2 определение угла построение угла равного данному. Основные задачи на построение

Умение разделить любой угол биссектрисой нужно не только для того, чтобы получить «пятерку» по математике. Эти знания очень пригодятся строителю, дизайнеру, землемеру и портнихе. В жизни многое надо уметь делить пополам. Все в школе…

Сопряжение представляет собой плавный переход одной линии в другую. Для поиска сопряжения необходимо определить его точки и центр, после чего начертить соответствующее пересечение. Для решения подобной задачи необходимо вооружиться линейкой,…

Сопряжение - это плавные переход одной линии в другую. Сопряжение очень часто применяются на разнообразных чертежах при соединении углов, окружностей и дуг, прямых линий. Построение сечения - довольно непростая задача, для выполнения которой от вас…

При проведении построений различных геометрических фигур иногда требуется определить их характеристики: длину, ширину, высоту и так далее. Если речь идет о круге или окружности, то часто приходится определять их диаметр. Диаметр представляет собой…

Прямоугольным называют треугольник, угол в одной из вершин которого равен 90°. Сторону, лежащую напротив этого угла, называют гипотенузой, а стороны, противолежащие двум острым углам треугольника, называются катетами. Если известна длина гипотенузы…

Задачи на осуществление построений правильных геометрических фигур тренируют пространственное восприятие и логику. Существует большое количество весьма простых задач подобного рода. Их решение сводится к модифицированию или комбинированию уже…

Биссектрисой угла называют луч, который начинается в вершине угла и делит его на две равные части. Т.е. чтобы провести биссектрису, нужно найти середину угла. Наиболее простой способ это сделать - при помощи циркуля. В этом случае вам не нужно…

При строительстве или разработке домашних дизайн-проектов часто требуется построить угол, равный уже имеющемуся. На помощь приходят шаблоны и школьные знания геометрии. Инструкция 1Угол образуют две прямые, исходящие из одной точки. Эта точка…

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий любую из вершин треугольника с серединой противоположной стороны. Поэтому задача построения медианы с помощью циркуля и линейки сводится к задаче нахождения середины отрезка. Вам понадобится-…

Медиана - это отрезок, проведенный из некоторого угла многоугольника к одной из его сторон таким образом, что точка пересечения медианы и стороны является серединой этой стороны. Вам понадобится- циркуль- линейка- карандашИнструкция1Пусть задан…

Эта статья расскажет вам, как при помощи циркуля провести перпендикуляр к данному отрезку через определенную точку, лежащую на этом отрезке. Шаги 1Посмотрите на данный вам отрезок (прямую) и точку (обозначим как А), лежащую на нем.2Установите иглу…

Эта статья расскажет вам, как провести прямую, параллельную данной прямой и проходящую через данную точку. ШагиМетод 1 из 3: По перпендикулярным прямым 1Обозначьте данную прямую как «m», а данную точку как А.2Через точку А проведите…

Эта статья расскажет вам, как построить биссектрису данного угла (биссектриса – луч, делящий угол пополам). Шаги 1Посмотрите на данный вам угол.2Найдите вершину угла.3Установите иглу циркуля в вершине угла и проведите дугу, пересекающую стороны угла…

Часто нужно бывает начертить («построить») угол, который был бы равен данному углу, причем построение необходимо выполнить без помощи транспортира, а обходясь только циркулем и линейкой. Умея строить треугольник по трем сторонам, мы сможем решить и эту задачу. Пусть на прямой MN (черт. 60 и 61) требуется построить у точки K угол, равный углу B . Это значит, что надо из точки K провести прямую, составляющую с MN угол, равный B .

Для этого отметим на каждой из сторон данного угла по точке, например А и С , и соединим А и С прямой линией. Получим треугольник АВС . Построим теперь на прямой MN этот треугольник так, чтобы вершина его В находилась в точке К : тогда у этой точки и будет построен угол, равный углу В . Строить же треугольник по трем сторонам ВС, ВА и АС мы умеем: откладываем (черт. 62) от точки К отрезок KL, равный ВС ; получим точку L ; вокруг K , как около центра, описываем окружность радиусом ВА , а вокруг L – радиусом СА . Точку Р пересечения окружностей соединяем с К и Z, – получим треугольник КPL, равный треугольнику ABC ; в нем угол К = уг. В .

Это построение выполняется быстрее и удобнее, если от вершины В отложить р а в н ы е отрезки (одним расстворением циркуля) и, не сдвигая его ножек, описать тем же радиусом окружность около точки К, как около центра.

