Действия над матрицами.
С каждой квадратной матрицей связаны два многочлена: характеристический и минимальный. Эти многочлены играют большую роль в различных вопросах теории матриц. Так, например, понятие о функции от матрицы, которое мы введем в следующей главе, будет целиком основываться на понятии о минимальном многочлене матрицы. В этой главе рассматриваются свойства характеристического и минимального многочлена. Этому исследованию предпосылаются основные сведения о многочленах с матричными коэффициентами и о действиях над ними.
§ 1. Сложение и умножение матричных многочленов
Рассмотрим квадратную многочленную матрицу , т. е. квадратную матрицу, элементами которой являются многочлены относительно (с коэффициентами из данного числового поля ):
Матрицу можно представить в виде многочлена с матричными коэффициентами, расположенного по степеням :
. (3)
Число называется степенью многочлена, если . Число называется порядком многочлена. Многочлен (1) будем называть регулярным, если .
Многочлен с матричными коэффициентами мы будем иногда называть матричным многочленом. В отличие от матричного многочлена обычный многочлен со скалярными коэффициентами будем называть скалярным многочленом.
Рассмотрим основные действия над матричными многочленами. Пусть даны два матричных многочлена одного и того же порядка и . Обозначим через наибольшую из степеней этих многочленов. Эти многочлены можно записать в виде
т. е. сумма (разность) двух матричных многочленов одного и того же порядка может быть представлена в виде многочлена, степень которого не превосходит наибольшей из степеней данных многочленов.
Пусть даны два матричных многочлена и степеней и одного и того же порядка :
Если бы мы перемножили на (т. е. изменили бы порядок сомножителей), то мы получили бы, вообще говоря, другой многочлен.
Умножение матричных многочленов обладает еще одним специфичным свойством. В отличие от произведения скалярных многочленов произведение матричных многочленов (4) может иметь степень, меньшую , т. е. меньшую суммы степеней сомножителей. Действительно, в (4) произведение матриц может равняться нулю при и . Однако, если хотя бы одна из матриц и неособенная, то из и следует: . Таким образом, произведение двух матричных многочленов равно многочлену, степень которого меньше или равна сумме степеней сомножителей. Если хотябы один из двух сомножителей регулярный многочлен, то в этом случае степень произведения всегда равна сумме степеней сомножителей.
Матричный многочлен -го порядка можно записать двояко:
Обе записи при скалярном дают один и тот же результат. Однако если мы пожелаем вместо скалярного аргумента подставить квадратную матрицу -го порядка , то результаты подстановок в (5) и (5") будут, вообще говоря, различны, так как степени матрицы могут не быть перестановочными с матричными коэффициентами .
и будем называть правым, а левым значением матричного многочлена при подстановке вместо матрицы .
Рассмотрим снова два матричных многочлена
, 
и их произведение
Преобразования в тождестве (7") сохраняют свою силу при замене матрицей -го порядка , если только матрица перестановочна со всеми матричными коэффициентами . Аналогично в тождестве (7") можно заменить скаляр матрицей , если матрица перестановочна со всеми коэффициентами . В первом случае получаем: любой матрицей -го порядка всегда справедливы тождества
, 
. (9)
Многочленом (полиномом) от матрицы А наз. Выр-е вида: р(А)=а А +а А +… а А²+а А+а А
Пусть дан многочлен р(Х), если р(А)=0, т.е. р(А) – нулевая, то М. А наз. корнем многочдена р(Х), а многочлен р(Х) аннулирующим многочленом от матрицы А.
Правило Сариуса знаков для 3-его порядка.
Минором наз. определитель, полученый вычёркиванием той строки и того столбца на которых стоит данный элемент.
Алг. дополнением эл. Аik наз. минор, взятый со знаком Аik=(-1) Mik .
Разложение ∆ 3-его порядка по элементам первой строки: ∆=а11А11+а12А12+а13А13 .
Матрицей обратной кв. матрице А наз. кв. матрица А¯¹ удовл. рав. А А¯¹= А¯¹ А=Е.
Кв. матрица наз. невыражденой, если её det≠0.
Теор. Всяк. невыражд. матр. А имеет невыражд. ей обр. матр.: А¯¹=A/detA.
Произвольную невыражд. матр. можно привести к еденичной (АЕ) - метод Жордано.
Нахождение обр. матр. с помащю эл. преобр. Теор. Если к ед. матрице порядка n применить те же эл. преобр.,только над строками и в том же порядке с пом. котор. невыражд. кв. матр. А приводится к ед., то полученная при этом матрица будет обратной матрице А. (А|E)(E|A¯¹).
Ах=В уА=В
х=А¯¹В у=ВА¯¹
Ранг матрицы
В матр. m*n выберем произв. S-строк, S-столб. (1≤S≤min(m,n)). Элем., стоящ. на пересечен. выбр. стр. столб. обр. матр. порядка S. Определитель этой матрицы наз. минорм порядка S матр А.
