Электромагнитные волны уравнения максвелла и волновое уравнение. Математическое описание электромагнитных волн
(конспектируем курсив)
1. Ток смещения
2. Система уравнений Максвелла
3. ЭМ волны и их характеристики
4. Получение ЭМ волн – опыты Герца
5. Применение ЭМ волн
1. В реальной жизни не существует отдельно электрического и магнитного полей, есть единое электромагнитное поле.
Теория электромагнитного поля, начала которой заложил Фарадей, математически была завершена Максвеллом. Важной выдвинутой Максвеллом идеей, была мысль о симметрии во взаимозависимости электрического и магнитного полей. А именно, поскольку меняющееся во времени магнитное поле (dB/dt) создает электрическое поле, следует ожидать, что меняющееся во времени электрическое поле (dE/dt) создает магнитное поле.
Согласно теореме о циркуляции вектора Н
Применим эту теорему к случаю, когда предварительно заряженный плоский конденсатор разряжается через некоторое внешнее сопротивление (рис. а).
В качестве контура Г возьмем кривую, охватывающую провод. На контур Г можно натянуть разные поверхности, например S и S".Обе поверхности имеют «равные права», однако через поверхность S течет ток I, а через поверхность S" нет тока. Поверхность S" «пронизывает» только электрическое поле. По теореме Гаусса поток вектора D сквозь замкнутую поверхность
D dS = q
Согласно определения плотности тока имеем
Сложим левые и правые части уравнений, получим
Из уравнения видно, что кроме плотности тока проводимости j имеется еще одно слагаемое dD/dt,размерность которого равна размерности плотности тока.
Максвелл назвал это слагаемое плотностью тока смещения:
J см = dD/dt.
Сумму же тока проводимости и тока смещения называют полным током.
Линии полного тока являются непрерывными в отличие от линий тока проводимости. Токи проводимости, если они не замкнуты, замыкаются токами смещения.
Следует иметь в виду, что ток смещения эквивалентен току проводимости только в отношении способности создавать магнитное поле.
Токи смещения существуют лишь там, где меняется со временем электрическое поле. В сущности он сам является переменным электрическим полем.
Открытие Максвеллом тока смещения - чисто теоретическое открытие, причем первостепенной важности.
2. С введением тока смещения макроскопическая теория электромагнитного поля была завершена. Открытие тока смещения ( dD/dt) позволило Максвеллу создать единую теорию электрических и магнитных явлений. Теория Максвелла не только объяснила все разрозненные явления электричества и магнетизма, но и предсказала ряд новых явлений, существование которых подтвердилось впоследствии.
В основе электромагнитной теории Максвелла лежат четыре фундаментальных уравнений электродинамики, называемые уравнениями Максвелла.
Эти уравнения в сжатой форме выражают всю совокупность наших сведений об электромагнитном поле.
1. Циркуляция вектора Е по любому замкнутому контуру равна со знаком минус производной по времени от магнитного потока через любую поверхность, ограниченную данным контуром. При этом под Е понимается не только вихревое электрическое поле, но и электростатическое.
2. Поток вектора В сквозь произвольную замкнутую поверхность всегда равен нулю.
3. Циркуляция вектора Н по любому замкнутому контуру равна полному току (току проводимости и току смещения) через произвольную поверхность, ограниченную данным контуром.
4. Поток вектора D сквозь любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме сторонних зарядов, охватываемых этой поверхностью.
Из уравнений Максвелла для циркуляции векторов Е и Н следует, что электрическое и магнитное поля нельзя рассматривать как независимые: изменение во времени одного из этих полей приводит к появлению другого. Поэтому имеет смысл лишь совокупность этих полей, описывающая единое электромагнитное поле.
Эти уравнения говорят о том, что электрическое поле может возникнуть по двум причинам. Во-первых, его источником являются электрические заряды, как сторонние, так и связанные. Во-вторых, поле Е образуется всегда, когда меняется во времени магнитное поле.
Эти же уравнения говорят о том, что магнитное поле В может возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями, либо тем и другим одновременно. Никаких источников магнитного поля, подобных электрическим зарядам, в природе не существует, это следует из второго уравнения.
Значение уравнений Максвелла не только в том, что они выражают основные законы электромагнитного поля, но и в том, что путем их решения (интегрирования) могут быть найдены сами поля Е и В.
Уравнения Максвелла обладают большей общностью, они справедливы и в тех случаях, когда существуют поверхности разрыва - поверхности, на которых свойства среды или полей меняются скачкообразно.
Фундаментальные уравнения Максвелла еще не составляют полной системы уравнений электромагнитного поля. Этих уравнений недостаточно для нахождения полей по заданным распределениям зарядов и токов. Их необходимо дополнить соотношениями, эти соотношения называют материальными уравнениями.
