Лекции кратные интегралы, двойной интеграл. Двойные интегралы для чайников

Понятие двойного интеграла

Двойной интеграл (ДИ) является обобщением определенного интеграла (ОИ) функции одной переменной на случай функции двух переменных.

Пусть непрерывная неотрицательная функция $z=f\left(x,y\right)$ задана в замкнутой области $D$, расположенной в координатной плоскости $xOy$. Функция $z=f\left(x,y\right)$ описывает некоторую поверхность, которая проецируется в область $D$. Область $D$ ограничена замкнутой линией $L$, граничные точки которой также принадлежат области $D$. Предполагаем, что линия $L$ образована конечным числом непрерывных кривых, заданных уравнениями вида $y=\vartheta \left(x\right)$ или $x=\psi \left(y\right)$.

Разобьем область $D$ на $n$ произвольных участков площадью $\Delta S_{i} $. В каждом из участков выберем по одной произвольной точке $P_{i} \left(\xi _{i} ,\eta _{i} \right)$. В каждой из этих точек вычислим значение заданной функции $f\left(\xi _{i} ,\eta _{i} \right)$. Рассмотрим объем под той частью поверхности $z=f\left(x,y\right)$, которая проецируется в участок $\Delta S_{i} $. Геометрически этот объем можно приближенно представить как объем цилиндра с основанием $\Delta S_{i} $ и высотой $f\left(\xi _{i} , \eta _{ii} \right)$, то есть равным произведению $f\left(\xi _{i} ,\eta _{i} \right)\cdot \Delta S_{i} $. Тогда объем под всей поверхностью $z=f\left(x,y\right)$ в пределах области $D$ можно приближенно вычислить как сумму объемов всех цилиндров $\sigma =\sum \limits _{i=1}^{n}f\left(\xi _{i} ,\eta _{i} \right)\cdot \Delta S_{i} $. Эта сумма называется интегральной суммой для функции $f\left(x,y\right)$ в области $D$.

Назовем диаметром $d_{i} \left(\Delta S_{i} \right)$ участка $\Delta S_{i} $ самое большое расстояние между крайними точками этого участка. Обозначим $\lambda $ самый большой из диаметров всех участков из области $D$. Пусть $\lambda \to 0$ за счет неограниченного $n\to \infty $ измельчения разбивки области $D$.

Определение

Если существует предел интегральной суммы $I=\mathop{\lim }\limits_{\lambda \to 0} \sigma $, то это число называют ДИ от функции $f\left(x,y\right)$ по области $D$ и обозначают $I=\iint \limits _{D}f\left(x,y\right)\cdot dS $ или $I=\iint \limits _{D}f\left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy $.

При этом область $D$ называется областью интегрирования, $x$ и $y$ -- переменными интегрирования, а $dS=dx\cdot dy$ -- элементом площади.

Из определения следует геометрический смысл ДИ: он дает точное значение объема некоторого криволинейного цилиндра.

Применение двойных интегралов

Объем тела

В соответствии с геометрическим смыслом ДИ, объем $V$ некоторого тела, ограниченного сверху поверхностью $z=f\left(x,y\right)\ge 0$, снизу областью $D$ на плоскости $xOy$, по бокам цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси $Oz$, а направляющей является контур области $D$ (линия $L$), вычисляется по формуле $V=\iint \limits _{D}f\left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy $.

Пусть тело ограничивает сверху поверхность $z=f_{2} \left(x,y\right)$, а снизу -- поверхность $z=f_{1} \left(x,y\right)$, причем $f_{2} \left(x,y\right)\ge f_{1} \left(x,y\right)$. Проекцией обеих поверхностей на плоскость $xOy$ является одна и та же область $D$. Тогда объем такого тела вычисляют по формуле $V=\iint \limits _{D}\left(f_{2} \left(x,y\right)-f_{1} \left(x,y\right)\right)\cdot dx\cdot dy $.

Предположим, что в области $D$ функция $f\left(x,y\right)$ меняет знак. Тогда для вычисления объема соответствующего тела область $D$ надо разбить на две части: часть $D_{1} $, где $f\left(x,y\right)\ge 0$, и часть $D_{2} $, где $f\left(x,y\right)\le 0$. При этом интеграл по области $D_{1} $ будет положительным и равным объему той части тела, которая лежит выше плоскости $xOy$. Интеграл по области $D_{2} $ будет отрицательным и по абсолютной величине равным объему той части тела, которая лежит ниже плоскости $xOy$.