Как разделить угол пополам

Пусть требуется разделить угол А (черт. 63) на две равные части помощью циркуля и линейки, не пользуясь транспортиром. Покажем, как это сделать.

От вершины А на сторонах угла отложим равные отрезки АВ и АС (черт. 64; это делается одним расстворени-ем циркуля). Затем ставим острие циркуля в точки В и С и описываем равными радиусами дуги, пересекающиеся в точке D. Прямая, соединяющая А и Д делит угол А пополам.

Объясним, почему это. Если точку D соединим с В и С (черт. 65), то получатся два треугольника ADC и ADB, у которых есть общая сторона AD ; сторона АВ равна стороне АС , а ВD равна CD. По трем сторонам треугольники равны, а значит, равны и углы BAD и DАС, лежащие против равных сторон ВD и СD . Следовательно, прямая AD делит угол ВАС пополам.

Применения

12. Построить без транспортира угол в 45°. В 22°30’. В 67°30’.

Р е ш е н и е. Разделив прямой угол пополам, получим угол в 45°. Разделив угол в 45° пополам, получим угол в 22°30’. Построив сумму углов 45° + 22°30’, получим угол в 67°30’.

Как построить треугольник по двум сторонам и углу между ними

Пусть требуется на местности узнать расстояние между двумя вехами А и В (черт 66), разделенными непроходимым болотом.

Как это сделать?

Мы можем поступить так: в стороне от болота выберем такую точку С , откуда видны обе вехи и возможно измерить расстояния АС и ВС. У г о л С измеряем помощью особого угломерного прибора (называемого а с т р о л я б и е й). По этим данным, т. е. по измеренным сторонам AC и ВС и углу С между ними, построим треугольник ABC где-нибудь на удобной местности следующим образом. Отмерив по прямой линии одну известную сторону (черт. 67), например АС , строят при ней у точки С угол С ; на другой стороне этого угла отмеряют известную сторону ВС. Концы известных сторон, т. е. точки А и В соединяют прямой линией. Получается треугольник, в котором две стороны и угол между ними имеют наперед указанные размеры.

Из способа построения ясно, что по двум сторонам и углу между ними можно построить т о л ь к о о д и н треугольник. поэтому, если две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого и углы между этими сторонами одинаковы, то такие треугольники можно друг на друга наложить всеми точками, т. е. у них должны быть равны также третьи стороны и прочие углы. Это значит, что равенство двух сторон треугольников и угла между ними может служить признаком полного равенства этих треугольников. Короче говоря:

Т р е у г о л ь н и к и р а в н ы п о д в у м с т о р о н а м и у г л у м е ж д у н и м и.

Цели урока:

Формирование умений анализировать изученный материал и навыков применения его для решения задач;
Показать значимость изучаемых понятий;
Развитие познавательной активности и самостоятельности получения знаний;
Воспитание интереса к предмету, чувства прекрасного.

Задачи урока:

Формировать навыки в построении угла равного данному с помощью масштабной линейки, циркуля, транспортира и чертежного треугольника.
Проверить умение учащихся решать задачи.

План урока:

Повторение.
Построение угла, равного данному.
Анализ.
Построение пример первый.
Построение пример второй.

Повторение.

Угол.

Плоский угол - неограниченная геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (вершины угла).

Углом также называют фигуру образованную всеми точками плоскости, заключёнными между этими лучами (Вообще говоря, двум таким лучам соответствуют два угла, так как они делят плоскость на две части. Один из этих углов условно называют внутренним, а другой - внешним.
Иногда, для краткости, углом называют угловую меру.

Для обозначения угла имеется общепринятый символ: , предложенный в 1634 году французским математиком Пьером Эригоном.

Угол – это геометрическая фигура (рис.1), образованная двумя лучами OA и OB (стороны угла), исходящими из одной точки O (вершина угла).

Угол обозначается символом и тремя буквами, обозначающими концы лучей и вершину угла: AOB (причём, буква вершины – средняя). Углы измеряются величиной поворота луча ОА вокруг вершины O до тех пор, пока луч OA не переходит в положение OB. Широко применяются две единицы измерения углов: радиан и градус. О радианном измерении углов см. ниже в пункте «Длина дуги», а также в главе «Тригонометрия».

Градусная система измерения углов.

Здесь единицей измерения является градус (его обозначение °) – это поворот луча на 1 / 360 полного оборота. Таким образом, полный оборот луча равен 360 о. Один градус делится на 60 минут (обозначение ‘); одна минута – соответственно на 60 секунд (обозначение “). Угол в 90° (рис.2) называется прямым; угол, меньший, чем 90° (рис.3), называется острым; угол, больший, чем 90° (рис.4), называется тупым.