Материальные уравнения наиболее просты в случае достаточно слабых электромагнитных полей, сравнительно медленно меняющихся в пространстве и во времени. В этом случае для изотропных сред, материальные уравнения имеют следующий вид:
=εε 0
=μμ 0
=γ( + ст)
Уравнения Максвелла обладают рядом свойств.
1 свойства – линейности.
Уравнения Максвелла линейны, т.к. они содержат только первые производные полей Е и В по времени и пространственным координатам и первые степени плотности электрических зарядов и токов.
Свойство линейности уравнений Максвелла непосредственно связано с принципом суперпозиции: если два каких-нибудь поля удовлетворяют уравнениям Максвелла, то это относится и к сумме этих полей.
2 свойство – непрерывности .
Уравнения Максвелла содержат уравнение непрерывности, выражающее закон сохранения электрического заряда.
3 свойство – инвариантности.
Уравнения Максвелла выполняются во всех инерциальных системах отсчета. Они являются релятивистски инвариантными. Это есть следствие принципа относительности, согласно которому все инерциальные системы отсчета физически эквивалентны друг другу. Факт инвариантности уравнений Максвелла подтверждается многочисленными опытными данными.
Уравнения Максвелла являются правильными релятивистскими уравнениями в отличие, например, от уравнений механики Ньютона.
4 свойство – симметрии.
Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это обусловлено тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет зарядов магнитных.
В нейтральной однородной непроводящей среде уравнения Максвелла приобретают симметричный вид.
Из уравнений Максвелла следует вывод о существовании принципиально нового физического явления: электромагнитное поле способно существовать самостоятельно - без электрических зарядов и токов. При этом изменение его состояния обязательно имеет волновой характер. Поля такого рода называют электромагнитными волнами. В вакууме они всегда распространяются со скоростью, равной скорости с.
Выяснилось также, что ток смещения (dD/dt)играет в этом явлении первостепенную роль. Именно его присутствие наряду с величиной dB/dtи означает возможность появления электромагнитных волн. Всякое изменение во времени магнитного поля возбуждает поле электрическое, изменение же поля электрического, в свою очередь, возбуждает магнитное поле.
За счет непрерывного взаимопревращения или взаимодействия они и должны сохраняться - электромагнитное возмущение будет распространяться в пространстве.
Теория Максвелла не только предсказала возможность существования электромагнитных волн, но и позволила установить все их основные свойства.
3. Существование электромагнитных волн было теоретически предсказано великим английским физиком Дж. Максвеллом в 1864 году.
Гипотеза Максвелла была лишь теоретическим предположением, не имеющим экспериментального подтверждения, однако на ее основе Максвеллу удалось записать непротиворечивую систему уравнений, описывающих взаимные превращения электрического и магнитного полей, то есть систему уравнений электромагнитного поля (уравнений Максвелла). Из теории Максвелла вытекает ряд важных выводов, одним из них явился вывод о существовании электромагнитных волн.
Электромагнитные волны поперечны
– векторы перпендикулярны друг другу и лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны
(рис.). 
Электромагнитные волны распространяются в веществе с конечной скоростью
Скорость c распространения электромагнитных волн в вакууме является одной из фундаментальных физических постоянных.
4. Максвелл утверждал, что электромагнитные волны обладают свойствами отражения, преломления, дифракции и т.д. Но любая теория становится доказанной лишь после ее подтверждения на практике. Но в то время ни сам Максвелл, ни кто-либо другой еще не умели экспериментально получать электромагнитные волны. Это произошло только после 1888 года , когда Герц экспериментально открыл электромагнитные волны.
В результате экспериментов Герц создал источник электромагнитных волн, названный им "вибратором"
. Вибратор состоял из двух проводящих сфер
(в ряде опытов цилиндров) диаметром 10-30 см, укрепленных на концах проволочного разрезанного посредине стержня
. Концы половин стержня в месте разреза оканчивались небольшими полированными шариками
, образуя искровой промежуток в несколько миллиметров.
Сферы подсоединялись ко вторичной обмотке катушки Румкорфа, являвшейся источником высокого напряжения.
Из теории Максвелла известно,
1)излучать электромагнитную волну может только ускоренно движущийся заряд,
2)что энергия электромагнитной волны пропорциональна четвертой степени ее частоты.
Понятно, что ускоренно заряды движутся в колебательном контуре, поэтому проще всего их использовать для излучения электромагнитных волн. Но надо сделать так чтобы частота колебаний зарядов стала как можно выше. Из формулы Томсона для циклической частоты колебаний в контуре следует, что для повышения частоты надо уменьшать емкость и индуктивность контура .
Чтобы уменьшить емкость C надо увеличивать расстояние между пластинами
(раздвигать их, делать контур открытым) и уменьшать площадь пластин. Самая маленькая емкость, которая может получиться, - просто провод.
Чтобы уменьшить индуктивность L надо уменьшать число витков. В результате этих преобразований получим просто кусок провода или открытый колебательный контур ОКК.