Площадь плоской фигуры

Если везде в области $D$ на координатной плоскости $xOy$ положить $f\left(x,y\right)\equiv 1$, то ДИ численно равен площади области интегрирования $D$, то есть $S=\iint \limits _{D}dx\cdot dy $. В полярной системе координат эта же формула приобретает вид $S=\iint \limits _{D^{*} }\rho \cdot d\rho \cdot d\phi $.

Площадь произвольной поверхности

Пусть некоторая поверхность $Q$, заданная уравнением $z=f_{1} \left(x,y\right)$, проецируется на координатную плоскость $xOy$ в область $D_{1} $. В этом случае площадь поверхности $Q$ можно вычислить по формуле $S=\iint \limits _{D_{1} }\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x} \right)^{2} +\left(\frac{\partial z}{\partial y} \right)^{2} } \cdot dx\cdot dy $.

Количество вещества

Предположим, что в области $D$ на плоскости $xOy$ распределено некоторое вещество с поверхностной плотностью $\rho \left(x,y\right)$. Это значит, что поверхностная плотность $\rho \left(x,y\right)$ представляет собой массу вещества, приходящуюся на элементарную площадку $dx\cdot dy$ области $D$. При этих условиях общую массу вещества можно вычислить по формуле $M=\iint \limits _{D}\rho \left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy $.

Заметим, что в качестве "вещества" может выступать электрический заряд, тепло и т.п.

Координаты центра массы плоской фигуры

Формулы для вычисления значений координат центра массы плоской фигуры таковы:$ $$x_{c} =\frac{\iint \limits _{D}x\cdot \rho \left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy }{M} $, $y_{c} =\frac{\iint \limits _{D}y\cdot \rho \left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy }{M} $.

Величины в числителях называются статическими моментами $M_{y} $ и $M_{x} $ плоской фигуры $D$ относительно осей $Oy$ и $Ox$ соответственно.

Если плоская фигура однородна, то есть $\rho =const$, то эти формулы упрощаются и выражаются уже не через массу, а через площадь плоской фигуры $S$: $x_{c} =\frac{\iint \limits _{D}x\cdot dx\cdot dy }{S} $, $y_{c} =\frac{\iint \limits _{D}y\cdot dx\cdot dy }{S} $.

Моменты инерции площади плоской фигуры

Рассмотрим на плоскости $xOy$ материальную плоскую фигуру. Представим ее как некоторую область $D$, по которой распределено вещество общей массой $M$ с переменной поверхностной плотностью $\rho \left(x,y\right)$.

Значение момента инерции площади плоской фигуры относительно оси $Oy$: $I_{y} \; =\; \iint \limits _{D}x^{2} \cdot \; \rho (x,\; y)\; \cdot dx\; \cdot dy $. Значение момент инерции относительно оси $Ox$: $I_{x} \; =\; \iint \limits _{D}y^{2} \cdot \; \rho (x,\; y)\cdot \; dx\; \cdot dy $. Момент инерции плоской фигуры относительно начала координат равен сумме моментов инерции относительно осей координат, то есть $I_{O} =I_{x} +I_{y} $.

Тройные интегралы вводятся для функций трех переменных.

Предположим, что задана некоторая область $V$ трехмерного пространства, ограниченная замкнутой поверхностью $S$. Считаем, что точки, которые лежат на поверхности, также принадлежат области $V$. Предположим, что в области $V$ задана некоторая непрерывная функция $f\left(x,y,z\right)$. Например, такой функцией при условии $f\left(x,y,z\right)\ge 0$ может быть объемная плотность распределения некоторого вещества, распределение температуры и т.п.

Разобьем область $V$ на $n$ произвольных частей, объемы которых $\Delta V_{i} $. В каждой из частей выберем по одной произвольной точке $P_{i} \left(\xi _{i} ,\eta _{i} ,\varsigma _{i} \right)$. В каждой из этих точек вычислим значение заданной функции $f\left(\xi _{i} ,\eta _{i} ,\varsigma _{i} \right)$.

Образуем интегральную сумму $\sum \limits _{i=1}^{n}f\left(\xi _{i} ,\eta _{i} ,\varsigma _{i} \right)\cdot \Delta V_{i} $ и будем неограниченно измельчать $\left(n\to \infty \right)$ разбивку области $V$ так, чтобы самый большой из диаметров $\lambda $ всех частей $\Delta V_{i} $ неограниченно уменьшался $\left(\lambda \to 0\right)$.

Определение

При перечисленных условиях предел $I$ этой интегральной суммы существует, называется тройным интегралом от функции $f\left(x,y,z\right)$ по области $V$ и обозначается $I\; =\; \iiint \limits _{V}f\left(x,y,z\right)\; \cdot dV $ или $I\; =\; \iiint \limits _{V}f\left(x,y,z\right)\cdot \; dx\cdot \; dy\; \cdot dz $.

