Погрешность аппроксимации кубическим сплайном.
Погрешность аппроксимации
При построении разностной схемы важно знать, насколько хорошо она аппроксимирует исходную дифференциальную задачу.
При замене дифференциальной задачи разностной допускается ошибка -- погрешность аппроксимации. Она характеризуется величиной невязок/
При замене интеграла приближенной квадратурной формулой вносится погрешность аппроксимации дифференциального уравнения разностным. Она характеризуется величиной невязки, если в конечно-разностном уравнении (5) подставить вместо значение точного решения:
Воспользовавшись соотношением (4), получаем простое выражение для вычисления:
которая зависит от шага сетки.
Говорят, что разностная схема (5) аппроксимирует исходную дифференциальную задачу с порядком p, если при. Из (6) следует, что порядок аппроксимации на 1 меньше, чем порядок погрешности используемой квадратурной формулы на интервале .
Чем больший порядок аппроксимации p , тем выше точность решения:
Для обеспечения близости решений разностной и дифференциальной задач необходимо, чтобы при стремлении шагов сетки к нулю разностная задача в пределе совпадала с дифференциальной. Если это требование выполняется, то говорят, что разностная схема аппроксимирует дифференциальную задачу.
Устойчивость
Другой источник ошибок, вносимых в численное решение, связан с погрешностью округления, возникающей непосредственно при решении разностной задачи на ЭВМ. Ошибки округления неизбежны, так как любая вычислительная машина может оперировать лишь с конечным числом значащих цифр. Хотя в момент возникновения они невелики, однако при расчете больших рекуррентных формул, какими являются алгоритмы метода сеток, первоначальная величина этих ошибок может вырасти настолько, что полностью исказит смысл окончательного результата. Если это происходит, то говорят, что численный метод (алгоритм) неустойчив. При достаточно длительном счете неустойчивость метода приводит к авосту -- переполнению арифметического устройства машины. Если же в процессе счета ошибки округления затухают или хотя бы не возрастают, такой вычислительный алгоритм называют устойчивым. Для решения практических задач используются только устойчивые алгоритмы.
Более строго устойчивость трактуется как свойство непрерывной зависимости решения разностной задачи от входных данных, согласно которому всякое малое изменение входных данных (например, вследствие округления) приводит к малому изменению решения. Под входными данными обычно понимают правые части разностных уравнений, граничных и начальных условий.
Основная теорема метода сеток
Основная теорема теории метода сеток утверждает, что если схема устойчива, то при погрешность решения стремится к нулю с тем же порядком, что и погрешность аппроксимации:
где С0 - константа устойчивости.
Неустойчивость обычно проявляется в том, что с уменьшением h решение при возрастании k, что легко устанавливается экспериментально с помощью просчета на последовательности сеток с уменьшающимся шагом h, h/2, h/4… Если при этом, то метод неустойчив. Таким образом, если имеется аппроксимация и схема устойчива, то, выбрав достаточно малый шаг h, можно получить решение с заданной точностью. При этом затраты на вычисления резко уменьшаются с увеличением порядка аппроксимации p, т.е. при большем p можно достичь той же точности, используя более крупный шаг h.
В любую аналитическую формулу входят постоянные коэффициенты, величина которых существенно влияет на вид функции и на её значение. Следовательно, в нашем случае коэффициенты, будут переменными параметрами, и функция запишется в общем виде:
где - подбираемые коэффициенты, M i - i-ые значения расхода воздуха, n - число оборотов вала.
Согласно методу наименьших квадратов, наилучшими коэффициентами считаются те, для которых сумма квадратов отклонений найденной теоретической функции от заданных эмпирических значений будет минимальной. Следовательно, задача состоит в определении коэффициентов таким образом (т.е. в выборе одной кривой из множества), чтобы сумма квадратов отклонений была наименьшей.
где - коэффициенты аппроксимации,
Для того чтобы найти набор коэффициентов, при которых достигается минимум функции S, определяемой формулой (1.1), используем необходимое условие экстремума функции нескольких переменных равенство нулю частных производных.