Суть происходящих в вибраторе явлений заключается в следующем. Индуктор Румкорфа создает на концах своей вторичной обмотки очень высокое, порядка десятков киловольт, напряжение, заряжающее сферы зарядами противоположных знаков. В определенный момент в искровом промежутке вибратора возникает электрическая искра, делающая сопротивление его воздушного промежутка столь малым, что в вибраторе возникают высокочастотные затухающие колебания, длящиеся во все время существования искры. Поскольку вибратор представляет собой открытый колебательный контур, происходит излучение электромагнитных волн.
После огромной серии трудоемких и чрезвычайно остроумно поставленных опытов с использованием простейших, так сказать, подручных средств экспериментатор достиг цели. Удалось измерить длины волн и рассчитать скорость их распространения. Были доказаны
· наличие отражения,
· преломления,
· дифракции,
- интерференции и поляризации волн.
- измерена скорость электромагнитной волны
5. Впервые электромагнитные волны были использованы через семь лет после опытов Герца. 7 мая 1895 г. преподаватель физики офицерских минных классов А. С. Попов (1859-1906) на заседании Русского физико-химического общества продемонстрировал первый в мире радиоприемник, открывший возможность практического использования электромагнитных волн для беспроволочной связи, преобразившей жизнь человечества. Первая переданная в мире радиограмма содержала лишь два слова: «Генрих Герц». Изобретение радио Поповым сыграло огромную роль для распространения и развития теории Максвелла.
Электромагнитные волны сантиметрового и миллиметрового диапазонов, встречая на своем пути преграды, отражаются от них. Это явление лежит в основе радиолокации - обнаружения предметов (например, самолетов, кораблей и т. д.) на больших расстояниях и точного определения их положения. Помимо этого, методы радиолокации используются для наблюдения прохождения и образования облаков, движения метеоритов в верхних слоях атмосферы и т. д.
Для электромагнитных волн характерно явление дифракции - огибание волнами различных препятствий. Именно благодаря дифракции радиоволн возможна устойчивая радиосвязь между удаленными пунктами, разделенными между собой выпуклостью Земли. Длинные волны (сотни и тысячи метров) применяются в фототелеграфии, короткие волны (несколько метров и меньше) применяются в телевидении для передачи изображений на небольшие расстояния (немногим больше пределов прямой видимости). Электромагнитные волны используются также в радио-геодезии для очень точного определения расстояний с помощью радиосигналов, в радиоастрономии для исследования радиоизлучения небесных тел и т. д. Полное описание применения электромагнитных волн дать практически невозможно, так как нет областей науки и техники, где бы они не использовались.
Для осуществления радио- и телевизионной связи используются электромагнитные волны с частотой от нескольких сотен тысяч герц до сотен мегагерц.
При передаче по радио речи, музыки и других звуковых сигналов применяют различные виды модуляции высокочастотных (несущих) колебаний. Суть модуляции заключается в том, что высокочастотные колебания, вырабатываемые генератором, изменяют по закону низкой частоты. В этом и заключается один из принципов радиопередачи. Другим принципом является обратный процесс - детектирование. При радиоприеме из принятого антенной приемника модулированного сигнала нужно отфильтровать звуковые низкочастотные колебания.
С помощью радиоволн осуществляется передача на расстояние не только звуковых сигналов, но и изображения предметов.
Похожая информация.
В основе теории Максвелла лежат рассмотренные четыре уравнения:
1. Электрическое
поле может быть как потенциальным
(e
q),
так и
вихревым (Е
B),
поэтому напряженность суммарного поля
Е
=Е
Q +Е
B .
Так как циркуляция вектора e
q
равна нулю,
а циркуляция вектора Е
B
определяется выражением,
то циркуляция вектора напряженности
суммарного поля
Это уравнение показывает, что источниками
электрического поля могут быть не только
электрические заряды, но и меняющиеся
во времени магнитные поля.
2. Обобщенная теорема
о циркуляции вектора Н
:
Это уравнение показывает, что магнитные
поля могут возбуждаться либо движущимися
зарядами, либо переменными электрическими
полями.
3. Теорема Гаусса
для поля D
:
Если заряд распределен внутри замкнутой
поверхности непрерывно с объемной
плотностью,
то формула запишется в виде
4. Теорема Гаусса
для поля В:
Итак,полная
система уравнений Максвелла в
интегральной форме:
Величины, входящие в уравнения Максвелла,
не являются независимыми и между
ними существует следующая связь:D
= 0 E
,
В=
0 Н,
j
=E
,
где 0
и 0
- соответственно электрическая и
магнитная постоянные,
и
- соответственно
диэлектрическая и магнитная
проницаемости,
- удельная проводимость вещества.
Для стационарных
полей (Е=
const
и В
=const)
уравнения
Максвелла
примут
вид
т. е. источниками электрического поля
в данном случае являются только
электрические заряды, источниками
магнитного - только токи проводимости.
