Нечеткие множества. Операции над нечеткими множествами

Включение. Пусть A и B – нечеткие множества на уни-версальном множестве E. Говорят, что A содержится в B, если "x ÎE m A (x) > m B (x). Обозначение: A Ì B.

Равенство. A и B равны, если "xÎE m A (x) = m B (x). Обозначение: A = B.

Дополнение. Пусть M = , A и B – нечеткие множества, заданные на E. A и B дополняют друг друга, если
"xÎE m A (x) = 1 – m B (x). Обозначение: B = или A = . Очевид-но, что . (Дополнение определено для M = , но оче-видно, его можно определить для любого упорядоченного M).

Пересечение. A Ç B – наибольшее нечеткое подмно-жество, содержащееся одновременно в A и B;

m A Ç B (x ) = min{m A (x ), m B (x )}.

Объединение.А È В – наименьшее нечеткое подмно-жество, включающее как А, так и В, с функцией принадлежности

m A È B (x ) = max {(m A (x ), m B (x )}.

Разность. А \ B= А Ç с функцией принадлежности:

m A\B (x ) = min { m A (x ), 1 – m B (x )}.

Например.

Пусть: A = 0,4/ x 1 È 0,2/ x 2 È 0/ x 3 È 1/ x 4 ;

1. A Ì B, т.е. A содержится в B, С несравнимо ни с A, ни с B.

2. A ¹ B ¹ C.

3. = 0,6/ x 1 È 0,8/ x 2 È 1/ x 3 È 0/ x 4 ;
= 0,3/ x 1 È 0,1/ x 2 È 0,9/ x 3 È 0/ x 4 .

Для нечетких множеств можно строить визуальное представление. Рассмотрим прямоугольную систему координат, на оси ординат которой откладываются значения m A (x ), на оси абсцисс в произвольном порядке расположены элементы E (мы уже использовали такое представление в примерах нечетких множеств). Если E по своей природе упорядочено, то этот порядок желательно сохранить в расположении элементов на оси абсцисс. Такое представление делает наглядными простые операции над нечеткими множествами.

Рис. 1. Рис. 2

Рис. 3. Рис. 4.

На рис. 1 темная часть соответствует нечеткому множеству A и, если говорить точно, изображает область значений А и всех нечетких множеств, содержащихся в A. На Рис. 2 – 4 даны , A Ç , AÈ , соответственно.

Свойства операций È и Ç.

Пусть А, В, С – нечеткие множества, тогда выполняются следующие соотношения:

а) – коммутативность;

б) – ассоциативность;

в) – идемпотентность;

г) – дистрибутивность;

д) AÈÆ= A, где Æ – пустое множество, т.е. m Æ (x)= 0"xÎE;

AÇE = A, где E – универсальное множество;

е) – теоремы де Моргана.

В отличие от четких множеств, для нечетких множеств в общем случае AÇ Æ, AÈ ¹ E, что, в частности, проиллюстрировано выше в примере наглядного представления нечетких множеств.

Алгебраические операции над нечеткими множествами

Алгебраическое произведение A и B обозначается A×B и определяется так:

"xÎE m A × B (x ) = m A (x )m B (x ).

Алгебраическая сумма этих множеств обозначается А + В и определяется так:

"xÎE m A+В (x ) = m A (x ) + m B (x )-m A (x )m B (x ).

Для операций {×, +} выполняются свойства:

· – коммутативность;

· – ассоциативность;

· A×Æ = Æ, A+Æ = A, A×E = A, A+E = E ;

· – законы де Моргана.

Не выполняются:

· – идемпотентность;

· – дистрибутивность;

· а также A× = Æ, A+ = E.

Докажем первый закон де Моргана. Обозначим m A (x) через a, m B (x) через b. Тогда в левой части равенства для каждого элемента х имеем: 1– ab, а в правой, согласно формуле алгебраического сложения: (1– a) + (1– b) – (1 – a)(1 – b) = 1 – ab.