Таким образом, нахождение коэффициентов, сводится к решению системы:
Если коэффициенты входят линейно, то система дифференциальных уравнений в частных производных преобразуется в систему линейных алгебраических уравнений. Эта система может быть решена любым методом: методом Гаусса, матричным методом, по формулам Крамера и т.д.
Конкретный вид системы (1.3) зависит от того, из какого класса эмпирических формул мы ищем зависимость (1.1).
В случае линейной аппроксимации формула (1.2) примет вид:
Возьмем две частные производные первого порядка и приравняем их к нулю. Система уравнений (1.3) примет вид:
Разделим уравнения на 2 и раскроем скобки:
Вынесем неизвестные и за знак суммы, так как они не зависят от индекса «i», и перенесем слагаемые, не содержащие неизвестных, в правую часть. Окончательно получим систему линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными и:
В случае квадратичной аппроксимирующей зависимости, вида (1.1.1), выполнив аналогичные преобразования, получим следующую систему линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными и:
Оценка статистических параметров системы
Напомним некоторые статистические оценки. Наблюдаемые значения величин n i , M i можно рассматривать как выборочные значения двух случайных величин n и M. По выборочным данным можно найти выборочные средние и выборочные квадратичные отклонения n и M, а также выборочный коэффициент корреляции, а именно:
Для вычисления можно применить и более простые формулы, которые выводятся в курсе теории вероятностей с помощью простых алгебраических преобразований:
Здесь - выборочные средние величин n, M; - выборочные квадратичные отклонения величин n, M; r - выборочный коэффициент корреляции.
Известно, что линейное уравнение (1.5), называемое в статистике уравнением линейной регрессии, проходит через точку, а коэффициент a 2 , называемый в статистике коэффициентом регрессии, связан с коэффициентом корреляции r. Имеют место следующие соотношения:
Коэффициент корреляции характеризует меру линейной связи между величинами n, M и может принимать значения в пределах от -1 до 1. Чем ближе к единице | r |, тем теснее линейная связь между n, M. Если | r | = 1, то M линейно зависит от n, т.е. выполнено соотношение:
поэтому ошибка представления эмпирических данных равна 0.
Оценка точности аппроксимации
аппроксимация excel точность формула
Мера ошибки при аппроксимации функции в соответствии с данным выше определением равна:
С целью оценки относительной погрешности при аппроксимации функции рассматривают величину суммарной погрешности по отношению к общему разбросу данных. Общий разброс данных складывается из отклонений теоретических значений от среднего и эмпирических значений от теоретических. Вводятся обозначения:
В случае линейной функции получим:
В случае квадратичной функции:
По аналогии легко написать формулу для вычисления ошибки аппроксимации функцией любого вида.
Отметим, что для аппроксимирующей функции, линейной относительно параметров, верно:
Относительная ошибка аппроксимации есть отношение
Величина
называется коэффициентом детерминированности и характеризует меру точности аппроксимации табличных данных. Если 2 = 1, то ошибка аппроксимации равна 0 и теоретические значения совпадают с эмпирическими.
При
приближенной замене непрерывных систем, дискретными системами возникает
погрешность, в результате которой истинные значения сигнала на выходе непрерывной системы в
точках отличаются
от вычисленных значений на выходе дискретной системы. Ошибка 
, обусловленная дискретизацией, будет,
вообще говоря, тем меньше, чем меньше шаг дискретизации . В пределе при процессы в непрерывной
и эквивалентной дискретной системах совпадают. Однако при уменьшении шага
дискретизации увеличивается объем вычислений, поэтому шаг целесообразно выбирать как
можно большим, но удовлетворяющим заданной точности вычислений.
