Работа силы тяжести,упругой силы,пары сил. Механическая работа

Работа силы тяжести. Силу тяжести Р материальной точки массой т вблизи поверхности Земли можно считать постоянной, равной mg

направленной по вертикали вниз.

Работа А силы Р на перемещении от точки М 0 до точки М

где h = z 0 - z x - высота опускания точки.

Работа силы тяжести равна произведению этой силы на высоту опускания (работа положительна) или высоту подъема (работа отрицательна). Работа силы тяжести не зависит от формы траектории между точками М 0 и М|, и если эти точки совпадают, то работа силы тяжести равна нулю (случай замкнутого пути). Она равна нулю также, если точки М 0 и М лежат в одной и той же горизонтальной плоскости.

Работа линейной силы упругости. Линейной силой упругости (или линейной восстанавливающей силой) называют силу, действующую по закону Гука (рис. 63):

F = - с r ,

где r - расстояние от точки статического равновесия, где сила равна нулю, до рассматриваемой точки М; с - постоянный коэффициент- коэффициент жесткости.

А=--().

По этой формуле и вычисляют работу линейной силы упругости. Если точка М 0 совпадает сточкой статического равновесия О, то тогда r 0 =0 и для работы силы на перемещении от точки О до точки М имеем

Величина r - кратчайшее расстояние между рассматриваемой точкой и точкой статического равновесия. Обозначим его λ и назовем деформацией. Тогда

Работа линейной силы упругости на перемещении из состояния статического равновесия всегда отрицательна и равна половине произведения коэффициента жесткости на квадрат деформации. Работа линейной силы упругости не зависит от формы перемещения и работа по любому замкнутому перемещению равна нулю. Она также равна нулю, если точки Мо и М лежат на одной сфере, описанной из точки статического равновесия.

Работа переменной силы при криволинейном движении.

Работа силы на криволинейном участке

Рассмотрим общий случай нахождения работы переменной силы, точка приложения которой движется по криволинейной траектории. Пусть точка М приложения переменной силы F движется по произвольной непрерывной кривой. Обозначим через вектор бесконечно малого перемещения точки М. Этот вектор направлен по касательной к кривой в ту же сторону, что и вектор скорости.

Элементарной работой переменной силы F на бесконечно малом перемещении

ds называется скалярное произведение векторов F и ds :

где а - угол между векторами F и ds

То есть элементарная работа силы равна произведению модулей векторов силы и бесконечно малого перемещения, умноженному на косинус угла между этими векторами.

Разложим вектор силы F на две составляющие: - направленную по касательной к траектории - и - направленную по нормали. Линия действия силы

перпендикулярна касательной к траектории, по которой движется точка, и ее работа равна нулю. Тогда:

dA = F t ds .

Для того, чтобы вычислить работу переменной силы F на конечном участке кривой от а до Ь, следует вычислить интеграл от элементарной работы:

Потенциальная и кинетическая энергии.

Потенциальной энергией П мат ериальной точки в рассматривае мой точке силового поля М называют работу , которую совершают силы по ля, действующие на материальную точку при перемещении ее из точки M в начальную точку M 0 , т. е.

П = Амм 0

П = =-U =- U

Постоянная С 0 одна и та же для всех точек поля, зависящая от того, какая точка поля выбрана за начальную. Очевидно, что потенциальную энергию можно ввести только для потенциального силового поля, в котором работа не зависит от формы перемещения между точками М и М 0 . Непотенциальное силовое поле не имеет потенциальной энергии, для него не существует и силовой функции.

dA = dU = -dП; А = U - U 0 = П 0 - П

Из приведенных формул следует, что П определяется с точностью до произвольной постоянной, которая зависит от выбора начальной точки, но эта произвольная постоянная не влияет на вычисляемые через потенциальную энергию силы и работу этих сил. Учитывая это:

П = - U + const или П = - U .

Потенциальную энергию в какой- либо точке поля с точностью до произвольной постоянной можно определить как значение силовой функции в этой же точке, взятое со знаком минус.