Скачать с Depositfiles

Лекции 5-6

Тема2. Кратные интегралы.

Двойной интеграл.

Контрольные вопросы.

1. Двойной интеграл, его геометрический и физический смысл

2. Свойства двойного интеграла.

3. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.

4. Замена переменных в двойном интеграле. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.

Пусть функция z = f (x , y ) определена в ограниченной замкнутой области D плоскости. Разобьём область D произвольным образом на n элементарных замкнутых областей  1 , … , n , имеющих площади   1 , …,   n и диаметры d 1 , …, d n соответственно. Обозначим d наибольший из диаметров областей  1 , … ,  n . В каждой области  k выберем произвольную точку P k (x k ,y k ) и составим интегральную сумму функции f (x,y )

S =
(1)

Определение. Двойным интегралом функции f (x,y ) по области D называется предел интегральной суммы

, (2)

если он существует.

Замечание. Интегральная сумма S зависит от способа разбиения области D и выбора точек P k (k =1, …, n ). Однако, предел
, если он существует, не зависит от способа разбиения области D и выбора точек P k .

Достаточное условие существования двойного интеграла. Двойной интеграл (1) существует, если функция f (x,y ) непрерывна в D за исключением конечного числа кусочно-гладких кривых и ограничена в D . В дальнейшем будем считать, что все рассматриваемые двойные интегралы существуют.

Геометрический смысл двойного интеграла.

Если f (x,y ) ≥0 в области D , то двойной интеграл (1) равен объему «цилиндрического” тела, изображенного на рисунке:

V =
(3)

Цилиндрическое тело ограничено снизу областью D , сверху  частью поверхности z = f (x , y ), с боков  вертикальными отрезками прямых, соединяющих границы этой поверхности и области D.

Физический смысл двойного интеграла. Масса плоской пластины.

Пусть задана плоская пластина D с известной функцией плотности γ(х, у ), тогда разбивая пластину D на части D i и выбирая произвольные точки
, получим для массы пластины
, или, сравнивая с формулой (2):

(4)

4. Некоторые свойства двойного интеграла.

Линейность. Если С – числовая константа, то

Аддитивность. Если область D « разбита” на области D 1 и D 2 , то

3) Площадь ограниченной области D равна

(5)

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.

Пусть задана область

Рисунок 1

D = { (x , y ): a ≤ x ≤ b , φ 1 (x ) ≤ y≤ φ 2 (x ) } (6)

Область D заключена в полосе между прямыми x = a , y = b , снизу и сверху ограничена соответственно кривыми y = φ 1 (x ) и y = φ 2 (x ) .

Двойной интеграл (1) по области D (4) вычисляется переходом к повторному интегралу:

(7)

Этот повторный интеграл вычисляется следующим образом. Сначала вычисляется внутреннийинтеграл

по переменной y , п ри этомx считаетсяпостоянной. В результате получится функция от переменной x , а затем вычисляется « внешний” интеграл от этой функции по переменной x .

Замечание. Процесс перехода к повторному интегралу по формуле (7) часто называют расстановкой пределов интегрирования в двойном интеграле. При расстановке пределов интегрирования нужно помнить два момента. Во-первых, нижний предел интегрирования не должен превышать верхнего, во-вторых, пределы внешнего интеграла должны быть константами, а внутреннего должны в общем случае зависеть от переменной интегрирования внешнего интеграла.

Пусть теперь область D имеет вид

D = { (x , y ) : c ≤ y ≤ d , ψ 1 (y ) ≤ x ≤ ψ 2 (y ) } . (8)

Тогда

. (9)

Предположим, что область D можно представить в виде (6) и (8) одновременно. Тогда имеет место равенство

(10)

Переход од одного повторного интеграла к другому в равенстве (10) называется изменением порядка интегрирования в двойном интеграле.

Примеры.

1) Изменить порядок интегрирования в интеграле

Решение. По виду повторного интеграла находим область

D = { (x , y ): 0 ≤ x ≤ 1, 2 x ≤ y≤ 2 } .

Изобразим область D . По рисунку видим, что эта область расположена в горизонтальной полосе между прямыми y =0, y =2 и между линиями x =0 и x = D

Иногда для упрощения вычислений делают замену переменных:

,
(11)

Если функции (11) непрерывно дифференцируемы и определитель (Якобиан) отличен от нуля в рассматриваемой области:

(12)

Двойные интегралы для чайников

Данный урок открывает обширную тему кратных интегралов, с которыми студенты обычно сталкиваются на втором курсе. Двойными и тройными интегралами можно запугать обывателя не хуже, чем дифференциальными уравнениями , поэтому сразу же разберёмся с вопросом: сложно или нет? Конечно, некоторым будет сложно, и, если честно, я немного слукавил с названием статьи – для того, чтобы научиться решать двойные интегралы, необходимо обладать некоторыми навыками. Во-первых, если речь идёт об интегралах, то, очевидно, придётся интегрировать. Логично. Следовательно, для освоения примеров нужно уметь находить неопределённые интегралы и вычислять определённые интегралы хотя бы на среднем уровне. Хорошая новость состоит в том, что сами по себе интегралы в большинстве случаев достаточно просты.