Этот определитель наз.минорм второго порядка исходн. матр. Аналог. получ. др. миноры втор. порь.,а также трет. порь., нек. из них мог. = 0.
Рангом матр. наз. наиб. из порядков её миноров,≠0.
Если все миноры =0, то ранг =0.
Свойства ранга
1. R транспонир. матр. = R исходн.
2. R М. не завис. От отсутствия или присутствия в ней нулевых строк.
3. При эл. преобр. R матр. не мен. С их пом. матр. можно привести к квазитреуголной форме,R котор. = r, т.к. её минор с гл. диог. равен произведен. и ≠0, а все миноры более высокого порядка =0, как содержащие нулевые строки.
Матричная запись линейной ситемы
А=(Кооф.), Х=(неизв.), В=(св. чл.), Ấ=(кооф и св. члены)
Невыражд. сист.
|a11 a12 .. b1 .. a1m|
∆=|кооф.| , ∆k=| a21 a22 .. b2 .. a2m|
|………………………………..|
| am1 am2 .. bm ..amm|
Теорема Крамера. Невыражн. лин. сит. имеет ед. решение х1=∆1/∆ , х2=∆2/∆………
Метод Гаусса-Жордано (и наобарот)
Заключ. в эл. преобраз. матр.
ВЕКТОЫ
Коллинеарн. вект. – лежащ. на || прямых или на одой прямой.
Равные вект. – коллин. и имеющ. одинак. направление и длину.
Протиположными наз. векторы и имеющие равные длины.
Св. векторы – т. приложения котрых может быть выбрана произвольно.
Радиус-вектором т. наз. вектор т. приложения которого является нач. коорд., а конец находится в т.
Направляющими косинусами векторов наз. косинусы углов α, β, γ образованных ими с коорд. осями.
|r|=√(x²+y²+z²) x=|r|cosα y=|r|cosβ … … => cosα=x/√(x²+y²+z²)
Единичный вектор e=(cos,cos,cosγ)
Коорд. лин. комбинации векторов
Даны n векторов. Лин. комб. a=α1*a1+α2*a2+…+αn*an x= α1*x1+α2*x2+…+αn*xn y=…
Деление отрезка в данном отношении
X=(x1+ℓx2)/(1+ℓ) – в отношении ℓ.
Скалярн. произведение векторов
ab=|a||b|cos(ab) Т.к. |b|cos φ=пр a b , |a|cosφ=пр b a , ab=|a|пр a b = |b|пр b a
Свойства: 1.Переместит(коммуникативности) аb=ba
2.Сочетательности(ассоциативности) относительно числ. множ. (αa)b=α(ab)
3.Распределительности (дистрибутивности) относит. суммы векторов a(b+c)=ab+ac
Правило лев. и прав. тройки В.
3 не комплан. вект. a,b,c взятых взятых в указанном порядке и приложенных к одной точке наз. тройкой векторов abc.
Будем см. с конца c на плоск. образ. вект.а и b ,если кратчайший поворот от а к b совершим против часовой стрелки то тройка наз. правой…
Векторным произведением 2-х векторов a и b наз. вектор и удовл. след. усл.:1)||=|a||b|sinα ;2)┴a и b;3)тройка a b имеет ту же ориентацию,что и i jk.
Из усл. 1) следует что | | векторное произведение = площади параллелограмма.
0 < = > a комплан. b
Свойства: 1.Антиперестановочности =-
2.Сочетательности относительно скалярн. множ. [(αa)*b]=α
3.Распределительности (дистрибутивности) относит. суммы векторов [(a+b)c]=+
=|x1 y1 z1|=|y1 z1|*i+… …
|x2 y2 z2| |y2 z2|
Смешанное произведение векторов
Даны 3 вект. a,b,c . Умножим векторно a на b и скалярно на с. В рез. получ. число, котор наз. векторно-скалярным произведением или смешаным.
V параллелипипеда=смеш. произвед. вект. и «+», если тр. abc прав.
abc=|x2 … …| < = > abc-комплан.
|x3 … …| |x2-x1 y2-y1 … |
V 3-ох угольн. Пирамиды=mod|x3-x1 … … |
|x4-x1 … … |
Линейная завис. Векторов
a1,a2,…an – наз. лин. завис. векторов, если сущ. α1,α2 …αn, таких что: α1*a1+α2*a2+…+αn*an=0
Теорема 1. a1,a2,…,an, n>1 лин зависима < = > по меньшей мере, один из них явл. лин. комб. остальных.
Теорема 2. а и b лин. завис < = > они коллин.
Теорема 3. Если е1 и е2 – не колинеарные векторы нек. плоск., то любой третий вектор а, принадлежащий той же плоскости ед. образом раскл. по ним а=х*е1+у*е2.