Кинетической энергией системы называется скалярная величина Т, равная сумме кинетических энергий всех точек системы:

Кинетическая энергия является характеристикой и поступательного, и вращательного движений системы. Кинетическая энергия является величиной скалярной и притом существенно положительной. Поэтому она не зависит от направлений движения частей системы и не характеризует изменений этих направлений.

Отметим еще следующее важное обстоятельство. Внутренние силы действуют на части системы по взаимно противоположным направлениям. На изменения кинетической энергии влияет действие и внешних и внутренних сил

Равнопеременное движение точки.

Равнопеременное движение точки - движение, при к-ром касат. ускорение ω т точки (в случае прямолинейного движения полное ускорение ω )постоянно. Закон равнопеременного движения точки и закон изменения её скорости υ при этом движении даются равенствами:

где s - измеренное вдоль дуги траектории расстояние точки от выбранного на траектории начала отсчёта, t - время, s 0 - значение s в нач. момент времени t = = 0. - нач. скорость точки. Когда знакиυ и ω одинаковы, равнопеременное движение. является ускоренным, а когда разные - замедленным.

При поступат. равнопеременном движении твёрдого тела всё сказанное относится к каждой точке тела; при равномерном вращении вокруг неподвижной оси угл. ускорение e тела постоянно, а закон вращения и закон изменения угл. скорости ω тела даются равенствами

где φ - угол поворота тела, φ 0 - значение φ в нач. момент времени t = 0, ω 0 - нач. угл. скорость тела. Когда знаки ω и ε совпадают, вращение является ускоренным, а когда не совпадают - замедленным.

Работа постоянной силы при прямолинейном движени.

Определим работу для случая, когда действующая сила постоянна по величине и направлению, а точка ее приложения перемещается по прямолинейной траектории. Рассмотрим материальную точку С, к которой приложена постоянная по значению и направлению сила(рис. 134, а).

За некоторый промежуток времени t точка С переместилась в положение С1 по прямолинейной траектории на расстояние s.

Работа W постоянной силы при прямолинейном движении точки ее приложения равна произведению модуля силы F на расстояние s и на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения, т. е.

Угол α между направлением силы и направлением движения может меняться в пределах от 0 до 180°. При α < 90° работа положительна, при α > 90° - отрицательна, при α = 90° работа равна нулю.

Если сила составляет с направлением движения острый угол, она называется движущей силой, работа силы всегда положительна. Если угол между направлениями силы и перемещения тупой, сила оказывает сопротивление движению, совершает отрицательную работу и носит название силы сопротивления. Примерами сил сопротивления могут служить силы резания, трения, сопротивления воздуха и другие, которые всегда направлены в сторону, противоположную движению.

Когда α = 0°, т. е. когда направление силы совпадает с направлением скорости, тогда W = F s, так как cos 0° = 1. Произведение F cos α есть проекция силы на направление движения материальной точки. Следовательно, работу силы можно определить как произведение перемещения s и проекции силына направление движения точки.

33. Силы инерции твердого тела

В классической механикепредставления осилахи их свойствах основываются назаконах Ньютонаи неразрывно связаны с понятиеминерциальная система отсчёта.

Действительно, физическая величина, называемая силой, вводится в рассмотрение вторым законом Ньютона, при этом сам закон формулируется только для инерциальных систем отсчёта. Соответственно, понятие силы первоначально оказывается определённым только для таких систем отсчёта.

Уравнение второго закона Ньютона, связывающее ускорениеимассуматериальной точкис действующей на неё силой, записывается в виде

Из уравнения непосредственно следует, что причиной ускорения тел являются только силы, и наоборот: действие на тело не скомпенсированных сил обязательно вызывает его ускорение.

Третий закон Ньютона дополняет и развивает сказанное о силах во втором законе.

сила есть мера механического действия на данное материальное тело других тел

в соответствии с третьим законом Ньютона силы способны существовать лишь попарно, при этом природа сил в каждой такой паре одинакова.

любая сила, действующая на тело, имеет источник происхождения в виде другого тела. Иначе говоря, силы обязательно представляют собой результат взаимодействия тел.