Докажем, что первое свойство дистрибутивности не выполня-ется, т.е. A×(B + C) ¹ (A×B) + (A×C). Для левой части имеем: a(b+c– bc) = ab + ac – abc; для правой: ab + ac – (ab)(ac) = ab + ac + a 2 bc. Это означает, что дистрибутивность не выполняется при a¹a 2 .

Замечание. При совместном использовании операций {È, Ç,+,×} выполняются свойства:

· А×(B È C) = (A×B) È (A × C);

· А× (B Ç C) = (A×B) Ç (A×C);

· А+(B È C) = (A+B) È (A+C);

· А+ (B Ç C) = (A+B) Ç (A+C).

Декартово произведение нечетких множеств. Пусть A 1 , A 2 , ..., A n – нечеткие подмножества универсальных множеств E 1 , E 2 , ..., E n соответственно. Декартово произведение A= A 1 ´A 2 ´ ...´A n является нечетким подмножеством множества E= E 1 ´E 2 ´ ... ´E n с функцией принадлежности:

m A (x 1 , x 1 , ..., x n) = min{ m A1 (x 1), m A2 (x 2) , ... , m Ai (x n) }.

Принцип обобщения

Принцип обобщения – одна из основных идей теории нечетких множеств – носит эвристический характер и используется для расширения области применения нечетких множеств на отображения. Будем говорить, что имеется нечеткая функция f, определенная на множестве X со значением в множестве Y, если она каждому элементу xÎX ставит в соответствие элемент yÎY со степенью принадлежности m f (x,y). Нечеткая функция f определяет нечеткое отображение f : X Y .

Принцип обобщения заключается в том, что при заданном четком f: X®Y или нечетком f : X Y отображении для любого нечеткого множества А, заданного на Х, определяется нечеткое множество f(A) на Y, являющееся образом A.

Пусть f: X®Y заданное четкое отображение, а A = {m A (x)/х}– нечеткое множество в Х. Тогда образом А при отображении f является нечеткое множество f(A) на Y с функцией принадлежности:

m f(A) (y) = ; yÎY,

где f –1 (y)={x | f(x) = y}.

В случае нечеткого отображения f : X Y, когда для любых xÎX и yÎY определена двуместная функция принадлежности m f (x, y), образом нечеткого множества А, заданного на Х, являет-ся нечеткое множество f(A ) на Y с функцией принадлежности m f (A) (y) = { min(m A (x), m f (x, y) }.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1. Пусть: A = 0,4/ x 1 È 0,2/ x 2 È 0/ x 3 È 1/ x 4 ;

B = 0,7/ x 1 È 0,9/ x 2 È 0,1/ x 3 È1/ x 4 ;
C = 0,1/ x 1 È 1/ x 2 È 0,2/ x 3 È 0,9/ x 4 .

Построить множества: а) AÇB;

в) А \ В; В \ А.

2. Для универсального множества E = {Запорожец, Жигули, Мерседес, Феррари} прямым методом построить нечеткие множества: а) “скоростные”;

б) “средние”;

в) “тихоходные”.

3. Пусть E = {1, 2, 3, ..., 100} и соответствует понятию “возраст“. Прямым методом построить нечеткие множества

а) “пожилой”;

б) “пора замуж”;

в) “призывник”,

и построить аппроксимирующую формулу для соответсивующих функций принадлежности.

4. В условиях задачи 2 построить нечеткие множества а) – в) косвенным методом на основе парных сравнений элементов Е.

ГЛАВА 2. БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ

И ФУНКЦИЯ ВЫБОРА

Лекция № 4. Операции с нечеткими множествами

Определение операций, выполняемых с нечеткими множествами, во многом аналогично операциям с обычными (четкими) множествами.

Эквивалентность. Два нечетких множества А и В эквивалентны (это
обозначается как ) тогда и только тогда, когда для всех имеет место .

Рис. 2.4. Операции с нечеткими множествами

Включение . Нечеткое множество А содержится в нечетком множестве В () тогда и только тогда, когда

Объединение , или дизъюнкция (disjunction), двух нечетких множеств А и В соответствует логической операции "ИЛИ " и определяется как наименьшее нечеткое множество, содержащее оба множества А и В. Функция принадлежности для этого множества находится с помощью операции взятия максимума (рис.2.4, б)

Пересечение , или конъюнкция (conjunction), соответствует логической операции "И " и определяется как наибольшее нечеткое множество, являющееся одновременно подмножеством обоих множеств.