Теорема 4. a,b,c – лин. завис. < = > они коллинеарны.
Теорема 5. Если е1,е2,е3 не комплан., то любой любой а можно ед. обр. разложить по ним а=α1*е1+α2*е2+α3*е3
Теорема 6. Всяк. 4-е вектора лин. завис.
Базис – любая упорядоченая система 3-ох лин. независ.,т.е. не компланарных векторов d=x*e1+y*e2+z*e3 d(x,y,z) в базисе е1е2е3
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ…
F(x,y)=0 – ур-е линии в общем виде
F(ρ,φ)=0 – … в полярных координатах. Если это уравнение разрешимо относительно ρ, то ρ= ρ(φ).
y= φ (t) / - параметрические уравнения линии.
Если дан. линии заданы ур-ем ρ= ρ(φ), параметрически ур-я записываются x= ρ(φ)*cos φ y= ρ(φ)*sin φ
Упрощ. ур-е второй степени не содержащее члена с произведением координат Ax²+Cy²+Dx+Ey+F=0 (1)
Перейдём к нов. сист. коорд. оху путём параллельного переноса.
Ур-е (1) путём выделения полных квадратов преведено к одному из следующих канонических уравнений:
х²/a²+y²/b²=1 – эллипс – геом. место точек плоскости, для котор. сумма раст. до двух данных т. (фокусов) =const,F1(-c,0), F2(c,0),c=√(a²+b²)
Эпсиктриситетом эл. наз. ξ=√(1-(b/a)²) Директрисами эл. наз. прямые x=a/ξ и x=--a/ξ
х²/a²+y²/b²=0 – удовл. коорд. ед. т. (0,0)
х²/a²+y²/b²=-1 – неудовл. коорд. ни одной т.
в сл. А*С>0 линии элипсического типа
х²/a² -- y²/b²=1 или --х²/a² + y²/b²=1 – гиперболы – геом. место т. плоскости для которых | | разности расстояний до двух данных т.(фокусов)=const \
F1(-c,0), F2(c,0), c=√(a²+b²) , ξ=c/a, Ассимптоты: у=х*b/a и y=-- х*b/a , Директрисы: x=-a/ξ и x=a/ξ |
Равносторонние Г. – с равными полуосями. /
х²/a² -- y²/b²=0 – пара пересекающихся прямых / - линии гиперболического типа
у²=2px – парабола - геом. место т. плоскости равноудалённых от фокуса и директрисы \
Симметрин. относит. ох: у²=2px , Директриса x=-p/2 ,F(p/2,0) , r=x+p/2 |
oy: x²=2qy , Директриса y=-q/2 ,F(0,q/2) , r=y+q/2 |
y²=b² - пара || прямых > - линии параболического типа
y²=0 – пара совпавших прямых /
y²=--b² - неудовл. коорд. ни одной т.
Если С=0, А≠0, то (1) приводится х²=2qy
Прямая на плоскости. Общий вид: х=а или y=b
k=(y2-y1)/(x2-x1) , где х1,у1,…,… -координаты двух любых т. плоскости. | tg(угла м/у 2-я ∩ прямыми)=(k2-k1)/(1+k1k2)
Уравнение касательной: y-y0=k(x-x0) | Если прямые заданы общими уравнениями (Ах+Ву+С=0):
Ур-е нормали: y-y0=-1/k*(x-x0) | tg(угла м/у 2-я ∩ прямыми)=(A1*B2-A2*B1)/(A1*A2+B1*B2)
Ур-е прямой (y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1) , (x2≠x1,y2≠y1) | || < = >A1/A2=B1/B2 , ┴ A1/B1=--B2/A2
Ур-е прямой в отрезках x=x1+(x2-x1)*t y=y1=(y2-y1)*t , t € R
Расстояние от т. М0(х0,у0) до прямой Ах+Ву+С=0: d=(A*x0+B*y0+C)/√(A²+B²)
Ур-е окружности: (x-a)²+(y-b)²=R²
Упрощ. общее ур-е второй степени: Ax²+2Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0
При повароте коорд осей на α для которого ctg2α=(A- C)/2B
x=x’ cos α –y’ sin α
y=x’ sin α +x’ cos α
Предел ф-ии. Постоянная b наз. lim y=f(x) при x→a , если для любого ξ>0 сущ. δ>0, что при всех x удовл. усл. 0<|x-a|< δ, выполняется условие |f(x)-b|<ξ
Матричным многочленом от переменной называется выражение вида
F(л) = Ао лm + А1 лm-1 + А2 лm-2 + … + Аm , (1)
где Ао, …, Аm - квадратные матрицы одного и того же порядка с элементами из основного поля К. Число m называется степенью многочлена, если Ао?0. Два многочлена называются равными, если равны матрицы, стоящие в этих многочленах при одинаковых степенях переменной л. Складываются и перемножаются матричные л-многочлены по обычным правилам. Ясно, что каждый л-многочлен можно записать в виде одной матрицы, элементами которой являются обыкновенные многочлены от л, и обратно. Например,
1 2 + 5 6 л + 1 0 лІ = лІ +5л + 1 6+ 2
0 3 7 -2 0 1 7л лІ-2л + 3 .