В настоящее время, к сожалению, не представляется возможным указать достаточно простой общий способ выбора значения шага дискретизации, обеспечивающего заданную точность при различных методах дискретизации. Можно лишь сказать, что ошибка вычисления дискретных значений сигнала на выходе непрерывной системы будет мала, если шаг дискретизации приближенно удовлетворяет условиям теоремы Котельникова. Для использования этой теоремы нужно знать ширину спектра сигнала и ширину полосы пропускания системы. Однако эта теорема не дает ответа на вопрос, какова будет величина ошибки при заданном шаге дискретизации в реальных условиях, когда функции не имеют строго ограниченного спектра. Поэтому задача оценки погрешности дискретизации является предметом самостоятельных исследований.
В общем случае погрешность дискретной аппроксимации непрерывных систем зависит от шага дискретизации, метода дискретизации, вида входного сигнала, характеристик системы и, наконец, от выбранной числовой меры погрешности. Такое разнообразие факторов, влияющих на погрешность, существенно затрудняет ее количественную оценку. Поэтому обычно задачу оценки погрешности дискретной аппроксимации сужают. В первую очередь это относится к ограничению класса входных сигналов: оценку погрешности проводят при некоторых типовых (стандартных) воздействиях.
Часто погрешность дискретной аппроксимации непрерывных систем оценивают при воздействии в виде единичного скачка (оценка погрешности путем сравнения переходных процессов в непрерывной и дискретной системах ). Суть такого метода состоит в следующем. При выбранном шаге дискретизации вычисляется переходная характеристика дискретной системы и сравнивается с аналогичной переходной характеристикой непрерывной системы. В качестве меры погрешности может быть выбрано, например, среднеквадратическое отклонение кривых. Если при выбранном шаге дискретизации различие переходных процессов велико, то, уменьшая шаг, можно добиться приемлемой точности дискретной аппроксимации.
Переходная
характеристика дискретной линейной системы строится путем расчета по
рекуррентным формулам вида (3.24) при 
и нулевых начальных условиях, что легко
осуществляется, например, с помощью настольной клавишной вычислительной машины.
Для построения переходной характеристики непрерывной системы могут быть
использованы хорошо известные из теории линейных систем автоматического
регулирования методы (см., например, ), в частности метод получения
переходной характеристики путем отыскания оригинала изображения - , где - передаточная функция
системы.
Если построение переходного процесса в непрерывной системе затруднительно, то шаг дискретизации практически можно выбрать следующим образом.
Строится последовательность переходных характеристик дискретной системы для ряда уменьшающихся (например, в два раза) значений шага дискретизации . После этого выбирается то значение , начиная с которого переходная характеристика практически не изменяется с уменьшением . В основу такого приема положен тот факт, что при процессы в эквивалентной импульсной системе совпадают с процессами в непрерывной системе.
В качестве стандартного сигнала используется также гармоническое колебание (оценка погрешности путем сравнения частотных характеристик непрерывной и дискретной систем ).
Нетрудно
найти общую формулу для такого сравнения. Действительно, частотная
характеристика непрерывной системы с передаточной функцией есть . Частотная характеристика
эквивалентной дискретной системы с передаточной функцией , как известно , получается
из путем
замены на , т.е. 
при .
Функции
и имеют аналогичный
смысл: для непрерывных систем означает то, что гармоническое колебание , поданное на вход
системы, вызывает на выходе в установившемся режиме гармоническую реакцию 
; для дискретных
систем означает
то, что дискретная гармоника на входе системы вызывает на выходе
системы в установившемся режиме дискретную гармонику 
.
О погрешности дискретной аппроксимации можно судить по отношению частотных характеристик
, (3.127)
которое при выбранном шаге дискретизации равно отношению комплексной амплитуды гармоники на выходе дискретной системы к комплексной амплитуде гармоники на выходе исходной непрерывной системы при одном и том же гармоническом воздействии с частотой на входах обеих систем. В области частот, где
будут малы соответственно амплитудные и фазовые погрешности дискретной аппроксимации. Зная передаточную функцию и ее дискретный эквивалент при различных методах дискретной аппроксимации (§3.2; 3.3), в каждом конкретном случае по формуле (3.127) можно довольно просто рассчитать погрешность дискретизации в частотной области. Примеры использования формулы (3.127) для оценки погрешности различных методов дискретной аппроксимации интегрирующего звена первого порядка даны в .
