженики гор [Муравьи] автора Мариковский Павел Иустинович

Странный вкус Но попробовать ли содержать гнездо желтых лазиусов в неволе? Поздней осенью я вешаю возле нескольких гнезд на кусты кусочки ваты. А когда приходит зима, мы отправляемся на лыжах за обитателями подземных жилищ.Быстро отгребаем в сторону снег, раскапываем

Странный заповедник

Из книги Мои путешествия. Следующие 10 лет автора Конюхов Фёдор Филиппович

Странный заповедник 24 апреля 2002 года. Ацан-Худук (Калмыкия, Яшкульский район) – Тройник (Калмыкия, Яшкульский район) – 31 кмКараван на территории заповедника «Черные земли». Он охватывает три региона России – Республику Калмыкию, Астраханскую область и Республику

СТРАННЫЙ ДОМ

Из книги Рыжий дьявол автора Дёмин Михаил

СТРАННЫЙ ДОМ Оставшись один, я разложил на столе бумаги. Присел, закурил. И задумался.Я перебрал в памяти события дня, пытался разобраться в них. И вдруг, непонятно почему, передо мною возникло видение детства. Я не звал это воспоминание, оно пришло само… Наша память - как

Странный сон

Из книги Генерал Дима. Карьера. Тюрьма. Любовь автора Якубовская Ирина Павловна

Странный сон …Этот сон я не забуду никогда. Он приснился мне 13 марта, с четверга на пятницу. Будто бы Дима был на даче, а я одна находилась дома. Мне вдруг захотелось сделать ему сюрприз - обрадовать своим неожиданным приездом. Подъезжая к даче, я увидела ярко освещенные

СТРАННЫЙ МИР

Из книги Таков мой век автора Шаховская Зинаида Алексеевна

СТРАННЫЙ МИР Господа, представление окончено. Добродетель, простите, порок наказан, а добродетель… Но где же

ОБЪЕКТ КАК СТРАННЫЙ АТТРАКТОР

Из книги Прозрачность зла автора Бодрийар Жан

ОБЪЕКТ КАК СТРАННЫЙ АТТРАКТОР В конечном итоге образы всего того, что нам чуждо, воплощаются в единственном образе - в образе Объекта. Неумолимость и ирредентизм объекта - единственное, что остается.Даже на горизонте науки Объект предстает как все более неуловимый,

Что такое «Великий Аттрактор»?

Из книги 100 великих загадок астрономии автора Волков Александр Викторович

Что такое «Великий Аттрактор»? Вплоть до начала ХХ века нашу Галактику считали уникальным объектом. Сегодня мы знаем, что в доступной нашему наблюдению части Вселенной насчитывается, пожалуй, не менее 125 миллиардов галактик. В каждой из них – миллиарды или триллионы

Великий Аттрактор, или сверхпритяжение

Из книги 100 великих тайн Вселенной автора Бернацкий Анатолий

Великий Аттрактор, или сверхпритяжение В начале последнего десятилетия минувшего столетия астрономы установили, что галактики разлетаются в космическом пространстве не поодиночке, а огромными скоплениями, как стаи птиц во время перелетов. Так, Млечный Путь вместе с

«Странный» дар

Из книги Простодушное чтение автора Костырко Сергей Павлович

«Странный» дар Сергей Довлатов. «Речь без повода… или Колонки редактора». М.: Махаон, 2006. При всей очевидности литературного дара Сергея Довлатова дар этот странный. Критик Елисеев для разбора одного из его рассказов вынужден был привлечь контекст ни больше ни меньше

СТРАННЫЙ ПЁС

Из книги Неугомонный Носир автора Ортыков Болта

СТРАННЫЙ ПЁС Наш кишлак Чинор лежит у подножия высоких гор. «Чинор» по-таджикски значит «чинара». Кишлак назвали так, наверно, потому, что в самом его центре, рядом с правлением колхоза, растёт высокая густая чинара. Её видно далеко-далеко! В тени чинары - чайхана и

Похмельный аттрактор

Из книги Критика нечистого разума автора Силаев Александр Юрьевич

Похмельный аттрактор Интересен процесс возвращения в себя с бодуна: первой восстанавливается функция мышления-принятия решения, потом письма, и лишь потом чтения (писать уже нормально, а читать в лом). Но это у меня лично. Это чего-то значит, или так?И банальное: если уж

1. Странный мир

Из книги Фолкнер - Очерк творчества автора Анастасьев Николай Аркадьевич

1. Странный мир Открывая едва ли не любой из фолкнеровских романов, сразу ощущаешь, что попал в страну обширную, значительную, богатую, в страну, живущую предельно напряженной жизнью, страну, проблемы которой значение имеют - исключительное.Но расшифровать законы этого

«Странный я, странный»

Из книги Живое предание XX века. О святых и подвижниках нашего времени автора Никифорова Александра Юрьевна

«Странный я, странный» Зураб Варази: За несколько дней до кончины отца Гавриила я принял решение взять у него кровь для анализов. Когда я попросил его об этом, батюшка ответил: «Зачем тебе кровь?» Я объяснил, что необходимо проверить гемоглобин, функцию печени и т. д. «Не

Странный

Из книги Дочь генерала автора Петров Александр Петрович

Странный Старушка Харина захватила Наташу в плен. Так она сама объявила. Наташа помогала няне по хозяйству и выслушивала старушку, которая никак не могла наговориться «напоследок». Сергей что-то где-то прибил, выправил и направился в храм.Только прикрыл за собой калитку,