Никакие другие силы в механике в рассмотрение не вводятся и не используются. Возможность существования сил, возникших самостоятельно, без взаимодействующих тел, механикой не допускается.

Хотя в наименованиях эйлеровых и даламберовых сил инерции содержится слово сила , эти физические величины силами в смысле, принятом в механике, не являются.

34. Понятие о плоскопараллельном движении твердого тела

Движение твердого тела называется плоскопараллельным, если все точки тела перемещаются в плоскостях, параллельных некоторой фиксированной плоскости (основной плоскости). Пусть некоторое тело V совершает плоское движение, π - основная плоскость. Из определенияплоскопараллельного движения и свойств абсолютно твердого тела следует, что любой отрезок прямой АВ, перпендикулярный плоскости π, будет совершать поступательное движение. То есть траектории, скорости и ускорения всех точек отрезка АВ будут одинаковы. Таким образом, движение каждой точки сечения s параллельного плоскости π, определяет собой движение всех точек тела V, лежащих на отрезке перпендикулярном сечению в данной точке. Примерами плоскопараллельного движения являются: качение колеса по прямолинейному отрезку, так как все его точки перемещаются в плоскостях, параллельных плоскости, перпендикулярной оси колеса; частным случаем такого движения являетсявращение твердого тела вокруг неподвижной оси, в самом деле, все точки вращающегося тела движутся в плоскостях параллельных некоторой перпендикулярной оси вращения неподвижной плоскости.

35. Силы инерции при прямолинейном и криволинейном движении материальной точки

Сила, с которой точка сопротивляется изменению движения, называется силой инерции материальной точки. Сила инерции направлена противоположно ускорению точки и равна массе, умноженной на ускорение.

При прямолинейном движении направление ускорения совпадает с траекторией. Сила инерции направлена в сторону, противоположную ускорению, и численное значение ее определяется по формуле:

При ускоренном движении направления ускорения и скорости совпадают и сила инерции направлена в сторону, противоположную движению. При замедленном движении, когда ускорение направлено в сторону, обратную скорости, сила инерции действует по направлению движения.

При криволинейном и неравномерном движении ускорение может быть разложено на нормальную аn и касательную at составляющие. Аналогично сила инерции точки также складывается из двух составляющих: нормальной и касательной.

Нормальная составляющая силы инерции равна произведению массы точки на нормальное ускорение и направлена противоположно этому ускорению:

Касательная составляющая силы инерции равна произведению массы точки на касательное ускорение и направлена противоположно этому ускорению:

Очевидно, что полная сила инерции точки М равна геометрической сумме нормальной и касательной составляющих, т. е.

Учитывая, что касательная и нормальная составляющие взаимно перпендикулярны, полная сила инерции:

36. Теоремы о сложении скоростей и ускорений точки при сложном движении

Теорема о сложении скоростей:

В механикеабсолютная скоростьточки равнавекторнойсумме еёотносительнойипереноснойскоростей:

Скорость движения тела относительно неподвижной системы отсчёта равна векторной сумме скорости этого тела относительно подвижной системы отсчета и скорости (относительно неподвижной системы) той точки подвижной системы отсчета, в которой находится тело.

при сложном движении абсолютная скорость точки равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей. Величина абсолютной скорости определяется где α – угол между векторами и.

Теорема о сложении ускорений (ТЕОРЕМА КОРИОЛИСА)

aкор = aпер + aот + aкор

Формула выражает следующую теорему Кориолиса о сложении уско-

рений:1 при сложном движении ускорение точки равно геометрической

сумме трех ускорений: относительного, переносного и поворотного, или

кориолисова.

aкор = 2(ω × vот)

37.Принцип Даламбера

принцип Даламбера для материальной точки: в каждый момент движения материальной точки активные силы, реакции связей и сила инерции образуют уравновешенную систему сил.

Д’Аламбера принцип - в механике: один из основных принципов динамики, согласно которому, если к заданнымсилам, действующим на точки механической системы, и реакциям наложенных связей присоединитьсилы инерции, то получится уравновешенная система сил.