В данном случае электрические и магнитные
поля независимы друг от друга, что и
позволяет изучать отдельно постоянные
электрическое
и магнитное поля.
В
оспользовавшись
известными из векторного анализа
теоремами Стокса и Гаусса можно
представитьполную
систему уравнений Максвелла в
дифференциальной форме
:
Уравнения Максвелла - наиболее общие уравнения для электрических и магнитных полей в покоящихся средах. Они играют в учении об электромагнетизме такую же роль, как законы Ньютона в механике. Из уравнений Максвелла следует, что переменное магнитное поле всегда связано с порождаемым им электрическим полем, а переменное электрическое поле всегда связано с порождаемым им магнитным, т. е. электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом - они образуют единое электромагнитное поле.
66. Дифференциальное уравнение электромагнитной волны. Плоские электромагнитные волны.
Для однородной и изотропной среды вдали от зарядов и токов, создающих электромагнитное поле, из уравнений Максвелла следует, что векторы напряженностей Е и Н переменного электромагнитного поля удовлетворяют волновому уравнению типа:
-оператор Лапласа.
Т.е. электромагнитные
поля могут существовать в виде
электромагнитных волн. Фазовая скорость
электромагнитных волн определяется
выражением
(1)
v
- фазовая
скорость, где с= 1/ 0 0 ,
0
и 0
- соответственно электрическая и
магнитная постоянные,
и
- соответственно электрическая и
магнитная проницаемости среды.
В вакууме (при =1 и =1) скорость распространения электромагнитных волн совпадает со скоростью с. Так как > 1, то скорость распространения электромагнитных волн в веществе всегда меньше, чем в вакууме.
При вычислении скорости распространения электромагнитного поля по формуле (1) получается результат, достаточно хорошо совпадающий с экспериментальными данными, если учитывать зависимость и , от частоты. Совпадение же размерного коэффициента в со скоростью распространения света в вакууме указывает на глубокую связь между электромагнитными и оптическими явлениями, позволившую Максвеллу создать электромагнитную теорию света, согласно которой свет представляет собой электромагнитные волны.
С
ледствием
теории Максвелла является поперечность
электромагнитных волн: векторыЕ
и Н
напряженностей электрического и
магнитного полей волны взаимно
перпендикулярны (рис. 227) и лежат в
плоскости, перпендикулярной вектору
v
скорости распространения волны,
причем векторы Е
,
Н
и v
образуют правовинтовую систему. Из
уравнений Максвелла следует также, что
в электромагнитной волне векторы Е
и Н
всегда колеблются в
одинаковых фазах
(см.
рис. 227), причем мгновенные значения
£ и Я в любой точке связаны соотношением
0 = 0 Н.
(2)
Э
тим
уравнениям удовлетворяют, в частности,
плоскиемонохроматические
электромагнитные волны
(электромагнитные
волны одной строго определенной частоты),
описываемые уравнениями Е
у
=Е
0 cos(t-kx+),
(3) H
z
=
H
0
cos
(t-kx+),
(4), где е
0
и Н
0
-
соответственно
амплитуды напряженностей электрического
и магнитного полей волны,
- круговая частота волны, k=/v-
волновое число, -
начальные фазы колебаний в точках с
координатой х=
0.
В уравнениях
(3) и (4)
одинаково, так как колебания электрического
и магнитного векторов в электромагнитной
волне происходят с одинаковой фазой.
Распространение электромагнитного поля в пространстве - это волновой процесс, описание которого можно получить из уравнений Максвелла. Уравнения Максвелла описывают свойства электромагнитных волн в наиболее общем случае, но их непосредственное использование не всегда удобно. Поэтому для случая линейных и однородных сред можно получить более простые волновые уравнения, из которых следуют все законы геометрической оптики.
1.3.1. Волновые уравнения
В оптике часто рассматривают изменение электрического и магнитного полей независимо друг от друга, и тогда векторный характер поля не является существенным, а электромагнитное поле можно рассматривать и описывать как скалярное (подобно звуковому полю). Скалярная теория значительно проще векторной, и вместе с тем дает возможность достаточно глубоко анализировать распространение световых пучков и процессы образования изображения в оптических системах. В геометрической оптике скалярная теория широко используется именно благодаря тому, что электрическое и магнитное поля в этом случае могут быть описаны независимо друг от друга, а волновые уравнения одинаковы для векторного и скалярного полей.