Кому придётся туговато? Понятное дело. Тем, кто много пил пиво в течение первых семестров. Однако нормальных студентов тоже обнадёжу – на сайте есть все материалы, чтобы восполнить пробелы или недопонимание. Просто вам придётся потратить больше времени. Ссылки на темы, которые следует изучить или повторить, будут прилагаться по ходу статьи.

На вводном уроке поэтапно и подробно будут разобраны следующие базовые моменты:

– Понятие двойного интеграла

– Область интегрирования. Порядок обхода области интегрирования. Как изменить порядок обхода?

После того, как вы ХОРОШО поймёте все азы, можно будет перейти к статье Как вычислить двойной интеграл? Примеры решений . Кроме того, существует распространенная задача о вычислении двойного интеграла в полярных координатах и типовое приложение о нахождении центра тяжести плоской ограниченной фигуры .

Начнём с насущного вопроса – что это такое?

Понятие двойного интеграла

Двойной интеграл в общем виде записывается следующим образом:

Разбираемся в терминах и обозначениях:
– значок двойного интеграла;
– область интегрирования (плоская фигура);
– подынтегральная функция двух переменных , часто она довольно простая;
– значки дифференциалов.

Что значит вычислить двойной интеграл?

Вычислить двойной интеграл – это значит найти ЧИСЛО . Самое обычное число:

И крайне желательно найти его правильно =)

Результат (число ) может быть отрицательным. И ноль тоже запросто может получиться. Специально остановился на данном моменте, поскольку немало студентов испытывают беспокойство, когда ответ получается «шото вроде как странный».

Многие помнят, что «обычный» определённый интеграл – тоже число. Здесь всё так же. У двойного интеграла существует и отличный геометрический смысл, но об этом позже, всему своё время.

Как вычислить двойной интеграл?

Для того чтобы вычислить двойной интеграл, его необходимо свести к так называемым повторным интегралам . Сделать это можно двумя способами . Наиболее распространён следующий способ:

Вместо знаков вопроса необходимо расставить пределы интегрирования. Причём одиночные знаки вопроса у внешнего интеграла – это числа , а двойные знаки вопроса у внутреннего интеграла – это функции одной переменной , зависящие от «икс».

Откуда взять пределы интегрирования? Они зависят от того, какая в условии задачи дана область . Область представляет собой обычную плоскую фигуру, с которой вы неоднократно сталкивались, например, при вычислении площади плоской фигуры или вычислении объема тела вращения . Очень скоро вы узнаете, как правильно расставлять пределы интегрирования.

После того, как переход к повторным интегралам осуществлён, следуют непосредственно вычисления: сначала берётся внутренний интеграл , а потом – внешний. Друг за другом. Отсюда и название – повторные интегралы.

Грубо говоря, задача сводится к вычислению двух определённых интегралов. Как видите всё не так сложно и страшно, и если вы совладали с «обыкновенным» определённым интегралом, что мешает разобраться с двумя интегралами?!

Второй способ перехода к повторным интегралам встречается несколько реже:

Что поменялось? Поменялся порядок интегрирования: теперь внутренний интеграл берётся по «икс», а внешний – по «игрек». Пределы интегрирования, обозначенные звёздочками – будут другими! Одиночные звёздочки внешнего интеграла – это числа , а двойные звёздочки внутреннего интеграла – это обратные функции , зависящие от «игрек».

Какой бы мы ни выбрали способ перехода к повторным интегралам, окончательный ответ обязательно получится один и тот же :

Пожалуйста, запомните это важное свойство , которое можно использовать, в том числе, для проверки решения.

Алгоритм решения двойного интеграла:

Систематизируем информацию: в каком порядке нужно решать рассматриваемую задачу?

1) Необходимо выполнить чертёж. Без чертежа задачу не решить . Точнее, решать-то она решается, но это будет похоже на игру в шахматы вслепую. На чертеже следует изобразить область , которая представляет собой плоскую фигуру. Чаще всего фигура незамысловата и ограничена какими-нибудь прямыми , параболами , гиперболами и т.д. Грамотную и быструю технику построения чертежей можно освоить на уроках Графики и основные свойства элементарных функций , Геометрические преобразования графиков . Итак, этап первый – выполнить чертёж.