Согласно данному принципу, для каждой i-той точки системы верно равенство

где - действующая на эту точку активная сила,- реакция наложенной на точку связи,- сила инерции, численно равная произведению массыточки на её ускорениеи направленная противоположно этому ускорению ().

Фактически, речь идёт о выполняемом отдельно для каждой из рассматриваемых материальных точек переносе слагаемого ma справа налево во втором законе Ньютона() и нареканию этого слагаемого Д’Аламберовой силой инерции.

Принцип Д’Аламбера позволяет применить к решению задач динамики более простые методы статики, поэтому им широко пользуются в инженерной практике, т. н. метод кинетостатики. Особенно удобно им пользоваться для определения реакций связей в случаях, когда закон происходящего движения известен или найден из решения соответствующих уравнений.

«Физика - 10 класс»

Вычислим работу силы тяжести при падении тела (например, камня) вертикально вниз.

В начальный момент времени тело находилось на высоте hx над поверхностью Земли, а в конечный момент времени - на высоте h 2 (рис. 5.8). Модуль перемещения тела |Δ| = h 1 - h 2 .

Направления векторов силы тяжести T и перемещения Δ совпадают. Согласно определению работы (см. формулу (5.2)) имеем

А = | Т | |Δ|cos0° = mg(h 1 - h 2) = mgh 1 - mgh 2 . (5.12)

Пусть теперь тело бросили вертикально вверх из точки, расположенной на высоте h 1 над поверхностью Земли, и оно достигло высоты h 2 (рис. 5.9). Векторы Т и Δ направлены в противоположные стороны, а модуль перемещения |Δ| = h 2 - h 1 . Работу силы тяжести запишем так:

А = | Т | |Δ|cos180° = -mg(h 2 - h 1) = mgh 1 - mgh 2 . (5.13)

Если же тело перемещается по прямой так, что направление перемещения составляет угол а с направлением силы тяжести (рис. 5.10), то работа силы тяжести равна:

А = | Т | |Δ|cosα = mg|BC|cosα.

Из прямоугольного треугольника BCD видно, что |BC|cosα = BD = h 1 - h 2 . Следовательно,

А = mg(h 1 - h 2) = mgh 1 - mgh 2 . (5.14)

Это выражение совпадает с выражением (5.12).

Формулы (5.12), (5.13), (5.14) дают возможность подметить важную закономерность. При прямолинейном движении тела работа силы тяжести в каждом случае равна разности двух значений величины, зависящей от положений тела, определяемых высотами h 1 и h 2 над поверхностью Земли.

Более того, работа силы тяжести при перемещении тела массой т из одного положения в другое не зависит от формы траектории, по которой движется тело. Действительно, если тело перемещается вдоль кривой ВС (рис. 5.11), то, представив эту кривую в виде ступенчатой линии, состоящей из вертикальных и горизонтальных участков малой длины, увидим, что на горизонтальных участках работа силы тяжести равна нулю, так как сила перпендикулярна перемещению, а сумма работ на вертикальных участках равна работе, которую совершила бы сила тяжести при перемещении тела по вертикальному отрезку длиной h 1 - h 2 . Таким образом, работа силы тяжести при перемещении вдоль кривой ВС равна:

А = mgh 1 - mgh 2 .

Работа силы тяжести не зависит от формы траектории, а зависит только от положений начальной и конечной точек траектории.

Определим работу А при перемещении тела по замкнутому контуру, например по контуру BCDEB (рис. 5.12). Работа А 1 силы тяжести при перемещении тела из точки В в точку D по траектории BCD: А 1 = mg(h 2 - h 1), по траектории DEB: А 2 = mg(h 1 - h 2).

Тогда суммарная работа А = А 1 + А 2 = mg(h 2 - h 1) + mg(h 1 - h 2) = 0.

При движении тела по замкнутой траектории работа силы тяжести равна нулю.

Итак работа силы тяжести не зависит от формы траектории тела; она определяется лишь начальным и конечным положениями тела. При перемещении тела по замкнутой траектории работа силы тяжести равна нулю.