Поэтому матричные л-многочлены являются лишь особым видом записи л-матриц.
Многочлен F(л) называется регулярным, если матрица Ао обратима.
Сумма (разность) двух матричных многочленов одного и того же порядка может быть представлена в виде многочлена, степень которого не превосходит наибольшей из степеней данных многочленов.
Произведение двух матричных многочленов равно многочлену, степень которого меньше или равна сумме степеней сомножителей. Если хотя бы один их двух сомножителей регулярный многочлен, то в этом случае степень произведения всегда равна сумме степеней сомножителей.
Пусть даны два матричных многочлена А(л) и В(л) одного и того же порядка n, причем В(л) - регулярный многочлен:
А(л) = Аолm + А1лm-1 + … + Аm (Ао?0),
В(л) = Волр + В1лр-1 + … + Вр(|Во|?0).
Будем говорить, что матричные многочлены Q(л) и R(л) являются соответственно правым частным и правым остатком при делении А(л) на В(л), если
А(л) = Q(л)В(л) + R(л)(2)
и степень R(л) меньше степени В(л).
Совершенно аналогично будем называть многочлены ^Q(л) и ^R(л) соответственно левым частным и левым остатком при делении А(л) на В(л), если
А(л) = В(л) ^Q(л) + ^R(л)(3)
и степень ^R(л) меньше степени В(л).
В общем случае многочлены Q(л) и R(л) не совпадают с ^Q(л) и ^R(л).
Покажем, что как правое, так и левое деление матричных многочленов одного и того же порядка всегда выполнимо и однозначно, если делитель - регулярный многочлен.
Рассмотрим правое деление А(л) на В(л). Если m А(л)= АоВо -1лm-pВ(л) + А(1)(л).(4) Степень m(1) многочлена А(1)(л) меньше m: А(1)(л) = Ао(1) лm(1) + … (Ао(1)?0, m(1) Если m(1)?p, то повторя этот процесс, получаем: А(1)(л) = Ао(1)Во -1 лm(1)-р В(л) + А(2)(л), (6) А(2)(л) = А(2)лm(2) + … (m(2) Так как степени многочленов А(л), А(1)(л), А(2)(л), … убывают, то на некотором этапе мы придем к остатку R(л), степень которого меньше р. Тогда из (4), (6) будет следовать: А(л) = Q(л) В(л) + R(л), где Q(л) = АоВо-1 лm-р + Ао(1)Во-1 лm(1)-р + …(7) Докажем теперь однозначность правого деления. Пусть одновременно А(л) = Q(л) В(л) + R(л)(8) А(л) = Q*(л) В(л) + R*(л),(9) где степени многочленов R(л) и R*(л) меньше степени В(л), т.е. меньше р. Вычитая почленно (8) из (9) получим: В(л) = R*(л) - R(л).(10) Если бы Q(л) - Q*(л) ? 0, то поскольку |Во|?0, степень левой части равенства (10) равнялось бы сумме степеней В(л) и Q(л) - Q*(л) и потому была бы?р. Это невозможно, так как степень многочлена, стоящего в правой части равенства (10), меньше р. Таким образом, Q(л) - Q*(л)?0, а тогда из (10) R*(л) - R(л)?0, т.е. Q(л) = Q*(л), R(л) = R*(л). Совершенно аналогично устанавливаются существование и единственность левого частного и левого остатка. Т е о р е м а 1. (Обобщенная теорема Безу). При правом (левом) делении матричного многочлена F(л) на бином лЕ-А остаток от деления равен F(А)(соответственно ^F(A)). Доказательство. Рассмотрим произвольный матричный многочлен n-го порядка F(л) = Fо лm + F1 лm-1 + … + Fm (Fо?0)(11) Этот многочлен может быть записан и так: F(л) = лm Fо + лm-1 F1 + … + Fm (12) Обе записи при скалярном л дают один и тот же результат. Однако если вместо скалярного аргумента л подставить квадратную матрицу n-го порядка А, то результаты подстановки в (11) и (12) будут различны, так как степени матрицы А могут не быть перестановочными с матричными коэффициентами Fо, F1, …, Fm. F(А) = Fо Аm+ F1 Am-1 + … + Fm (13) ^F(А) = Аm Fо + Am-1 F1 + … + Fm(14) и будем называть F(А) правым, а ^F(А) - левым значением многочлена F(л) при подстановке вместо л матрицы А. Разделим многочлен F(л) на бином лЕ-А. В данном случае правый остаток R и левый остаток ^R не будут зависеть от л. Для определения правого остатка рассмотрим обычную схему деления: F(л) = Fо лm + F1 лm-1 + … + Fm = Fо лm-1(лЕ-А) + (Fо А + F1) лm-1 + F2 лm-2 + …= = (лЕ-А) + (Fо А2 + F1А1+ F2) лm-2 + F3 лm-3 + … = … … = (лЕ-А) + Fо Аm + F1Аm-1 + … + Fm Мы нашли, что R = Fо Аm+ F1Аm-1 + … + Fm = F(А).(15) Совершенно аналогично Из доказанной теоремы следует, что многочлен F(л) делится без остатка справа (слева) на бином лЕ-А тогда и только тогда, когда F(А)=0 (соответственно ^F(А)=0). Проверить, что А()=Q()В() + R(). А()= - 3 -2 2 +1 3 3 + = 1 2 3 + 0 1 2 + 1 0 + 0 0 1 3 -2 0 0 1 1 0 . 