2) Расставить пределы интегрирования и перейти к повторным интегралам.

3) Взять внутренний интеграл

4) Взять внешний интеграл и получить ответ (число).

Область интегрирования. Порядок обхода области интегрирования.
Как изменить порядок обхода?

В данном параграфе мы рассмотрим важнейший вопрос – как перейти к повторным интегралам и правильно расставить пределы интегрирования. Как было сказано выше, сделать это можно так:

И так:

На практике эта вроде бы несложная задача вызывает наибольшие затруднения, и студенты часто путаются в расстановке пределов интегрирования. Рассмотрим конкретный пример:

Пример 1

Дан двойной интеграл с областью интегрирования . Перейти к повторным интегралам и расставить пределы интегрирования двумя способами.

Решение: Изобразим область интегрирования на чертеже:

Обычная плоская фигура и ничего особенного.

Теперь я выдам каждому из вас орудие труда – палку-копалку лазерную указку. Задача состоит в том, чтобы просканировать лучом лазера каждую точку заштрихованной области:

Луч лазера проходит область интегрирования строго снизу вверх , то есть указку вы ВСЕГДА держите ниже плоской фигуры. Луч входит в область через ось абсцисс, которая задаётся уравнением и выходит из области через параболу (красная стрелка). Чтобы просветить всю область, вам нужно строго слева направо провести указкой вдоль оси от 0 до 1 (зелёная стрелка).

Итак, что получилось:
«игрек» изменяется от 0 до ;
«икс» изменяется от 0 до 1.

В задачах вышесказанное записывают в виде неравенств:

Данные неравенства называют порядком обхода области интегрирования или просто порядком интегрирования

После того, как мы разобрались с порядком обхода, можно перейти от двойного интеграла к повторным интегралам:

Половина задачи решена. Теперь необходимо перейти к повторным интегралам вторым способом. Для этого следует найти обратные функции. Кто ознакомился со вторым параграфом урока Объем тела вращения , тому будет легче. Смотрим на функции, которыми задается область . Если совсем просто, то перейти к обратным функциям, это значит – выразить «иксы» через «игреки». Единственной функцией, где есть и «икс» и «игрек» , является .

Если , то , причём:
обратная функция задает правую ветку параболы;
обратная функция задает левую ветку параболы.

Нередко возникают сомнения, вот, к примеру, функция определяет левую или правую ветвь параболы? Сомнения развеять очень просто: возьмите какую-нибудь точку параболы, например, (с правой ветви) и подставьте её координаты в любое уравнение, например, в то же уравнение :

Получено верное равенство, значит, функция определяет именно правую ветвь параболы, а не левую.

Более того, данную проверку (мысленно или на черновике) желательно проводить всегда , после того, как вы перешли к обратным функциям. Времени займет всего ничего, а от ошибки убережёт наверняка!

Обходим область интегрирования вторым способом:

Теперь лазерную указку держим слева от области интегрирования. Луч лазера проходит область строго слева направо . В данном случае он входит в область через ветвь параболы и выходит из области через прямую, которая задана уравнением (красная стрелка). Чтобы просканировать лазером всю область, нужно провести указкой вдоль оси строго снизу вверх от 0 до 1 (зеленая стрелка).

Таким образом:
«икс» изменяется от до 1;
«игрек» изменяется от 0 до 1.

Порядок обхода области следует записать в виде неравенств:

И, следовательно, переход к повторным интегралам таков:

Ответ можно записать следующим образом:

Еще раз напоминаю, что окончательный результат вычислений не зависит от того, какой порядок обхода области мы выбрали (поэтому поставлен знак равенства). Но, до конечного результата ещё далеко, сейчас наша задача – лишь правильно расставить пределы интегрирования.

Пример 2

Это пример для самостоятельного решения. Грамотно постройте чертёж и строго соблюдайте направления обхода (откуда и куда светить лазерной указкой). Примерный образец чистового оформления в конце урока.

Чаще всего типовое задание встречается немного в другой формулировке:

Пример 3

Построить область интегрирования и

Решение: По условию дан первый способ обхода области. Решение опять начинается с чертежа. Здесь область не лежит на блюдечке с голубой каёмочкой, но построить её не составляет особого труда. Сначала «снимаем» функции с пределов интегрирования: , . Функция , понятно, задаёт прямую , но что задаёт функция ? Давайте её немного преобразуем:
– окружность с центром в начале координат радиуса 2. Функция же задаёт верхнюю полуокружность (не забываем, что если есть сомнения, то всегда можно подставить точку лежащую на верхней или нижней полуокружности).