Силы, работа которых не зависит от формы траектории точки приложения силы и по замкнутой траектории равна нулю, называют консервативными силами .

Сила тяжести является консервативной силой.

A тяж = mg(h н – h к) (14.19)

где h н и h к - начальная и конечная высоты (рис.14.7) материальной точки массой m, g - модуль ускорения свободного падения.

Работа силы тяжести A тяж определяется начальным и конечным положениями материальной точки и не зависит от траектории между ними.

Она может быть положительной, отрицательной и равной нулю:

а) A тяж > 0 - при спуске материальной точки,

б) A тяж < 0 - при подъеме материальной точки,

в) A тяж = 0 - при условии, что высота не изменяется, либо при замкнутой траектории материальной точки.

Работа силы трения при постоянных скорости м.т. (v = const ) и силы трения (F тр = const ) на промежутке времени t:

A тр = (F тр,v )t, (14.20)

Работа силы трения может быть положительной, отрицательной и равной нулю. Например:

а
) работа силы трения, действующей на нижний брусок со стороны верхнего бруска (рис.14.8), A тр.2,1 > 0, т.к. угол между силой, действующей на нижний брусок со стороны верхнего бруска F тр.2,1 и скоростью v 2 нижнего бруска (относительно поверхности Земли) равен нулю;

б) A тр.1,2 < 0 - угол между силой трения F тр.1,2 и скоростью v 1 верхнего бруска равен 180 (см. рис.14.8);

в) А тр = 0 - например, брусок находится на вращающемся горизонтальном диске (относительно диска брусок неподвижен).

Работа силы трения зависит от траектории между начальным и конечным положениями материальной точки.

§15. Механическая энергия

Кинетическая энергия материальной точки K - СФВ, равная половине произведения массы м.т. на квадрат модуля ее скорости:

(15.1)

Кинетическая энергия, обусловленная движением тела, зависит от системы отсчета и является неотрицательной величиной:

Единица кинетической энергии -джоуль: [К] = Дж.

Теорема о кинетической энергии - приращение кинетической энергии м.т. равно работе A р равнодействующей силы:

K = A р. (15.3)

Работа равнодействующей силы может быть найдена как сумма работ А i всех силF i (i = 1,2,…n), приложенных к м.т.:

(15.4)

Модуль скорости материальной точки: при A р > 0 - увеличивается; при A р < 0 - уменьшается; при A р = 0 - не изменяется.

Кинетическая энергия системы материальных точек K с равна сумме кинетических энергий K i всех n м.т., принадлежащих данной системе:

(15.5)

где m i и v i - масса и модуль скорости i-й м.т. данной системы.

Приращение кинетической энергии системы м.т. K с равно сумме работ А рi всех n равнодействующих сил, приложенных к i-м материальным точкам системы:

(15.6)

Поле сил - область пространства, в каждой точке которой на тело действуют силы.

Стационарное поле сил - поле, силы которого не изменяются с течением времени.

Однородное поле сил - поле, силы которого во всех его точках одинаковы.

Центральное поле сил - поле, направления действия всех сил которого проходят через одну точку, называемую центром поля, а модуль сил зависит только от расстояния до этого центра.

Неконсервативные силы (нкс.сл) - силы, работа которых зависит от траектории между начальным и конечным положениями тела.

Пример неконсервативных сил - силы трения. Работа сил трения по замкнутой траектории в общем случае не равна нулю.

Консервативные силы (кс.сл) - силы, работа которых определяется начальным и конечным положениями м.т. и не зависит от траектории между ними. При замкнутой траектории работа консервативных сил равна нулю. Поле консервативных сил называется потенциальным.

Пример консервативных сил - силы тяжести и упругости.

Потенциальная энергия П - СФВ, являющаяся функцией взаимного расположения частей системы (тела).

Единица потенциальной энергии -джоуль: [П] = Дж.

Теорема о потенциальной энергии

Убыль потенциальной энергии системы материальных точек равна работе консервативных сил:

–П с = П н – П к = A кс.сл (15.7)

Потенциальная энергия определяется с точностью до постоянной величины и может быть положительной, отрицательной или равной нулю.