Функция принадлежности множества выражается с помощью операции нахождения минимума (рис. 2.4,в)

Дополнение (complement) нечеткого множества А , обозначаемое через (или ¯| А), соответствует логическому отрицанию "НЕ " и определяется формулой (рис. 2.4,г)

Легко видеть, что применительно к классическим "четким" множествам, для которых функции принадлежности принимают только 2 значения: 0 или 1, формулы определяют известные операции логического "ИЛИ", "И", "НЕ".

Приведем определения еще двух достаточно распространенных операций над нечеткими множествами – алгебраического произведения и алгебраической суммы нечетких множеств.

Алгебраическое произведение АВ нечетких множеств А и В определяется следующим образом:

Алгебраическая сумма :

Кроме перечисленных имеются и другие операции, которые оказываются полезными при работе с лингвистическими переменными.

Операция концентрации (concentration) CON(А) определяется как алгебраическое произведение нечеткого множества А на самого себя: т.е.

В результате применения этой операции к множеству А уменьшаются степени принадлежности элементов х этому множеству, причем если , то это уменьшение относительно мало, а для элементов с малой степенью принадлежности - относительно велико. В естественном языке применение этой операции к тому или иному значению лингвистической переменной А соответствует использованию усиливающего терма "очень" (например, "очень высокий", "очень старый" и т.д.).

Операция растяжения (dilation) DIL(A) определяется как

DIL(A)=A 0,5 , где

Действие этой операции противоположно действию операции концентрации и соответствует неопределенному терму "довольно", выполняющему функцию ослабления следующего за ним (основного) терма А : "довольно высокий", "довольно старый" и т.п.

Можно ввести и другие аналогичные по смыслу операции, позволяющие модифицировать значения лингвистической переменной, увеличивая, таким образом, их количество. Так, терм "более чем" можно определить следующим образом:

составной терм "очень-очень":

Рассмотрим применение указанных операций на следующем наглядном примере. Пусть переменная х характеризует "возраст человека", X - интервал . Тогда нечеткие подмножества, описываемые термами "молодой" и "старый", можно представить с помощью функции принадлежности (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Графическое представление лингвистической переменной “возраст человека"

Тогда, в соответствии с выражением, находим (рис. 2.5)

Точно так же, используя (2.10) и (2.14), получаем (рис. 2.5)

Например, если конкретному человеку исполнилось 55 лет (т.е. х = 55), то в соответствии с данными функциями принадлежности имеем:

До сих пор предполагалось, что речь идет о единственной переменной , принимающей значения на вещественной числовой оси.

Для случая двух вещественных переменных ( и ) можно говорить о нечетком отношении R: X →Y , которое определяет некоторое соответствие между элементами множества X и множества У с помощью двумерной функции принадлежности μ(х,у ):

Приведем еще один пример.

Допустим, что мы имеем два набора чисел

и пусть субъективные мнения экспертов о сравнительной величине этих чисел представлены в виде нечетких отношений:

R 1 (x,y) = "x больше, чем у",

R 2 (x,y) = "x приблизительно равно у".

Зададим отношение R 1 с помощью табл.2.1, а отношение R 2 - с помощью табл. 2.2.

Здесь (i,j ) - й элемент таблицы равен значению соответствующей функции принадлежности для i -го значения х и j -гo значения у . Тогда операции объединения и пересечения указанных отношений могут быть интерпретированы как

Функции принадлежности и с помощью операций нахождения максимума и минимума, и принимают вид табл. 2.3, 2.4.