Смотрим на пределы внешнего интеграла: «икс» изменяется от –2 до 0.

Выполним чертёж:

Для наглядности я указал стрелками первый способ обхода области, который соответствует повторным интегралам условия: .

Теперь нужно изменить порядок обхода области, для этого перейдем к обратным функциям (выразим «иксы» через «игреки»):

Недавно мы преобразовали функцию к уравнению окружности , далее выражаем «икс»:
В результате получаем две обратные функции:
– определяет правую полуокружность;
– определяет левую полуокружность.
Опять же, если возникают сомнения, возьмите любую точку окружности и выясните, где лево, а где право.

Изменим порядок обхода области:

Согласно второму способу обхода, лазерный луч входит в область слева через левую полуокружность и выходит справа через прямую (красная стрелка). В то же время лазерная указка проводится вдоль оси ординат снизу вверх от 0 до 2 (зелёная стрелка).

Таким образом, порядок обхода области:

В общем-то, можно записать ответ:

Пример 4

Это пример для самостоятельного решения. Пример не очень сложный, но обратите внимание, что порядок обхода изначально задан вторым способом! Что делать в подобных случаях? Во-первых, возникает трудность с чертежом, поскольку чертить график обратной функции наподобие непривычно даже мне самому. Я рекомендую следующий порядок действий: сначала из получаем «обычную» функцию (выражаем «игрек» через «икс»). Далее строим график этой «обычной» функции (всегда можно построить хотя бы поточечно). Аналогично поступаем с более простой линейной функцией: из выражаем «игрек» и проводим прямую.

Анализируем исходные пределы интегрирования: входим слева в область через и выходим через . При этом все дела происходят в «игрековой» полосе от –1 до 0. После того, как вы определили на чертеже область интегрирования, сменить порядок обхода не составит особого труда. Примерный образец оформления решения в конце урока.

Похожий пример я еще разберу подробнее чуть позже.

Даже если вы всё отлично поняли, пожалуйста, не торопитесь переходить непосредственно к вычислениям двойного интеграла . Порядок обхода – вещь коварная, и очень важно немного набить руку на данной задаче, тем более, я еще не всё рассмотрел!

В предыдущих четырёх примерах область интегрирования находилась целиком в 1-й, 2-й, 3-й и 4-й координатных четвертях. Всегда ли это так? Нет, естественно.

Пример 5

Изменить порядок интегрирования

Решение: Выполним чертёж, при этом, график функции фактически представляет собой кубическую параболу, просто она «лежит на боку»:

Порядок обхода области, который соответствует повторным интегралам , обозначен стрелками. Обратите внимание, что в ходе выполнения чертежа прорисовалась еще одна ограниченная фигура (левее оси ординат). Поэтому следует быть внимательным при определении области интегрирования – за область можно ошибочно принять не ту фигуру.

Перейдем к обратным функциям:
– нужная нам правая ветвь параболы;

Изменим порядок обхода области. Как вы помните, при втором способе обхода, область нужно сканировать лазерным лучом слева направо. Но тут наблюдается интересная вещь:

Как поступать в подобных случаях? В таких случаях следует разделить область интегрирования на две части и для каждой из частей составить свои повторные интегралы:

1) Если «игрек» изменяется от –1 до 0 (зеленая стрелка), то луч входит в область через кубическую параболу и выходит через прямую (красная стрелка). Поэтому порядок обхода области будет следующим:

2) Если «игрек» изменяется от 0 до 1 (коричневая стрелка), то луч входит в область через ветвь параболы и выходит через ту же прямую (малиновая стрелка). Следовательно, порядок обхода области будет следующим:

И соответствующие повторные интегралы:

У определенных и кратных интегралов есть весьма удобное свойство аддитивности , то есть, их можно сложить, что в данном случае и следует сделать:
– а вот и наш обход области вторым способом в виде суммы двух интегралов.

Ответ записываем так:

Какой порядок обхода выгоднее? Конечно тот, который был дан в условии задачи – вычислений будет в два раза меньше!

Пример 6

Изменить порядок интегрирования

Это пример для самостоятельного решения. В нём присутствуют полуокружности, разборки с которыми были подробно рассмотрены в Примере 3. Примерный образец оформления решения в конце урока.

А сейчас обещанная задача, когда изначально задан второй способ обхода области:

Пример 7

Изменить порядок интегрирования

Решение: Когда порядок обхода задан вторым способом, то перед построением чертежа целесообразно перейти к «обычным» функциям. В данном примере присутствуют два пациента для преобразования: и .
С линейной функцией всё просто:

График функции представляется собой параболу с претензией на каноничность.