Потенциальная энергия материальной точки П в какой-либо точке силового поля - СФВ, равная работе консервативных сил при перемещении м.т. из данной точки поля в точку, потенциальная энергия в которой принята равной нулю:

П = A кс.сл. (15.8)

Потенциальная энергия упругодеформированной пружины

(15.9)

где х - смещение незакрепленного конца пружины; к - жесткость пружины, С - произвольная постоянная (выбирается из условия удобства решения задачи).

Графики П(х) при различных постоянных: а) С > 0, б) С = 0, в) С < 0  параболы (рис.15.1).

При условии П (0) = 0 постоянная С = 0 и

(15.10)

Работа силы тяжести - раздел Философия, Теоретическая механикакраткий курс конспект лекций по теоретической механике При Вычислении Работы Силы Тяжести Будем Считать, Что Мы Расс...

Направим ось вертикально вверх. Точка с массой перемещается по некоторой траектории из положения в положение (Рис.6.2). Проекции силы тяжести на оси координат равны: где – ускорение свободного падения.

Вычислим работу силы тяжести. Используя формулу (6.3), получаем:

Как видно, сила тяжести – потенциальная сила. Ее работа не зависит от траектории точки, а определяется перепадом высот между начальным и конечным положениями точки, будучи равной убыли потенциальной энергии материального тела.

Таким образом,

(6.13)

Работа силы тяжести положительна, если точка теряет высоту (опускается) и отрицательна, если точка набирает высоту.

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Теоретическая механикакраткий курс конспект лекций по теоретической механике

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования.. московский государственный строительный университет..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Основные законы механики
Теоретическая механика относится к числу так называемых аксиоматических наук. В ее основе лежит система исходных положений – аксиом, принимаемых без доказательства, но проверенных не только прямыми

Аксиома 3
Две материальные точки взаимодействуют с силами, равными по модулю и направленными по одной прямой в противоположные стороны (Рис.!.2). Аксиома 4(Принцип

Скорость точки
Быстроту движения точки характеризует ее скорость, к определению которой мы сейчас переходим. Пусть в момент времени

Ускорение точки
Быстроту изменения вектора скорости характеризует ускорение точки. Пусть в момент времени точка нах

Аксиома 3
Система двух сил, приложенная к абсолютно твердому телу, уравновешена (эквивалентна нулю) тогда и только тогда, когда эти силы равны по модулю и действуют по одной прямой в противоположные

Момент силы относительно точки
Пусть дана сила, приложенная в точке

Момент силы относительно оси
Моментом силы относительно оси называется проекция на ось момента силы, вычисленного относительно любой точки этой оси:

Пара сил
Парой сил называется система двух сил, равных по модулю и действующих по параллельным прямым в противоположные стороны. Плоскость, в ко

Дифференциальные уравнения движения механической системы
Рассмотрим механическую систему, состоящую из материальных точек. Для каждой точки системы в инерциальной системе о

Основные свойства внутренних сил
Рассмотрим две любые точки механической системы и

Теорема об изменении количества движения механической системы
Сложим почленно все равенства (3.1): Учитывая первое основное св

Теорема об изменении кинетического момента
Умножим каждое из уравнений (3.1) слева векторно на радиус–вектор соответствующей точки и сложим

Условия равновесия
Остановимся на вопросах равновесия материальных тел, которые составляют существенную часть раздела "Статика" курса теоретической механики. Под равновесием в механике традиционно

Равновесие системы сил, линии действия которых лежат в одной плоскости
Во многих практически интересных случаях тело находится в равновесии под действием системы сил, линии действия которых расположены в одной плоскости. Примем эту плоскость за координатную

Расчет ферм
Особое место в ряду статических задач занимает расчет ферм. Фермой называется жесткая конструкция из прямолинейных стержней (Рис.3.3). Если все стержни фермы и вся приложенная к ней

Равновесие тела при наличии трения
Как известно, при скольжении тела по опорной поверхности возникает сопротивление, тормозящее скольжение. Это явление учитывается путем введения в рассмотрение силы трения.