Лекция № 4. Операции с нечеткими множествами

Рис. 2.4. Операции с нечеткими множествами

Включение . Нечеткое множество А содержится в нечетком множестве В () тогда и только тогда, когда

Функция принадлежности множества выражается с помощью операции нахождения минимума (рис. 2.4,в)

Алгебраическое произведение АВ нечетких множеств А и В определяется следующим образом:

Алгебраическая сумма :

Операция растяжения (dilation) DIL(A) определяется как

DIL(A)=A 0,5 , где

составной терм "очень-очень":

Рис. 2.5. Графическое представление лингвистической переменной “возраст человека"

Тогда, в соответствии с выражением, находим (рис. 2.5)

Точно так же, используя (2.10) и (2.14), получаем (рис. 2.5)

Логические операции

Включение. Пусть А и В - нечеткие множества на универсальном множестве Е. Говорят, что А содержится в В, если

Обозначение: А ⊂ В.

Иногда используют термин доминирование, т.е. в случае, когда А ⊂ В, говорят, что В доминирует А.

Равенство. А и В равны, если

Обозначение: А = В.

Дополнение. Пусть М = , А и В – нечеткие множества, заданные на Е. А и В дополняют друг друга, если

Обозначение:

Очевидно, что (дополнение определено для М = , но очевидно, что его можно определить для любого упорядоченного М).

Пересечение. А ⋂ В - наибольшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в А и В:

Объединение. A ∪В - наименьшее нечеткое подмножество, включающее как А, так и В, с функцией принадлежности:

Разность. с функцией принадлежности:

Дизъюнктивная сумма

А ⊕ В = (A - B ) ∪ (B - A ) = (A ⋂ ̅ B ) ∪ ( ̅A ⋂ B )

с функцией принадлежности:

Примеры. Пусть

Здесь:

1) А ⊂ В, т. е. А содержится в B или B доминирует А ; С несравнимо ни с A , ни с В, т.е. пары {А, С } и {А, С } - пары недоминируемых нечетких множеств.

2) A ≠ B ≠ C

3) ̅A = 0,6/x 1 + 0,8/x 2 + 1/x 3 + 0/x 4 ; ̅B = 0,3/x 1 + 0,1/x 2 + 0,9/x 3 +0/x 4 .

4) А ⋂ В = 0,4/x 1 + 0,2/x 2 + 0/x 3 + 1 /х 4 .

5) A ∪ В = 0,7/ x 1 + 0,9/x 2 + 0,1/x 3 + 1/x 4 .

6) А - В = А ⋂ ̅В = 0,3/x 1 + 0,l/x 2 + 0/x 3 + 0/x 4 ;

В - А= ̅А ⋂ В = 0,6/x 1 + 0,8/x 2 + 0,l/x 3 + 0/x 4 .

7) А ⊕ В = 0,6/x 1 + 0,8/x 2 + 0,1/x 3 + 0/x 4 .

Наглядное представление логических операций над нечеткими множествами. Для нечетких множеств можно строить визуальное представление. Рассмотрим прямоугольную систему координат, на оси ординат которой откладываются значения μ А (х), на оси абсцисс в произвольном порядке расположены элементы Е (мы уже использовали такое представление в примерах нечетких множеств). Если Е по своей природе упорядочено, то этот порядок желательно сохранить в расположении элементов на оси абсцисс. Такое представление делает наглядными простые логические операции над нечеткими множествами (см. рис. 1.3).

Рис. 1.3. Графическая интерпретация логических операций: α - нечеткое множество А; б - нечеткое множество ̅А, в - А ⋂ ̅А; г - A ∪ ̅А

На рис. 1.3α заштрихованная часть соответствует нечеткому множеству А и, если говорить точно, изображает область значений А и всех нечетких множеств, содержащихся в А. На рис. 1.3б , в, г даны ̅А, А ⋂ ̅ A , A U ̅А.

Свойства операций ∪ и ⋂

Пусть А, В, С - нечеткие множества, тогда выполняются следующие свойства:

В отличие от четких множеств, для нечетких множеств в общем

случае:

A ⋂ ̅A ≠ ∅, A ∪ ̅A ≠ E

(что, в частности, проиллюстрировано выше в примере наглядного представления нечетких множеств).