Рассмотрим вывод волновых уравнений непосредственно из уравнений Максвелла. Возьмем уравнение для ротора электрического поля, определяемого через производную по времени от магнитной индукции:
Векторно домножим это уравнение на :
Учитывая, что (1.5), получим:
Так как дивергенция электрического поля в диэлектрической среде , то в однородной среде , что следует из уравнений Максвелла (4, 5). Тогда получим волновое уравнение для электрической составляющей поля:
| (1.3.1) |
Поскольку , одно векторное уравнение распадается на три скалярных уравнения:
Рассуждая аналогичным образом, можно получить волновое уравнение для магнитной составляющей поля:
| (1.3.3) |
Поскольку , то это векторное уравнение также распадается на три скалярных уравнения:
Из уравнений Максвелла следует, что каждая из составляющих , , вектора подчиняется абсолютно одному и тому же по форме скалярному уравнению. Поэтому, если требуется знать изменение только какой-нибудь одной из составляющих вектора , мы можем рассматривать векторное поле как скалярное. Перед тем, как окончательно перейти к скалярной теории, следует заметить, что составляющие вектора не являются независимыми функциями, что вытекает из условия . Поэтому, хотя скалярные волновые уравнения являются следствием уравнений Максвелла, обратно перейти от них к уравнениям Максвелла нельзя.
Пусть скалярная величина - это любая из составляющих электрического вектора: ( , или ). Иными словами, это возмущение поля в какой-то точке пространства в какой-то момент времени . Тогда можно записать волновое уравнение в общем виде:
| (1.3.5) |
Вторая производная возмущения по времени,
Смысл этого уравнения заключается в том, что волна образуется тогда, когда у некоторого возмущения вторая производная по пространственным координатам пропорциональна второй производной по времени.
Можно показать, что скорость распространения волны для диэлектриков связана с электрической и магнитной постоянной среды следующим образом:
Следовательно, скорость распространения волны в пространстве определяется так:
Тогда общий вид волнового уравнения можно записать следующим образом:
Волновое уравнение для одной оси координат:
Отношение скорости света в вакууме к скорости света в среде называется показателем преломления данной среды по отношению к вакууму (index of refraction ):
- циклическая частота изменения поля во времени,
- фаза поля (функция пространственных координат).
Рис.1.3.1. Изменение монохроматического поля во времени.
Монохроматическое поле также характеризуется периодом колебаний или частотой :
Причем циклическую частоту можно выразить через частоту :
Гармоническую волну характеризуют также пространственный период - длина волны :
И волновое число :
Излучение с определенной длиной волны обладает соответствующим цветом (рис.1.3.2).
Рис.1.3.2. Спектр видимого излучения.
Постоянными характеристиками, не зависящими от показателя преломления, для монохроматического поля являются: частота , циклическая частота и период колебаний . Длина волны и волновое число меняются в зависимости от показателя преломления, так как меняется скорость распространения света в среде . Итак, частота в среде всегда сохраняется, а длина волны изменяется. Длину волны и волновое число в некоторой среде с показателем преломления можно определить так:
Где - длина волны в вакууме, - волновое число в вакууме.
Иногда при описании монохроматического поля вместо фазы используют другие понятия. Введем в выражение для волнового возмущения волновое число вместо циклической частоты :
Тогда волновое возмущение запишется так:
Слово "эйконал" происходит от греческого слова (эйкон - образ). В русском языке этому соответствует слово "икона".
В отличие от фазы поля эйконал более удобная величина для оценки изменения фазы от луча к лучу, так как непосредственно связан с геометрической длиной хода луча.
Оптическая длина луча (optical path difference, OPD ) - это произведение показателя преломления на геометрическую длину пути .
Приращение эйконала равно оптической длине луча:
| (1.3.20) |
Если фаза изменяется на , то эйконал изменяется на : ;
если фаза изменяется на , то эйконал изменяется на : ;
если фаза изменяется на , то эйконал изменяется на : .
Эйконал имеет огромное значение в теории оптического изображения, так как понятие эйконала позволяет, во-первых, описать весь процесс образования изображения с позиций волновой теории света, а во-вторых, наиболее полно проанализировать искажения передачи изображения оптическими приборами. Теория эйконала, разработанная в XIX веке Петцвалем, Зейделем и Шварцшильдом, явилась важным фундаментальным достижением геометрической оптики, благодаря которому стало возможным создание оптических систем высокого качества. . При сложении полей их комплексные амплитуды складываются, а временной экспоненциальный множитель можно вынести за скобки и не учитывать:
1.3.4. Уравнение Гельмгольца
Если поле монохроматическое, то дифференцирование по времени, сводится к умножению скалярной амплитуды на мнимый множитель . Таким образом, если подставить в волновое уравнение (1.3.18) описание монохроматического поля (1.3.23), то после преобразований мы получим волновое уравнение для монохроматического поля, в которое будет входить только комплексная амплитуда (уравнение Гельмгольца).