В некоторых работах оценивается ошибка дискретной аппроксимации непрерывных систем при стационарном случайном воздействии на входе. Поскольку случайный процесс представляет собой целый ансамбль сигналов, оценка погрешности при случайном воздействии дает некоторую усредненную величину погрешности по ансамблю сигналов, а не по одному какому-нибудь элементарному сигналу. Это является важным доводом в пользу такого рода оценок.
Ниже рассматриваются вопросы оценки среднеквадратической погрешности дискретной аппроксимации непрерывных систем, когда в качестве стандартного входного сигнала используется стационарный случайный процесс. Случайный сигнал является более сложным по структуре, чем элементарные стандартные сигналы в виде единичной ступеньки или гармонического колебания, но, несмотря на это, он позволяет найти довольно простые оценки погрешности, а при некоторых условиях даже более простые, чем при классических стандартных сигналах.
Пусть задана некоторая линейная непрерывная система с постоянными параметрами с передаточной функцией и импульсной переходной характеристикой , на вход которой воздействует стационарный случайный процесс с энергетическим спектром .
Рассмотрим методы дискретизации заданной системы, которые соответствуют замене ее эквивалентной импульсной системой по схеме, представленной на рис. 3.1 (§ 3.2). К таким методам относятся метод - преобразования (§ 3.3), который эквивалентен дискретизации непрерывной свертки с использованием формулы прямоугольников (§ 3.2); метод Цыпкина-Гольденберга; метод Рагаззини-Бергена (§ 3.3).
Различие
между выходными сигналами непрерывной и эквивалентной импульсной системы
образуется в результате неточного восстановления входного сигнала
интерполирующим фильтром в схеме рис. 3.1. Ошибку выходного сигнала 
в этом случае можно
рассматривать как выходной сигнал схемы, .показанной на рис. З.10, а, которая,
очевидно, эквивалентна схеме, представленной на рис. 3.10, б. Ошибка является результатом
преобразования ошибки интерполяции входного сигнала заданной линейной системой.
Корреляционно-спектральные характеристики ошибки при различных видах интерполяции
стационарных случайных сигналов были найдены в § 1.7. Зная их, легко можно
найти характеристики ошибки выходного сигнала.
Действительно, если - энергетический спектр ошибки интерполяции входного сигнала, то дисперсия искомой ошибки равна
,
где 
- энергетический
спектр искомой ошибки.
Учитывая, что дисперсия выходного сигнала в рассматриваемом случае равна
,
и используя формулу (1.42) для вычисления энергетического спектра ошибки интерполяции входного сигнала, получим следующее общее выражение для нахождения относительной среднеквадратической погрешности выходного сигнала, возникающей в результате замены непрерывной линейной системы эквивалентной импульсной системой
,
(3.128)
где - частотная характеристика интерполирующего фильтра; - энергетический спектр дискретного случайного процесса .
Величину целесообразно принять в качестве меры погрешности дискретной аппроксимации непрерывных линейных систем. Формула (3.128) позволяет найти точное значение этой меры в виде зависимости от шага дискретизации , от метода дискретизации (характеризуемого типом передаточной функции интерполирующего фильтра), от энергетического спектра входного случайного сигнала и от передаточной функции заданной непрерывной системы. К сожалению, это выражение является довольно громоздким. Однако имеется возможность найти более простые приближенные оценки величины .
Действительно, если частота дискретизации входного сигнала в несколько раз превышает полосу пропускания системы, а спектр сигнала в области высоких частот убывает достаточно медленно, то в пределах полосы пропускания энергетический спектр ошибки интерполяции входного сигнала можно принять постоянным и равным (см. рис. 1.7, на котором сплошными линиями (0, 1, 2, 3, 4) показаны примеры энергетических спектров и пунктиром - частотная характеристика системы).