Замечание . Введенные выше операции над нечеткими множествами основаны на использовании операций maxи min. В теории нечетких множеств разрабатываются вопросы построения обобщенных, параметризованных операторов пересечения, объединения и дополнения, позволяющих учесть разнообразные смысловые оттенки соответствующих им связок «и», «или», «не».

Один из подходов к операторам пересечения и объединения заключается в их определении в классе треугольных норм и конорм.

Треугольной нормой (t -нормой ) называется двуместная действительная функция T : x → , удовлетворяющая следующим условиям:

Примеры треугольных норм

min(μ A , μ B )

произведение μ A · μ B

max(0, μ A + μ B - 1 ).

Треугольной конормой (t -конормой ) называется двуместная действительная функция S : x → со свойствами:

Примеры t -конорм

max(μ A , μ B )

μ A + μ B - μ A · μ B

min(1, μ A + μ B ).

Алгебраические операции над нечеткими множествами

Алгебраическое произведение А иВ обозначается A · В и определяется так:

Алгебраическая сумма этих множеств обозначается А+ В и определяется так:

Для операций {-, +} выполняются свойства:

Не выполняются:

Замечание. При совместном использовании операций { U, ⋂, + , } выполняются свойства:

На основе операции алгебраического произведения определяется операция возведения в степень α нечеткого множества А, где α - положительное число. Нечеткое множество А α определяется функцией принадлежности μ α A = μ α A (x ). Частным случаем возведения в степень являются:

1) CON(А ) = А 2 - операция концентрирования (уплотнения );

2) DIL(А ) = А 0,5 - операция растяжения,

которые используются при работе с лингвистическими неопределенностями (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Иллюстрация к понятию операций концентрирования (уплотнения) и растяжения

Умножение на число. Если α - положительное число, такое, что , то нечеткое множество αА имеет функцию принадлежности:

μ αА (х) = αμ A (x ).

Выпуклая комбинация нечетких множеств. Пусть A 1 , А 2 ,... , А n - нечеткие множества универсального множества Е, aω 1 , ω 2 , …, ω n - неотрицательные числа, сумма которых равна 1.

Выпуклой комбинацией A 1 , А 2 , ..., А n называется нечеткое множество А с функцией принадлежности:

Декартово (прямое ) произведение нечетких множеств. Пусть A 1 , А 2 , ..., А n - нечеткие подмножества универсальных множеств Е 1 , Е 2 ,… , Е n соответственно. Декартово, или прямое произведение А = А 1 x А 2 x... x А n является нечетким подмножеством множества Е = Е 1 x Е 2 x... x Е n с функцией принадлежности:

Оператор увеличения нечеткости используется для преобразования четких множеств в нечеткие и для увеличения нечеткости нечеткого множества.

Пусть А - нечеткое множество, Е - универсальное множество и для всех х ϵ Е определены нечеткие множества К(х). Совокупность всех К(х) называется ядром оператора увеличения нечеткости Ф. Результатом действия оператора Ф на нечеткое множество А является нечеткое множество вида

где μ А (х)К(х) - произведение числа на нечеткое множество.

Пример . Пусть

Е = {1,2,3,4}; А = 0,8/1+ 0,6/2+ 0/3+ 0/4; К (1)= 1/1 + 0,4/2;

К (2) = 1/2 + 0,4/1 + 0,4/3; К (3) = 1/3 + 0,5/4; К (4)= 1/4.

Тогда

Четкое множество α-уровня (или уровня α). Множеством α-уровня нечеткого множества А универсального множества Е называется четкое подмножество А α универсального множества Е, определяемое в виде

А α = { x /μ A (x ) ≥ α },

где α ≤ 1.

Пример. Пусть А = 0,2/ x 1 + 0/x 2 + 0,5/x 3 + 1/x 4 , тогда A 0,3 = { x 3 , x 4 }, A 0,7 = { х 4 }.

Достаточно очевидное свойство: если α 1 ≥ 2, то А α1 ≤ А α2 .

Приведем некоторые из основных операций, которые можно осуществлять над нечетким множествами.