Выразим «игрек» через «икс»:

Получаем две ветви параболы: и . Какую из них выбрать? Проще всего сразу выполнить чертёж. И даже если вы крепко позабыли материал аналитической геометрии о параболе , то всё равно обе ветви можно построить поточечно:

Еще раз обращаю внимание на тот факт, что на данном чертеже получилось несколько плоских фигур, и очень важно выбрать нужную фигуру! В выборе искомой фигуры как раз помогут пределы интегрирования исходных интегралов:
, при этом не забывайте, что обратная функция задаёт всю параболу.

Стрелочки, которыми обозначен обход фигуры, в точности соответствуют пределам интегрирования интегралов .

Довольно быстро вы научитесь проводить такой анализ мысленно и находить нужную область интегрирования.

Когда фигура найдена, заключительная часть решения, в общем-то, очень проста, меняем порядок обхода области:

Обратные функции уже найдены, и требуемый порядок обхода области:

Ответ:

Заключительный пример параграфа для самостоятельного решения:

Пример 8

Изменить порядок интегрирования

Полное решение и ответ в конце урока.

Начинаем рассматривать собственно процесс вычисления двойного интеграла и знакомиться с его геометрическим смыслом.

Двойной интеграл численно равен площади плоской фигуры (области интегрирования). Это простейший вид двойного интеграла, когда функция двух переменных равна единице: .

Сначала рассмотрим задачу в общем виде. Сейчас вы немало удивитесь, насколько всё действительно просто! Вычислим площадь плоской фигуры , ограниченной линиями . Для определённости считаем, что на отрезке . Площадь данной фигуры численно равна:

Изобразим область на чертеже:

Выберем первый способ обхода области:

Таким образом:

И сразу важный технический приём: повторные интегралы можно считать по отдельности . Сначала внутренний интеграл, затем – внешний интеграл. Данный способ настоятельно рекомендую начинающим в теме чайникам.

1) Вычислим внутренний интеграл, при этом интегрирование проводится по переменной «игрек»:

Неопределённый интеграл тут простейший, и далее используется банальная формула Ньютона-Лейбница, с той лишь разницей, что пределами интегрирования являются не числа, а функции . Сначала подставили в «игрек» (первообразную функцию) верхний предел, затем – нижний предел

2) Результат, полученный в первом пункте необходимо подставить во внешний интеграл:

Более компактная запись всего решения выглядит так:

Полученная формула – это в точности рабочая формула для вычисления площади плоской фигуры с помощью «обычного» определённого интеграла! Смотрите урок Вычисление площади с помощью определенного интеграла , там она на каждом шагу!

То есть, задача вычисления площади с помощью двойного интеграла мало чем отличается от задачи нахождения площади с помощью определённого интеграла ! Фактически это одно и тоже!

Соответственно, никаких трудностей возникнуть не должно! Я рассмотрю не очень много примеров, так как вы, по сути, неоднократно сталкивались с данной задачей.

Пример 9

С помощью двойного интеграла, вычислить площадь плоской фигуры , ограниченной линиями ,

Решение: Изобразим область на чертеже:

Площадь фигуры вычислим с помощью двойного интеграла по формуле:

Выберем следующий порядок обхода области:

Здесь и далее я не буду останавливаться на том, как выполнять обход области, поскольку в первом параграфе были приведены очень подробные разъяснения.

Таким образом:

Как я уже отмечал, начинающим лучше вычислять повторные интегралы по отдельности, этого же метода буду придерживаться и я:

1) Сначала с помощью формулы Ньютона-Лейбница разбираемся с внутренним интегралом:

2) Результат, полученный на первом шаге, подставляем во внешний интеграл:

Пункт 2 – фактически нахождение площади плоской фигуры с помощью определённого интеграла.

Ответ:

Вот такая вот глупая и наивная задача.

Любопытный пример для самостоятельного решения:

Пример 10

С помощью двойного интеграла, вычислить площадь плоской фигуры , ограниченной линиями , ,

Примерный образец чистового оформления решения в конце урока.

В Примерах 9-10 значительно выгоднее использовать первый способ обхода области, любознательные читатели, кстати, могут изменить порядок обхода и вычислить площади вторым способом. Если не допустите ошибку, то, естественно, получатся те же самые значения площадей.

Жордана и - разбиение множества Е, т. е. такая система измеримых по Жордану множеств E i , что Величину

где d(E i ) - диаметр множества Е i , наз. мелкостью разбиения Если определена на множестве Е, то всякую сумму вида

наз. интегральной суммой Римана функции f. Если для функции f существует независящий от разбиения, то этот наз. n-к ратным интегралом Римана и обозначают

Саму функцию fназ. в этом случае интегрируемой по Риману, короче - R-интегрируемой.