. (3.130)
Величина может быть вычислена по формуле (1.44).
Поскольку у наиболее распространенных типов интерполирующих фильтров коэффициенты передачи на нулевой частоте одинаковы и равны (см. табл. 1.1), то согласно формуле (1.44)
Из соотношений (1.129) - (1.131) следует, что погрешность дискретной аппроксимации слабо зависит от типа интерполирующего фильтра. На это указывалось в . Однако этот эффект не имеет абсолютного характера: он наблюдается только при выполнении указанных выше условий. В частности, им нельзя пользоваться в случаях, когда спектр входного сигнала в области частот выше частоты дискретизации резко убывает или же равен нулю.
Дополнительное упрощение оценки величины можно получить, если учесть следующее обстоятельство. Пусть - отношение дисперсии ошибки интерполяции входного сигнала к дисперсии самого сигнала. После прохождения процессов и через заданную линейную систему отношение их дисперсий будет равно искомой величине . Спектр ошибки интерполяции входного сигнала обычно в несколько раз шире спектра самого сигнала, следовательно, у процесса доля дисперсии, приходящаяся на высокочастотные составляющие, больше чем у процесса . При прохождении этих процессов через заданную систему (при условии, что она пропускает в основном низкие частоты) высокочастотные составляющие отфильтровываются (см. рис. 1.7), так что отношение дисперсии этих процессов уменьшается. Следовательно, в этих случаях
Таким образом, при достаточно широких условиях относительная погрешность выходного сигнала , возникающая в результате замены непрерывной системы дискретной системой, не превышает относительной погрешности интерполяции входного сигнала . Величина может быть найдена по формулам, выведенным в § 1.7, в частности по формулам (1.48).
Рассмотрим теперь несколько иное использование приведенной здесь методики нахождения погрешности дискретной аппроксимации непрерывных систем.
Пусть
в качестве моделируемой системы задана некоторая линейная непрерывная следящая
система с передаточной функцией . Если и - входной и выходной сигналы системы
соответственно, то ошибка слежения будет равна 
. При замене непрерывной следящей системы
эквивалентной импульсной следящей системой ошибка слежения будет равна 
.
Погрешность дискретной аппроксимации в этом случае можно оценить, сопоставляя дисперсии и ошибок и при случайном стационарном входном сигнале.
Дисперсию ошибки можно, очевидно, выразить в виде
.
Для
вычисления дисперсии ошибки можно воспользоваться формулой (1.42),
если заменить в ней произведением
, т. е.
заменить передаточную функцию интерполирующего фильтра передаточной функцией
приведенной непрерывной части. В этом легко убедиться, сравнивая рис. 3.11 и
1.6, на которых показаны схемы формирования ошибок и [на рис. 1.6 это ] соответственно.
Отношение искомых дисперсий будет равно
.
(3.133)
Величина наряду с величиной может служить еще одной мерой погрешности дискретной аппроксимации непрерывных следящих систем.
Пример 1. Рассмотрим применение полученных выше соотношений для оценки погрешности цифрового интегрирования стационарного экспоненциально-коррелированного случайного процесса . Корреляционная функция и энергетический спектр его, а также энергетический спектр соответствующего дискретного случайного процесса выражаются формулами (1.47).
Величину интеграла
можно рассматривать как величину сигнала в точке , наблюдаемого на выходе непрерывной линейной системы, импульсная переходная характеристика и передаточная функция которой имеют соответственно вид
Вычисление интеграла (3.134) по различным формулам численного интегрирования с равным шагом дискретизации соответствует, как легко видеть, замене данной непрерывной системы эквивалентной импульсной системой по схеме рис. 1.4 с различными типами интерполирующих фильтров. В частности, при использовании формулы прямоугольников и формулы трапеций передаточные функции интерполирующих фильтров будут иметь вид, показанный в табл. 1.1 ("№ 1, 2, 3). В результате дискретизации вычисленное значение интеграла (1.134) будет отличаться от его истинного значения .