2 2 +3 - 2 +1 2 -1 2 + 3 1 В()= - 2 -1 2 +2 = -1 1 -1 2 , 1 1 3 5 2 +4 2 2 +13 |B o | = 1, B o -1 = 1 2 , А 0 B 0 -1 = 2 5 , А 0 B 0 -1 В() = - 2 +1 3 2 +12 , 3 + 2 3 + 2 3 +4 2 3 +13 -3 2 -13 А (1) ()= - 3 -2 2 +1 3 3 + - - 3 + 3 3 +12 = -2 2 -+1 -11 , 0 1 2 + -3 -13 + 0 0 А (1) ()= -2 0 -1 -11 1 0 , А 0 (1) В 0 -1 ()= -2 0 1 2 = -2 -2 , 1 2 2 2 +3 - 2 +1 = 1 2 +5 А 0 (1) В 0 -1 В()= -2 -2 - 2 -1 2 +1 -2 2 -4 -6 , R()= А (1) () - А 0 (1) В 0 -1 В()= 3 2 -13 - 1 2 +5 = -3-1 -13 -5 2 2 -+1 -11 -2 4 -4 -6 -+5 -11+6 , 3 5 + 1 2 3+1 5+2 Q() = А 0 В 0 -1 + А 0 (1) В 0 -1 = 2 5 -2 -2 = 2-2 5-2 1
1. Найти значение матричного многочлена: f(a) = A + 5A E f(x) = x + 5x, A = () 5 1 A = () () = () () = (() 0 ()) = () 5 () = () = () A = () = () A = 5 () = () E = (0 1 0) = (0 0) f(a) = A + 5A E = = () + () (0 0) = = () = (). Вычислить определитель, используя элементарные преобразования: 2
Получим нули в первом столбце определителя: = = = Разложим определитель по первому столбцу: 4 7 = = 1 (1) = Получим нули в первом столбце определителя третьего порядка: = = Запишем разложение определителя по третьему столбцу: = 1 (1) = () = = () = (160) = 160. Для основной матрицы системы уравнений найти обратную матрицу методом присоединенной матрицы: x 1 + x 4x = 0 { 4x 1 x + x = 9 x 1 x x = 8 Основная матрица системы: 1 4 A = (4) 1 1 Найдем обратную матрицу методом присоединенной матрицы. Допишем справа единичную матрицу: 3
() ~ делаем нули в 1 столбце ~ ~ () ~ делим строку на (15) ~ ~ () ~делаем нули во столбце ~ ~ ~ делим строку на (1) ~ 5 () ~ ~ делаем нули в столбце~ () ~ (1) Тогда: 1 A 1 = 1 (Проверка: 1 A 1 A = 1 () (4) =) 4
() 5 (1) 1 (4) (1) = () 6 5 (1) 11 (4) (1) = 1 (() 1 (1) 1 (4) + 1 (1)) = = (0 1 0) 5 1 () 4. Решить систему уравнений, используя правило Крамера: Запишем формулы Крамера: x 1 = 1, x =, x = x 1 + x 4x = 0 { 4x 1 x + x = 9 x 1 x x = 8 Здесь: - определитель системы; 1 определитель, полученный из определителя системы заменой первого столбца на столбец свободных членов; определитель, полученный из определителя системы заменой второго столбца на столбец свободных членов; определитель, полученный из определителя системы заменой третьего столбца на столбец свободных членов. В нашем случае имеем: 1 4 = 4 = = = 9 = = 5
1 0 4 = 4 9 = = = 4 9 = = Теперь найдем значения неизвестных: x 1 = 1 = = 1 x = = = x = = 0 15 = 5. Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров. Указать базисный минор: 1 () 8 Т.к. матрица содержит ненулевые элементы, то минимальный ранг матрицы равен 1. равен. Т.к. матрица состоит из трех строк, то максимальный ранг матрицы Определим ранг матрицы методом окаймляющих миноров: 1 A = (M 1 =) 8 Найдем минор первого порядка: Найдем минор второго порядка: M = 1 = = Найдем миноры третьего порядка: 6
1 M 1 = 5 4 = = M = 5 7 = = Значит ранг матрицы A равен. Базисный минор: 1 4 M = уравнений: виду: 6. Исследовать совместность и найти общее решение системы x 1 + x x + 5x 4 7x 5 = x { 1 + 5x 4x + 8x 4 11x 5 = x 1 x x 4 + x 5 = x 1 x + 7x x 4 + 5x 5 = Выпишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому 1 A = (~ (~ (r(a) = r(a) = } n =) ~ () ~ ~) (~) () система совместна и имеет бесконечное множество решений 0 1) ~ 7
{ 1 Базисный минор = Базисные неизвестные x 1, x, x. Свободные неизвестные x 4, x 5. Запишем укороченную систему: x 1 + x x + 5x 4 7x 5 = x 1 x x 4 5 x 5 = x 1 10 x x 5 = 1 15 Полагаем, что x 4 = C 4, x 5 = C 5. Тогда: x 1 + x x + 5C 4 7C 5 = { x 1 x C 4 5 C 5 = x 1 10 C C 5 = 1 15 x 1 + x x + 5C 4 7C 5 = x = + 1 (C C 5) 7 4 C C 5 { x = C C 5 x 1 = (C C 5) + (C C 5) 5C 4 + 7C 5 x = C C 5 { x = C C 5 { x 1 = C 4 5 C 5 x = C C 5 x = C C 5 Общее решение системы: 8