Прямые линии, образующие прямой угол, называются взаимно перпендикулярными. Если прямые АВ и МK перпендикулярны, то это обозначается: AB MK.

Построение угла, равного данному.

До начала построений или решения какой либо задачи в независимости от предмета нужно провести анализ . Понять о чем говориться в задании, прочитать его вдумчиво и не спеша. Если после первого раза возникают сомнения или чтото было не понятно или понятно но не до конца, рекомендуется прочитать еще раз. Если вы делаете задание на уроке можете спросить у учителя. В противном случаи ваша задача какую вы неверно поняли может быть решена не правильно или вы можете найти не то что от вас требовали и она будет считаться неправильной и вам прейдется ее переделывать. Как по мне - лучше потратить немного больше времени на изучение задания чем переделывать задачу заново .

Анализ.

Пусть a – данный луч с вершиной A, а угол (ab) искомый. Выберем точки B и C на лучах a и b соответственно. Соединив точки B и C, получим треугольник ABC. В равных треугольниках соответственные углы равны, и отсюда вытекает способ построения. Если на сторонах данного угла каким-то удобным образом выбрать точки C и B, от данного луча в данную полуплоскость построить треугольник AB 1 C 1 , равный ABC (а это можно сделать, если знать все стороны треугольника), то задача будет решена.

При проведении каких либо построений будьте предельно внимательны и старайтесь все построения выполнять аккуратно. Так как любые несоответствия могут вылиться в какие то ошибки, отклонения что может привести к неверному ответу. А если задача данного типа выполняется впервые то ошибку будет очень тяжело найти и исправить.

Построение пример первый.

Проведем окружность с центром в вершине данного угла. Пусть B и C – точки пересечения окружности со сторонами угла. Радиусом AB проведем окружность с центром в точке A 1 – начальной точке данного луча. Точку пересечения этой окружности с данным лучом обозначим B 1 . Опишем окружность с центром в B 1 и радиусом BC. Точка пересечения C 1 построенных окружностей в указанной полуплоскости лежит на стороне искомого угла.

Треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по трем сторонам. Углы A и A 1 – соответствующие углы этих треугольников. Следовательно, ∠CAB = ∠C 1 A 1 B 1

Для большой наглядности можно рассмотреть те же построения подробней.

Построение пример второй.

Задание остается тоже отложить от данной полупрямой в данную полуплоскость угол, равный данному углу.

Построение.

Шаг 1. Проведем окружность с произвольным радиусом и центров в вершине A данного угла. Пусть В и С – точки пересечения окружности со сторонами угла. И проведем отрезок BC.

Шаг 2. Проведем окружность радиусом AB с центром в точке О – начальной точке данной полупрямой. Точку пересечения окружности с лучом обозначим B 1 .

Шаг 3. Теперь опишем окружность с центром B 1 и радиусом BC. Пусть точка С 1 пересечение построенных окружностей в указанной полуплоскости.

Шаг 4. Проведем луч из точки O, через точку С 1 . Угол C 1 OB 1 и будет искомый.

Доказательство.

Треугольники ABC и OB 1 C 1 равны как треугольники с соответствующими сторонами. И следовательно углы CAB и C 1 OB 1 равны.

Интересный факт:

В числах.

В предметах окружающего мира вы прежде всего замечаете их отдельные свойства, отличающие один предмет от другого.

Обилие частных, индивидуальных свойств заслоняет собой свойства общие, присущие решительно всем предметам, и обнаружить такие свойства поэтому всегда труднее.

Одним из важнейших общих свойств предметов является то, что все предметы можно считать и измерять. Мы отражаем это общее свойство предметов в понятии числа.

Овладевали люди процессом счета, то-есть понятием числа, очень медленно, веками, в упорной борьбе за свое существование.

Чтобы считать, надо иметь не только предметы, подлежащие счету, но обладать уже способностью отвлекаться при рассматривании этих предметов от всех прочих их свойств, кроме числа, а эта способность есть результат долгого, опирающегося на опыт, исторического развития.

Счету при помощи числа обучается теперь каждый человек незаметно еще в детстве, почти одновременно с тем, как начинает говорить, но этот привычный нам счет прошел длительный путь развития и принимал разные формы.

Было время, когда для счета предметов употреблялись лишь два числительных: один и два. В процессе дальнейшего расширения системы счисления привлекались части человеческого тела и в первую очередь пальцы, а если не хватало такого рода «цифр», то еще палочки, камешки и другие вещи.