1. Дополнение нечеткого множества А обозначается символом и определяется следующим образом:

(5.15)

Операция дополнения соответствует логическому отрицанию. Например, если А - название нечеткого множества, то «не А» понимается как (см. пример ниже).

2. Объединение нечетких множеств А и В обозначается А+В (или АÈВ ) и определяется:

(5.16)

Объединение соответствует логической связке «или ». Например, если А и В – названия нечетких множеств, то запись «А или В » понимается как А+В .

u большее из .

Замечание: следует иметь в виде, что логическая связка Ú в данном контексте означает по определению max (т.е. ); Ù означает min (т.е. ).

3. Пересечение А и В обозначаются АÇВ и определяется следующим образом:

(5.17)

Пересечение соответствует логической связке «u », т.е.

А иВ=АÇВ (5.18)

При определении степени принадлежности элементов u новому нечеткому множеству, выбирают меньшее из (см. замечание выше).

4. Произведение А и В обозначается АВ и определяется формулой

(5.19)

если (5.20)

Пример 5.5. Если

U=1+2+…+10

A=0.8/3+1/5+0.6/6 (5.21)

B=0.7/3+1/4+0.5/6,

То ØА=1/1+1/2+0.2/3+1/4+0.4/6+1/7+1/8+1/9+1/10

А+В=0.8/3+1/4+1/5+0.6/6

АÇВ=0.7/3+0.5/6 (берется min из двух значений m) (5.22)

АВ=0.56/3+0.3/6

0.4А=0.32/3+0.4/5+0.24/6

5. Декартово произведение нечетких множеств А 1 , …, А n универсальных множеств U 1 ,…,U n соответственно обозначается А 1 ´…´А n и определяется как нечеткое подмножество множества U 1 ´…´U n с функцией принадлежности.

Пример 5.6. Если

U 1 =U 2 =3+5+7

A 1 =0.5/3+1/5+0.6/7

A 2 =1/3+0.6/5, то

A 1 ´A 2 =0.5/3.3+1/5.3+0.6/7.6+0.5/3.5+0.6/5.5+0.6/7.5

Нечеткие отношения.

Нечеткое отношение R : X®Y представляет собой нечеткое множество декартова произведения X´Y . R следующим образом описывается с помощью функции принадлежности двух переменных:

(5.25)

Нечетким отношением на множестве X´Y называется совокупность пар

(5.26)

где - функция принадлежности нечеткого отношения R , имеющая тот же смысл, что и функция принадлежности нечеткого множества.

Вообще n - арное отношение есть нечеткое подмножество декартова произведения X 1 ´X 2 ´…´X n , причем

(5.27)

Примеры нечетких отношений:

«X примерно равен Y »,

«X значительно больше Y »,

«А существенно предпочтительнее В ».

Пример 5.7. Предположим, что X={Юрий, Сергей} , Y={Максим, Михаил} .

Тогда бинарное нечеткое отношение «сходства» между элементами множеств X и Y можно записать в виде

сходство=0.8/(Юрий,Максим)+0.6/(Юрий,Михаил)+0.2/(Сергей,Максим)+0.9/(Сергей, Михаил).

Помимо этого, данное отношение можно представить в виде матрицы отношений.

(5.28)

В которой (i,j)- й элемент равен значению функции для i -го значения x и j-го значения y .

Если R – отношение X®Y (или, что то же самое, отношение в X´Y ), а S – отношение Y®Z , то композицией R и S является нечеткое отношение X®Z , обозначаемое R° S и определяемое формулой

где ° - знак композиции, знаки Ú и Ù обозначают соответственно max и min , V y – верхняя грань по области значений у .

Здесь (5.29) является композицией отношений.

Выражение (5.29) определяет максминное произведение R и S .

Так, для действительных чисел а и b :

(5.30)

(5.31)

Если X,Y,Z – конечные множества, то матрица отношения R° S есть максминное произведение матриц отношений R и S . В максминном произведении матриц вместо операции сложения и умножения используются операции Ú и Ù соответственно.

Пример максминного произведения

(5.32)

Здесь количество строк должно равняться количеству столбцов. Строка умножается на столбец и берется максимальное значение из минимальных значений пар.