X = (C 4 5 C C C C C 5 C 4 C 5) 7. Даны векторы: Найти: a = (7; ; 1), b = (1; 5;), c = (1; 4; 0) а) скалярное произведение векторов a и b ; б) векторное произведение векторов a и b ; с) смешанное произведение векторов a, b и c. а) скалярное произведение векторов a и b ; В декартовой системе координат скалярное произведение векторов: a = {a x ; a y ; a z } и b = {b x ; b y ; b z } находим по формуле: (a, b) = a x b x + a y b y + a z b z В нашем случае: (a, b) = = = 5 б) векторное произведение векторов a и b ; В декартовой системе координат векторное произведение векторов: a = {a x ; a y ; a z } и b = {b x ; b y ; b z } определяется формулой: i j k = a x a y a z b x b y b z 9
В нашем случае: = i j k 7 1 = i 1 5 j k = 1 5 = i (9 5) j (1 1) + k (5) = 4i 0j + k = (4; 0;) с) смешанное произведение векторов a, b и c. Смешанное произведение трех векторов: a = {a x ; a y ; a z }, b = {b x ; b y ; b z } и c = {c x ; c y ; c z } в декартовой системе координат находим по формуле: a x a y a z (a, b, c) = b x c x b y c y b z c z В нашем случае: 7 1 (a, b, c) = 1 5 = = Дана пирамида с вершинами: Найти: A 1 (; 1;), A (1; ; 1), A (; ; 1), A 4 (4; ; 5) а) длину ребер A 1 A, A 1 A, A 1 A 4 ; б) косинус угла между ребрами A 1 A и A 1 A 4 ; в) площадь грани A 1 A A ; г) объем пирамиды; д) проекцию вектора A 1 4 на направление вектора A. 1 а) длину ребер A 1 A, A 1 A, A 1 A 4 ; Длины ребер A 1 A, A 1 A, A 1 A 4 равны модулям векторов A, 1 A, 1 A. 1 4 Модуль вектора a = {a x, a y, a z } вычисляется по формуле: 10
a = a x + a y + a z A 1 = {1 ; + 1; 1 } = { 1; ; } A 1 = { ; + 1; 1 } = {1; ; 1} A 1 4 = { 4 ; + 1; 5 } = { 6; ; } Подставляя в эту формулу исходные данные, получим: A 1 = (1) + + () = = 19 (ед.) A 1 = (1) = = 11 (ед.) A 1 4 = (6) + + = = 54 (ед.) б) косинус угла между ребрами A 1 A и A 1 A 4 ; Угол между ребрами будем искать, используя формулу скалярного произведения векторов: cosα = a b a b, a b = a x b x + a y b y + a z b z, a = a x + a y + a z В нашем случае: a = A 1 = { 1; ; } b = A 1 4 = { 6; ; } cosα = A 1A A 1 4 A 1 A 1 4 = ,18 = 1 (6) = = в) площадь грани A 1 A A ; Площадь грани A 1 A A найдем как половину площади параллелограмма, построенного на векторах A 1 и A. 1 A 1 = { 1; ; } A 1 = {1; ; 1} 11
S A1 A A = 1 A 1A A 1 A 1 A 1 = i j k 1 = i (+ 9) j (1 +) + k () = 1 1 = 6i 4j 6k = {6; 4; 6} S A1 A A = 1 A 1A A 1 = (4) + (6) = = = ,69 (кв. ед.) г) объем пирамиды; Объем пирамиды A 1 A A A 4 вычислим с помощью смешанного произведения трех векторов, на которых построена пирамида: V = 1 6 (A 1A A 1 A) 1 4 A 1 = { 1; ; } A 1 = {1; ; 1} A 1 4 = { 6; ; } 1 (A 1 A 1 A) 1 4 = 1 1 = = 66 6 V = = = 11 (куб. ед.) 6 6 д) проекцию вектора A 1 4 на направление вектора A. 1 пр A1 A 1 A 4 = A 1A 4 A 1 A 1 6 (1) + + () = 19 = = = Даны вершины треугольника: 12
точку A. Найти: A(;), B(4;), C(; 5) а) угол между медианой AD и высотой AH; б) уравнение прямой, параллельной стороне BC и проходящей через а) угол между медианой AD и высотой AH; Найдем уравнение медианы AD. Для определения уравнения медианы AD найдем координаты точки D, которая делит отрезок BC пополам: x D = x + x y D = y + y AD: = 4 = + 5 = = 1 = 7 Тогда координаты точки D (1; 7). Медиана AD проходит через точки A(;) и D (1; 7). x x 1 x E x 1 = y y 1 y E y 1 x = y x + 4 = y x + = 4y + 1 1x + 9 = 8y + 4 1x 8y + 15 = 0 Из уравнения медианы AD: 1x 8y + 15 = 0 k AD = 1 8 Найдем уравнение высоты AH. Для составления уравнения высоты AH, воспользуемся условием перпендикулярности прямых: l 1 l k 1 k = 1 Так как AH BC, то k AH k BC = 1 k AH = 1 Уравнение стороны BC найдем по формуле уравнения прямой, проходящей через две точки: k BC 13
BC: x x x x = y y y y x 4 4 = y 5 x 4 6 = y x 1 = 6y + 1 x + 6y 4 = 0 x + y 8 = 0 Из уравнения стороны BC: x + y 8 = 0 k BC = 1 Так как k BC = 1, то k AH = 1 = 1 Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку M 0 (x 0, y 0), имеет вид: y y 0 = k(x x 0) Тогда уравнение высоты AH с угловым коэффициентом k AH =, проходящей через точку A(;), имеет вид: y + = (x +) y + = x + 6 x y + = 0 формулу: Из уравнения высоты AH: x y + = 0 k AH = Для вычисления угла между медианой AD и высотой AH, используем tgα = k AH k AD = 1 + k AD k AH α = arctg(0,088) = = = 4 0,088 б) уравнение прямой, параллельной стороне BC и проходящей через точку A. Чтобы составить уравнение прямой AN, найдем угловой коэффициент этой прямой. Так как AN BC, то угловые коэффициенты этих прямых равны между собой, т.е. k AN = k BC. Из уравнения прямой BC: x + y 8 = 0 k BC = 1. Тогда k AN = 1. Составим уравнение прямой AN, зная угловой коэффициент k AN = 1 и 14