Н. Н. Миклухо-Маклай в своей книге «Путешествия» рассказывает о забавном способе счета, применявшемся туземцами Новой Гвинеи:

Вопросы:

Сформулируйте определение угла?
Какие есть виды углов?
Какая разница между диаметром и радиусом?

Список использованных источников:

Мазур К. И. «Решение основных конкурсных задач по математике сборника под редакцией М. И. Сканави»
Математическая смекалка. Б.А. Кордемский. Москва.
Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина «Геометрия, 7 – 9: учебник для общеобразовательных учреждений»

Над уроком работали:

Левченко В.С.

Потурнак С.А.

Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме , где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог, Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования открывает двери для специалистов высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.

Предмети > Математика > Математика 7 класс

При строительстве или разработке домашних дизайн-проектов часто требуется построить угол, равный уже имеющемуся. На помощь приходят шаблоны и школьные знания геометрии.

Инструкция

Угол образуют две прямые, исходящие из одной точки. Эта точка будет называться вершиной угла, а линии будут являться сторонами угла.
Для обозначения углов используйте три буквы: одна у вершины, две у сторон. Называют угол, начиная с той буквы, которая стоит у одной стороны, далее называют букву, стоящую у вершины, и затем букву у другой стороны. Используйте и другие способы для обозначения углов, если вам удобнее иначе. Иногда называют только одну букву, которая стоит у вершины. А можно обозначать углы греческими буквами, например, α, β, γ.
Встречаются ситуации, когда необходимо начертить угол, чтобы он был равен уже данному углу. Если при построении чертежа использовать транспортир возможности нет, можно обойтись только линейкой и циркулем. Допустим, на прямой, обозначенной на чертеже буквами MN, нужно построить угол у точки К, так, чтобы он был равен углу В. То есть из точки K необходимо провести прямую, образующую с линией MN угол, который будет равен углу В.
В начале отметьте по точке на каждой стороне данного угла, например, точки А и С, дальше соедините точки С и А прямой линией. Получите треугольник АВС.
Сейчас постройте на прямой MN такой же треугольник, чтобы его вершина В находилась на линии в точке К. Используйте правило построения треугольника по трем сторонам. Отложите от точки К отрезок KL. Он должен быть равен отрезку ВС. Получите точку L.
Из точки K вычертите окружность радиусом равным отрезку ВА. Из L вычертите окружность радиусом СА. Полученную точку (Р) пересечения двух окружностей соедините с К. Получите треугольник КPL, который будет равен треугольнику ABC. Так вы получите угол К. Он и будет равен углу В. Чтобы это построение сделать удобнее и быстрее, от вершины В отложите равные отрезки, используя один раствор циркуля, не сдвигая ножек, опишите этим же радиусом из точки К окружность.

Цель урока: Формирование умения строить угол, равный данному. Задача: Создать условия для усвоения алгоритма построения с помощью циркуля и линейки угла, равного данному; создать условия для усвоения последовательности действий при решении задачи на построение (анализ, построение, доказательство); совершенствовать навык использования свойств окружности, признаков равенства треугольников для решения задачи на доказательство; обеспечить возможность применение новых умений при решении задач

В геометрии выделяют задачи на построение, которые можно решить только с помощью двух инструментов: циркуля и линейки без масштабных делений. Линейка позволяет провести произвольную прямую, а также построить прямую, проходящую через две данные точки; с помощью циркуля можно провести окружность произвольного радиуса, а также окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку. I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I

Дано: угол А. А Построили: угол О. В С О D E Доказать: А = О Доказательство: рассмотрим треугольники АВС и ОDE. 1.АС=ОЕ, как радиусы одной окружности. 2.АВ=ОD, как радиусы одной окружности. 3.ВС=DE, как радиусы одной окружности. АВС= ОDЕ (3 приз.) А = О Задача 2. Отложить от данного луча угол, равный данному

Докажем, что луч АВ – биссектриса А 3. Доказательство: Дополнительное построение (соединим точку В с точками D и C). Рассмотрим АСВ и АDB: А В С D 1.АС=АD, как радиусы одной окружности. 2.СВ=DB, как радиусы одной окружности. 3. АВ – общая сторона. АСВ = АDВ, по III признаку равенства треугольников Луч АВ – биссектриса 4.Исследование: Задача всегда имеет единственное решение.

Схема решения задач на построение: Анализ (рисунок искомой фигуры, установление связей между заданными и искомыми элементами, план построения). Построение по намеченному плану. Доказательство, что данная фигура удовлетворяет условиям задачи. Исследование (когда и сколько задача имеет решений?).