В случае n=1 в качестве множества Е, по к-рому производится , обычно берется , а в качестве его разбиений t рассматриваются разбиения, состоящие также только из отрезков (см. Римана интеграл ). Таким образом, в этом случае как множество, по к-рому производится интегрирование, так и элементы разбиения представляют собой измеримые по Жордану множества весьма специального вида --отрезки. Поэтому не все свойства R-интегрируемых на отрезке функций справедливы для функций Д-интегрируемых на произвольных измеримых по Жордану множествах. Напр., из того, что любая функция, определенная на множестве жордановой меры , Д-интегрируема на нем, следует, что Д-интегрируемые функции могут быть неограниченными, это невозможно для Д-интегрируемых функций на отрезках. Чтобы из Д-интегрируемости функции на нек-ром множестве следовала ограниченность функции, на рассматриваемое множество налагают дополнительные условия, напр, чтобы у него существовали сколь угодно мелкие разбиения, все элементы к-рых имеют положительную меру Жордана. К таким множествам относятся все измеримые по Жордану открытые множества и их замыкания, в частности измеримые по Жордану области и их замыкания. Имеь-но для таких множеств большей частью и используется кратный интеграл Римана.

В случае n=2 (n=3) К. и. наз. двойным (т р о й н ы м). Поскольку кратный интеграл Римана можно брать только по множествам, измеримым по Жордану (в случае n=2 они наз. также квадрируемыми, а при n=3 - кубируемыми множествами), то двойной (тройной) интеграл Римана рассматривают только на множествах (обычно областях или их замыканиях), границы к-рых имеют площади (объемы) в смысле Жордана, равные нулю.

Интеграл Римана от ограниченных функций n переменных обладает обычными свойствами интеграла (линейность, относительно множеств, по к-рым производится интегрирование, сохранение при интегрировании нестрогих неравенств, интегрируемость произведения интегрируемых функций и т. п.).

Кратный интеграл Римана может быть сведен к повторному интегралу. Пусть

Е- измеримое в R n по Жордану множество, = - сечение множества Е(n-m)-мерной гиперплоскостью - проекция Ена причем измеримы соответственно в смысле (n-m)-мерной и m-мер-ной меры Жордана. Тогда, если функция f Д-интегрируема на множестве Еи для всех существуют (n-m)-кратные интегралы от ее сужения на множестве то существует

где внешний интеграл является m-кратным интегралом Римана, и

Для случая n=3 отсюда следуют формулы: 1) Если - проекция Eна а функции таковы, что множество Еограничено в направлении оси z их графиками, т. е.

2) Пусть проекцией множества Ена ось Ох является отрезок - сечение множества Еплоскостью, параллельной плоскости и проходящей через точку х, тогда

В случае, когда Gявляется измеримой по Жордану областью в пространстве - взаимно однозначное G на измеримую Г пространства причем непрерывно дифференцируемо на замыкании области G, для интегрируемой на = функции f (х).справедлива замены переменного в интеграле

где J(t) - отображения j.

Геометрический смысл кратного интеграла Римана от функции ппеременных связан с понятием ( п+ 1)-мерной меры Жордана если функция f (х).интегрируема на множестве на Еи

Кратным интегралом Лебега наз, Лебега интеграл от функций многих переменных, его определение базируется на понятии Лебега меры в n-мерном евклидовом пространстве. Кратный интеграл Лебега может быть сведен к повторному интегралу (см. Фубини теорема ). Для непрерывно дифференцируемых взаимно однозначных отображений областей справедлива формула замены переменного (1), а также формула (2), выражающая геометрии, смысл кратного интеграла Лебега, в к-рой под мерой следует понимать (n+1)-мерную меру Лебега.

Понятие К. и. переносится на функции, интегрируемые по множеству А, принадлежащему произведению пространств Xи У, в каждом из к-рых заданы -конечные полные неотрицательные меры, соответственно при этом интегрирование по множеству Апроизводится по мере являющейся произведением мер

Для функций многих переменных существует также понятие несобственного К. и. (см. Несобственный интеграл ). Понятие К. и. применяется также к неопределенным интегралам функций многих переменных. Под неопределенным К. и. понимают функцию множества

где Е - измеримое множество. Если, напр., f(x).интегрируема по Лебегу на нек-ром множестве, то ее F(Е). на этом множестве имеет функцию f(x).своей симметричной производной. В этом смысле (аналогично случаю функций одной переменной) взятие неопределенного К. и. является операцией, обратной к операции дифференцирования функции множества.

Лит. : И л ь и н В. А., Лозняк Э. Г., Основы математического анализа, 2 изд., ч. 2, М., 1980; К о л м о г о р о в А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981: }