координаты точки A(;): y + = 1 (x +) y + 6 = x x + y + 9 = 0 Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим 1. Найдите произведение матриц ABC: Решение типового варианта: Так как произведение матриц не перестановочно, то найти данное произведение можно двумя способами: Для определенности воспользуемся вторым Задачи для отработки пропущенных занятий Оглавление Тема: Матрицы, действия над ними. Вычисление определителей.... 2 Тема: Обратная матрица. Решение систем уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c) () a () b () c ()) () a ( Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ - ЗАОЧНИКОВ МГУП Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302 Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Тема 1. Линейная алгебра Задача 1 Необходимо решить систему уравнений, представленную в задании в виде Постоянные параметры 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 2 Векторная алгебра 1. Даны три вектора a = {0; 1; 3}, b = {3; 2; 1}, c = {4; 0; 4}. Требуется найти: a) вектор d = 2 a b Глава Элементы линейной алгебры Матрицы О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, расставленных в m строк и n столбцов Обозначаются матрицы латинскими буквами, Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M () и () плоскости ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Ne Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в 04-0 уч году, Найдите вектор Ne (6 4 ; 6 8) и Ne ДЕМОвариант 0 (x ; y)(у которого Ne и x < 0) такой, чтобы система векторов (x ; y) образовывала бы ортогональный Билет. Матрицы, действия над ними.. Уравнение параболы в канонической системе координат. Билет. Свойства матричных операций.. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между ними, условия параллельности Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца, Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Л И Магазинников, А Л Магазинникова ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ 1. Даны матрицы: Образец решения 1 2 1 1 0 2 3 0 2 1 1 0 A, B 1 1 0 2 1 1 2 1 1 0 1 1 Найти матрицу и выяснить, имеет ли она обратную матрицу. Решение. Найдѐм матрицу Найдѐм транспонированную матрицу Найдѐм 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра М и ММЭ 2 Направление подготовки Бизнес-информатика Общий профиль 3 Дисциплина Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖД ЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВМ Смоленцев Линейная алгебра Пример решения варианта контрольной работы Задание Вычислить определитель Решение: при решении подобных задач используются следующие свойства определителя:) Если в определителе все элементы какой-либо Итоговый тест. Время выполнения минут. Расстояние между точками A (;) и B(;)),),),)7 Ответ:) равно Координаты середины отрезка, соединяющего точки A (;) и B (;)) (;);) (;),) (;),) (;) Ответ:) 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра Математики и математических методов в экономике 2 Направление подготовки 380301 Векторная алгебра. Контрольная работа Задача. Длина вектора a равна t см, длина вектора b равна t + см, а угол между ними t + a tb. 6. Найдите длину вектора () Решение. По условию, длина вектора a равна Образцы базовых задач по ЛА Метод Гаусса Определенные системы линейных уравнений Решите систему линейных уравнений методом Гаусса x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решите систему линейных уравнений методом Гаусса 6 С. А. Логвенков П. А. Мышкис В. С. Самовол Сборник задач по высшей математике Учебное пособие для студентов социально-управленческих специальностей Москва Издательство МЦНМО 24 УДК 52 (75.8) ББК 22.43 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения Кафедра Математики, физики и информационных технологий Направление подготовки Педагогическое 8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы, Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 () 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов 4. Ранг матрицы. В матрице А выделим k строк и столбцов из элементов, стоящих на их пересечении составим определитель. Будем называть его минором k-того порядка. Если минор k-того порядка отличен от нуля, Линейная алгебра. Основные формулы. Определитель -го порядка: det A a a a a a a a a. a a a Определитель -го порядка (правило Саррюса): det A a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a. Алгебраическое 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка k+, k+, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы называется Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x (x 1, x 2, x). Каждый такой набор x n будем называть Решения типовых задач Задача Доказать по определению предела числовой последовательности что n li n n Решение По определению число является пределом числовой последовательности n n n N если найдется натуральное Содержание Введение Линейная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения задач Задачи для самоподготовки Аналитическая геометрия и векторная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения Е В Морозова, С В Мягкова БАЗА ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ЧАСТЬ I ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3 Написать разложение вектора по векторам: Искомое разложение вектора имеет вид: Или в виде системы: Получаем: Ко второй строке прибавим третью: Вычтем из первой Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 1 Линейная алгебра Решить матричное уравнение ((3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 (1 0 = 3 2 3 Выполним вначале умножение матриц на Векторная алгебра Аналитическая геометрия Ищанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Задача Написать разложение вектора по векторам r 8 r Требуется представить вектор в виде r где числа Найдем их Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический Контрольная работа по дисциплине Высшая математика Вариант - Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости. По координатам вершин треугольника АВС: А(); В(-5); С(--) найти: а) 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. Ответ: Если в качестве базисных переменных выбрать Установить совместность и решить систему линейных уравнений 5xx x xx 5x 0 x4x x 0 а) по формулам Крамера, б) матричным способом, в) методом Гаусса Совместность Совместность системы можно установить: а) Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра высшей математики Т.А. Волкова СБОРНИК ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ Методические указания для подготовки дипломированных специалистов по направлению 654700 «Информационные ПРИМЕР 1. Вычислить произведения AB и BA(в обозначениях произведения точка иногда опускается) для следующих матриц: () 0 1 1 A =, B = 1 0. 3 0 1 РЕШЕНИЕ. Начнем с правила умножения размерностей. Так как МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Бийский технологический институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Алтайский государственный Xətti ər Rus) üui ithhn sullrı Показать, что вектора;;) ;;) ; ;) образуют базис вектора и написать линейную комбинацию вектора Если;;) на эти вектора найти Х из уравнения Показать, что вектора;) Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют ТЕМАТИКА КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» направление «Экология и природопользование» семестр. Разложить вектор X по векторам P, Q, R. Систему решить) методом Крамера,) матричным методом, Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ():, 4, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5, 6 4 4 4, 8, 9, 4 4 5 Контрольный Министерство образования и науки РФ еверный (рктический) федеральный университет им МЛомоносова Кафедра математики Примерные задания к экзамену по математике (часть) для студентов 9 группы ИЭИТ направление Министерство сельского озяйства РФ А Н Манилов Линейная алгебра Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников направления «Экономика» Санкт Петербург Введение Настоящие указания предназначены
Транскрипт