Уравнение Гельмгольца (Helmgolz equation ):
Общая форма записи волнового процесса
Определение 1
Допустим, что физическая величина $s$ распространяется в направлении $X$ со скоростью $v$. Данная величина ($s$) может быть смещением, скоростью кусочков резинового шнура, когда в шнуре проходит механическая волна. Если мы имеем дело с электромагнитной волной, то под $s$ можно понимать напряженность электрического поля или индукцию магнитного поля и т.д. Общая форма записи волнового процесса представляется как:
где $t$ -- время, $x$ -- координата точки, которую рассматривают, $f$ - символ функции.
Любая произвольная функция, имеющая исключительно аргумент $\left(t-\frac{x}{v}\right)$, отражает волновой процесс.
Положим, что наблюдатель перемещается по $оси X$ со скоростью $v$. Его координата может быть определена как:
Подставим правую часть выражения (2) в формулу (1) вместо переменной $x$, получим:
Из выражения (3) следует, что функция $f\left(-\frac{x_0}{v}\right)$ не зависит от времени, что означает $s$ распространяется со скоростью $v$.
Аналогично можно получить, что если процесс записан как:
то $s$ распространяется против избранной $оси X$. Если положить, что $t=0$, то из выражений (1) и (4) имеем:
Выражение (5) определяет распределение $s$ в начальный момент времени. В том случае, если $s$ напряженность магнитного поля в электромагнитной волне, то формула (5) - задает распределение магнитного поля в пространстве при $t=0$. Получается, что вид функции $f$ зависит от начальных условий процесса.
Итак, выражения (1) и (4) являются общим выражением для волны, которая распространяется вдоль $оси X$.
Волновое уравнение
Определение 2
Функция $s$ удовлетворяет простому дифференциальному уравнению. Для его нахождения продифференцируем выражения (1) и (4), объединив их, используя знак $\mp $, дважды по координате $x$:
\[\frac{{\partial }^2s}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}f^{""}\left(6\right).\]
Вторая частная производная по времени будет иметь вид:
\[\frac{{\partial }^2s}{\partial t^2}=f^{""}\left(7\right).\]
Используя выражения (6) и (7) запишем:
\[\frac{{\partial }^2s}{\partial t^2}=v^2\frac{\partial^2s}{\partial x^2}\left(8\right).\]
Уравнение (8) называют волновым . В том случае, если волна распространяется не в одном, во всех направлениях пространства, то волновое уравнение примет вид:
\[\frac{{\partial }^2s}{\partial t^2}=v^2\left(\frac{{\partial }^2s}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2s}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2s}{\partial z^2}\right)\left(9\right).\]
Замечание
В том случае, если физическая величина распространяется в виде волны, то она должна удовлетворять волновому уравнению. Справедливо обратное утверждение: Если какая - либо величина подчиняется волновому уравнению, то она распространяется как волна. Скорость распространения волны будет равна квадратному корню из коэффициента, который стоит при сумме пространственных производных.
Электромагнитные волны
Рассмотрим электромагнитное поле в однородном диэлектрике ($j_x=j_y=j_z=0$). Причем будем считать задачу одномерной, то есть предположим, что векторы $\overrightarrow{E}\ и\ \overrightarrow{H}$ зависят только от одной координаты $x$ и времени $t$. Такая ситуация означает, что все пространство мы можем разделить на тонике слои (толщина слоя стремится к нулю), плоские слои, внутри них $\overrightarrow{E}\ и\ \overrightarrow{H}$ принимают одно и тоже значение во всех точках. Данная задача соответствует плоской электромагнитной волне. Для описания электромагнитного поля используем систему уравнений Максвелла:
Для одномерного случая система уравнений Максвелла существенно упрощается, так как все производные по $y$ и $z$ равны нулю. Записав уравнение (10) в скалярном представлении:
Становится очевидным, что в однородной среде для одномерного случая:
Аналогично из уравнения (11) получаем, что:
Выражения (15) и (16) означают, что данные составляющие электромагнитного поля не зависят от времени. А из уравнений (12) и (13) следует, что $D_x$и $B_x$ - не зависят от координаты. В результате мы имеем, что $D_x=const,\ B_x=const$.
Остальные уравнения из группы (14) примут вид:
От группы уравнений в скалярной форме, которые представляют выражение (11), остаются:
Уравнения (17) и (18) сгруппируем как две независимые части. Первая - связывающая $y$-составляющую электрического поля и $z$-составляющую магнитного поля:
Вторая часть связывает $z$-компоненту электрического поля и $y$-компоненту магнитного поля:
Получается, что переменное (во времени) электрическое поле ($D_y$) порождает одну $z$-составляющую магнитного поля ($H_z$), переменное магнитное поле $B_z$ вызывает появление электрического поля направленного по $оси Y$ ($E_y$) (уравнения 19). То есть в электромагнитном поле электрическое и магнитные поля перпендикулярны друг другу. Аналогичный вывод можно сделать из пары (20).