Центр параллельных сил
Это понятие вводится для системы параллельных сил, имеющих равнодействующую, причем точки приложения сил системы – точки

Центр тяжести тела
Рассмотрим материальное тело, расположенное вблизи поверхности Земли (в поле земного притяжения). Допустим сначала, что тело состоит из конечного числа материальных точек, другими словами – частиц,

Центр масс механической системы. Теорема о движении центра масс
Инерционные свойства материального тела определяются не только его массой, но и характером распределения этой массы в теле. Существенную роль в описании такого распределения играет положение центра

ЛЕКЦИЯ 5
5.1. Движение абсолютно твёрдого тела Одной из важнейших задач механики является описание движения абсолютно твердого тела. В общем случае различные точки

Поступательное движение твердого тела
Поступательным называется движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в теле, остается параллельной своему первоначальному положению во все время движения.

Кинематика вращательного движения твердого тела
При вращательном движении в теле существует единственная прямая, все точки которой

Скоростью тела
Окончательно получаем: (5.4) Формула (5.4) называется формулой Эйлера. На Рис.5.

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела
Вращение твердого тела, как и любое другое движение, происходит в результате воздействия внешних сил. Для описания вращательного движения используем теорему об изменении кинетического момента относ

Кинематика плоскопараллельного движения твердого тела
Движение тела называется плоскопараллельным, если расстояние от любой точки тела до некоторой неподвижной (основной) плоскости остается неизменным во все время движения

Дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твердого тела
При изучении кинематики плоско-параллельного движения твердого тела за полюс можно принимать любую точку тела. При решении задач динамики за полюс всегда принимают центр масс тела, а в качестве под

Система Кенига. Первая теорема Кенига
(Изучить самостоятельно) Пусть система отсчета неподвижная (инерциальная). Система

Работа и мощность силы. Потенциальная энергия
Половина произведения массы точки на квадрат ее скорости называется кинетической энергией материальной точки. Кинетической энергией механической системы назы

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы
Теорема об изменении кинетической энергии относится к числу общих теорем динамики наряду с доказанными ранее теоремами об изменении количества движения и изменения момента количеств

Работа внутренних сил геометрически неизменяемой механической системы
Заметим, что в отличие от теоремы об изменении количества движения и теоремы об изменении кинетического момента в теорему об изменении кинетической энергии в общем случае входят внутренние силы.

Вычисление кинетической энергии абсолютно твердого тела
Получим формулы для вычисления кинетической энергии абсолютно твердого тела при некоторых его движениях. 1. При поступательном движении в любой момент времени скорости всех точек тела один

Работа внешних сил, приложенных к абсолютно твердому телу
В разделе "Кинематика" установлено, что скорость любой точки твердого тела геометрически складывается из скорости точки, принятой за полюс, и скорости, полученной точкой при сферическом д

Работа упругой силы
Понятие упругой силы обычно ассоциируется с реакцией линейно–упругой пружины. Направим ось вдоль пр

Работа вращающего момента
Пусть сила приложена в некоторой точке тела, имеющего ось вращения. Тело вращается с угловой скорос

Возможные скорости и возможные перемещения
Понятия возможной скорости и возможного перемещения введем сначала для материальной точки, на которую наложена голономная удерживающая нестационарная связь. Возможной скоростью мат

Идеальные связи
Связи, наложенные на механическую систему, называются идеальными, если сумма работ всех реакций связей на любом возможном перемещении системы равна нулю:

Принцип возможных перемещений
Принцип возможных перемещений устанавливает условия равновесия механических систем. Под равновесием механической системы традиционно понимают состояние ее покоя по отношению к выбранной инерциально

Общее уравнение динамики
Рассмотрим механическую систему, состоящую из материальных точек, на которую наложены идеальные уде

Работа, энергия, мощность

Силы служат причиной либо ускорения тела (динамическое действие), либо изменения его формы (статическое действие).

Если сила перемещает тело на некоторое расстояние, то она совершает над телом работу.

Работа = Сила х Перемещение.