Для одномерного случая систему уравнений Максвелла можно записать в виде:
Электрическое и магнитные поля могут существовать как волны, так как из уравнения Максвелла следует существование этих волн. Так как для напряженности электрического поля выполняется уравнение вида:
Следовательно, решение этого уравнения можно представить как:
Так как для напряженности магнитного поля выполняется уравнение вида:
следовательно, решение этого уравнения можно представить как:
Пример 1
Задание: Покажите, на примере одномерного случая электромагнитного поля, что из уравнений Максвелла следует волновой характер электромагнитного поля.
Решение:
В качестве основы для решения задачи используем уравнения Максвелла для одномерного случая:
\[\frac{\partial D}{\partial t}=-\frac{\partial H}{\partial x},\ \frac{\partial B}{\partial t}=-\frac{\partial E}{\partial x}\left(1.1\right).\]
Исключим из уравнений (1.1) магнитное поле $H$. С этой целью умножим первое уравнение на $\mu {\mu }_0$ и возьмем частную производную по времени от обеих частей равенства и, используя выражение: $D=\varepsilon_0\varepsilon E$, заменим электрическую индукцию на напряженность соответствующего поля, получим:
\[{\mu {\mu }_0\varepsilon }_0\varepsilon \ \frac{{\partial }^2E}{\partial t^2}=-\mu {\mu }_0\frac{{\partial }^2H}{\partial x\partial t}\left(1.2\right).\]
Второе уравнение в группе (1.1) продифференцируем по $x$, заменим индукцию магнитного поля на его напряженность, используя выражение: $B=\mu {\mu }_0H$, при этом имеем:
\[\frac{{\partial }^2E}{\partial x^2}=-\mu {\mu }_0\frac{{\partial }^2H}{\partial x\partial t}\left(1.3\right).\]
Как мы видим, правые части выражений (1.2) и (1.3) одинаковы, следовательно, можно считать, что:
\[\frac{{\partial }^2E}{\partial x^2}={\mu {\mu }_0\varepsilon }_0\varepsilon \ \frac{{\partial }^2E}{\partial t^2}\to \frac{{\partial }^2E}{\partial t^2}=\frac{1}{{\mu {\mu }_0\varepsilon }_0\varepsilon }\frac{{\partial }^2E}{\partial x^2}\left(1.4\right).\]
Аналогичное уравнение легко получить для напряженности магнитного поля, если исключить напряженность электрического поля. Уравнение (1.4) -- есть волновое уравнение.
Ответ: Волновое уравнение для напряженности электрической составляющей электромагнитного поля получено непосредственно из уравнений Максвелла для одномерной задачи.
Пример 2
Задание: Чему равна скорость ($v$) распространения электромагнитной волны ?
Решение:
За основу решения примем волновое уравнение для напряженности электрического поля в плоской электромагнитной волне:
\[\frac{{\partial }^2E}{\partial t^2}=\frac{1}{{\mu {\mu }_0\varepsilon }_0\varepsilon }\frac{{\partial }^2E}{\partial x^2}\left(2.1\right).\]
Скоростью распространения волны является корень квадратный из коэффициента, который находится перед $\frac{{\partial }^2E}{\partial x^2}$ в волновом уравнении, следовательно:
где $c$ -- скорость распространения света в вакууме.
Ответ: $v=\frac{c}{\sqrt{\mu \varepsilon}}.$
Группой дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения, которым должен удовлетворять каждый из векторов поля отдельно, можно получить исключением остальных векторов. Для области поля, которая не содержит свободных зарядов и токов ($\overrightarrow{j}=0,\ \rho =0$) уравнения для векторов $\overrightarrow{B}$ и $\overrightarrow{E}$ имеют вид:
Уравнения (1) и (2) - это обычные уравнения волнового движения, которые обозначают, что световые волны распространяются в среде со скоростью ($v$) равной:
Примечание 1
Надо заметить, что понятие скорости электромагнитной волны имеет определенный смысл лишь в связи с волнами простого вида, например плоскими. Скорость $v$ не является скоростью распространения волны в случае произвольного решения уравнений (1) и (2), так как эти уравнения допускают решения в виде стоячих волн.
В любой волновой теории света элементарным процессом считают гармоническую волну в пространстве и времени. Если частота этой волны лежит в интервале $4\cdot {10}^{-14}\frac{1}{c}\le \nu \le 7,5\cdot {10}^{-14}\frac{1}{c}$, такая волна вызывает у человека физиологическое ощущение определенного цвета.
Для прозрачных веществ диэлектрическая проницаемость $\varepsilon $ обычно больше единицы, магнитная проницаемость среды $\mu $ почти равна единице, получается, в соответствии с уравнением (3) скорость $v$ меньше скорости света в вакууме. Что было впервые экспериментально показано для случая распространения света в воде учеными Фуко и Физо .