При F = const (в случае постоянной силы в процессе перемещения) A = F s, в случае переменной силы – интеграл от силы по перемещению A = .

Мощность – отношение произведенной работы на время, в течение которой она произведена:

Мощность = Работа / Время.

Мгновенная мощность – производная работы по времени: Р = dA /dt . Поскольку dA = Fds (сила на перемещение), то Р = Fds /dt = Fv . Мгновенная мощность равна произведению мгновенной силы на мгновенную скорость.

Энергия – способность тела совершать работу, единая мера различных форм движения. Количественные характеристики зависят от вида энергии (механическая, внутренняя, химическая, ядерная, электромагнитная и др.).

Два способа передачи движения и соответствующей ему энергии от одного тела к другому – в форме работы и в форме теплоты (путем теплообмена). Для микрочастиц (атомы, электроны) эти понятия неприменимы.

Если тело движется в направлении действия силы тяжести, то над телом совершается работа A = G h или A т = mg h .

Чтобы поднять тело (увеличить расстояние от центра Земли), над ним следует совершить работу. Работа, совершаемая силой F при движении против силы тяжести (подъеме тела) на высоту h не зависит от пути – зависит только от того, насколько тело может опуститься до заданного уровня. Эта работа запасается в виде потенциальной энергии тела (энергии положения) A =W п = mgh , равной работе, затраченной на подъем тела.

Это не полная потенциальная энергия – только приращение энергии при подъеме тела на высоту (начало отсчета выбирается произвольно). С учетом изменения гравитационного поля по высоте W п = m .

Потенциальной энергией называется энергия, зависящая только от взаимного расположения материальных точек (или тел).

Силы, действующие на материальную точку (тело), называются потенциальными, если работа этих сил при перемещении точки (тела) зависит только от начального и конечного положения точки (тела) в пространстве и не зависит от пути перемещения.

Во всех физических явлениях важна не сама потенциальная энергия, а ее изменение, которым определяется совершаемая работа. Уровень отсчета изменений заранее оговаривается.

Потенциальная энергия включает энергию положения и энергию упругой деформации.

Потенциальной энергией может обладать не только система взаимодействующих сил, но и отдельно взятое упруго деформируемое тело (сжатая пружина, растянутый стержень). В этом случае потенциальная энергия зависит от взаимного расположения отдельных частей тела (витков пружины).

Кинетическая энергия тела является мерой его механического движения и измеряется той работой, которую может совершить тело при торможении до полной остановки.

Из состояния покоя изменение скорости и пути к моменту t: V=at, S=Vt/2=at 2 /2.

При торможении на тело действует сила, направленная против его движения. До полной остановки тело под действием силы F совершит работу А : А = Fs = F v 2 /2a = mv 2 /2.

Кинетическая энергия тела К = mv 2 /2

При подъеме на высоту накопилась потенциальная энергия W п, при падении с этой высоты эта потенциальная энергия превратилась в кинетическую W к. W п = W к = mgh = mv 2 /2 .

Пример : определение скорости с помощью маятника-груза.

1. Формулировка содержательной модели

Определить скорость пули. Задача решается с помощью маятника-груза, подвешенного на легком жестком и свободно вращающемся стержне. Исходные данные – в соответствии с рисунком.

2. Формулировка концептуальной модели

Пуля, застрявшая в грузе, сообщит системе "пуля-груз" свою кинетическую энергию, которая в момент наибольшего отклонения стержня от вертикали полностью перейдет в потенциальную энергию системы. В основе решения задачи – закон сохранения энергии. Не учитываются потери энергии на разогрев пули и груза, на преодоление сопротивления воздуха, разгон стержня и т.д.

3. Разработка математической модели.

Эта трансформация описывается цепочкой равенств, из которых определяется искомая скорость v .

(M + m)V 2 /2 = (M + m) gl (1 – cosα).

4. Исследования модели и решение задачи.

Процессы, происходящие при проникновении пули в груз, уже не являются чисто механическими. Примененный закон дает только нижнюю границу оценки – сохраняется полная, а не механическая энергия системы – для правильного решения задачи надо воспользоваться законом сохранения импульса.