Обычно определяют не саму величину скорости ($v$), а отношение $\frac{v}{c}$, для чего пользуются законом преломления . В соответствии с данным законом при падении плоской электромагнитной волны на плоскую границу, которая разделяет две однородные среды, отношение синуса угла ${\theta }_1$ падения к синусу угла преломления ${\theta }_2$ (рис.1) постоянно и равно отношению скоростей распространения волн в двух средах ($v_1\ и{\ v}_2$):
Значение постоянного отношения выражения (4) обычно обозначают как $n_{12}$. Говорят, что $n_{12}$ -- относительный показатель преломления второго вещества по отношению к первому, который испытывает волновой фронт (волна) при прохождении из первой среды во вторую.
Рисунок 1.
Определение 1
Абсолютным показателем преломления (просто показателем преломления) среды $n$ называют показатель преломления вещества по отношению к вакууму:
Вещество, имеющее больший показатель преломления является оптически более плотным. Относительный показатель преломления двух веществ ($n_{12}$) связан с их абсолютными показателями ($n_1,n_2$) как:
Формула Максвелла
Определение 2
Максвелл получил, что показатель преломления среды зависит от ее диэлектрических и магнитных свойств. Если в формулу(5) подставить выражение для скорости распространения света из уравнения (3), то мы получим:
\ \
Выражение (7) называется формулой Максвелла . Для большинства немагнитных прозрачных веществ, которые рассматриваются в оптике магнитная проницаемость вещества приблизительно можно считать равной единице, поэтому часто равенство (7) применяют в виде:
Часто предполагается, что $\varepsilon $ является постоянной величиной. Однако нам хорошо известны опыты Ньютона с призмой по разложению света, в результате этих экспериментов становится очевидным, что показатель преломления зависит от частоты света. Следовательно, если считать, что формула Максвелла справедлива, то следует признать, что диэлектрическая проницаемость вещества зависит от частоты поля. Связь $\varepsilon $ с частотой поля можно объяснить только в том случае, если принять во внимание атомное строение вещества.
Однако надо сказать, что формула Максвелла с постоянной диэлектрической проницаемостью вещества, в некоторых случаях может быть использована как хорошее приближение. Примером могут служить газы с простой химической структурой, в которых нет существенной дисперсии света, что означает, слабую зависимость оптических свойств от цвета. Формула (8), также хорошо работает для жидких углеводородов. С другой стороны, у большинства твердых тел, например у стекол, и большой части жидкостей наблюдается сильное отклонение от формулы (8), если считать $\varepsilon $ постоянной.
Пример 1
Задание: Какова концентрация свободных электронов в ионосфере, если известно, что для радиоволн с частотой $\nu$ показатель ее преломления равен $n$.
Решение:
За основу решения задачи возьмем формулу Максвелла:
\[\varepsilon =1+\varkappa =1+\frac{P}{{\varepsilon }_0E}\left(1.2\right),\]
где $\varkappa $ -- диэлектрическая восприимчивость, P - мгновенное значение поляризованности. Из (1.1) и (1.2) следует, что:
В том случае, если концентрация атомов в ионосфере равна $n_0,$ то мгновенное значение поляризованности равно:
Из выражений (1.3) и (1.4) имеем:
где $\omega $ -- циклическая частота. Уравнение вынужденных колебаний электрона без учета силы сопротивления можно записать как:
\[\ddot{x}+{{\omega }_0}^2x=\frac{q_eE_0}{m_e}cos\omega t\left(1.7\right),\]
где $m_e$ -- масса электрона, $q_e$ -- заряд электрона. Решением уравнения (1.7) служит выражение:
\ \
Нам известна частота радиоволн, следовательно, можно найти циклическую частоту:
\[\omega =2\pi \nu \left(1.10\right).\]
Подставим в (1.5) правую часть выражения (1.9) вместо $x_{max}$ и используем (1.10), получим:
Ответ: $n_0=\frac{E_0m_e4\pi ^2\nu ^2}{{q_e}^2}\left(1-n^2\right).$
Пример 2
Задание: Объясните, почему формула Максвелла противоречит некоторым экспериментальным данным.
Решение:
Из классической электромагнитной теории Максвелла следует, что показатель преломления среды можно выразить как:
где в оптической области спектра для большинства веществ можно считать, что $\mu \approx 1$. Получается, что показатель преломления для вещества должен быть постоянной величиной, так как $\varepsilon $ -- диэлектрическая проницаемость среды постоянна. Тогда как эксперимент показывает, что показатель преломления зависит от частоты. Трудности, которые возникли перед теорией Максвелла в данном вопросе, устраняет электронная теория Лоренца. Лоренц рассматривал дисперсию света как результат взаимодействия электромагнитных волн с заряженными частицами, которые входят в состав вещества и совершают вынужденные колебания в переменном электромагнитном поле волны света. Используя свою гипотезу, Лоренц получил формулу, связывающую показатель преломления с частотой электромагнитной волны (см. пример 1).
Ответ: Проблема теории Максвелла в том, что она является макроскопической и не рассматривает структуру вещества.