Приведенных характеристик достаточно, чтобы, подставив их в выражения (3.129)-(3.132), найти соответствующие оценки погрешности цифрового интегрирования случайного процесса. Рассмотрим, в частности, случай, когда интервал интегрирования в несколько раз больше времени корреляции процесса . Это означает, что полоса пропускания системы с передаточной функцией (3.135) существенно меньше ширины спектра входного сигнала и тем более меньше ширины спектра ошибки интерполяции этого сигнала (§ 1.7, рис. 1.7). В таком случае согласно формулам (3.129), (3.131) дисперсия ошибки цифрового интегрирования (дисперсия разности ) не зависит от типа интерполирующего фильтра (т. е. метода интегрирования) и равна
Заметим, что данный численный пример рассматривался в работе , где иным методом получена формула оценки погрешности цифрового интегрирования случайных процессов. Сравнение численных результатов показывает полное их совпадение.
В заключение этого параграфа необходимо сделать некоторые замечания. Полученные формулы позволяют оценить среднеквадратическую погрешность выходного сигнала при наиболее распространенных методах дискретной аппроксимации непрерывных линейных систем, подверженных стационарному случайному воздействию. В ряде случаев полученные аналитические выражения для оценки отличаются простотой [формулы (3.129) - (3.132), (3.136) - (3.139)], что существенно облегчает их практическое использование. В общих случаях выражения для оценок оказываются более громоздкими.
При решении практических задач методом цифрового моделирования рассмотренные выше приемы оценки погрешности дают скорее лишь некоторое представление о величине погрешности результатов, чем конкретную ее величину, так как практически решаемые задачи содержат обычно значительно более сложные преобразования сигналов и помех, чем простые линейные преобразования.
Чтобы получить дискретную модель сложной непрерывной системы, обладающую требуемой точностью, практически можно использовать следующий довольно эффективный прием. Сначала шаг дискретизации выбирается ориентировочно, исходя из данных выше оценок. Окончательно шаг дискретизации выбирается при реализации цифровой модели на ЦВМ путем проведения нескольких пробных решений задачи для различных последовательно уменьшающихся, например в два раза, значений шага дискретизации, начиная с выбранного значения шага и кончая тем значением шага, когда результаты решения практически перестают изменяться. Разница в результатах решения при выбранном и при минимальном шагах дискретизации дает величину погрешности дискретной аппроксимации.
В некоторых случаях оценку погрешности цифрового моделирования удобно производить путем сравнения результатов при выбранном шаге дискретизации с результатами аналитического решения задачи, если это решение нетрудно получить при некоторых упрощающих условиях. Этот вопрос будет рассмотрен в § 4.2.
При построении экономико-математических моделей возникают задачи замены табличных опытных значений результирующего показателя (зависимая переменная) и фактора (независимая переменная) 
аналитической аппроксимирующей функцией 
. Метод построения аппроксимирующей функции носит название метода наименьших квадратов. Опытные данные – это данные наблюдения над эконом-и процессами (стат. данные) в зависимости м/у 2мя переменными Вычисленные значения аппроксимирующей функции 
при соответствующих значениях фактора обычно отличаются от опытных значений. Эти аналитические значения считают теоретическими, а им соответствующие - опытными значениями. В дальнейшем опытные значения будем принимать за истинные. Для оценки Степень близости теоретических и опытных значений характеризуют погрешность аппроксимации функции. Различают абсолютную и относительную, локальную и среднюю погрешности.
Модуль разность между теоретическим и опытным значением результирующего показателя, вычисленной при конкретном задании фактора , называют абсолютной локальной погрешностью результирующего показателя и обозначают 
.
Кроме абсолютной локальной погрешности рассматривают также относительную локальную погрешность как отношение абсолютной погрешности к модулю опытного значения результирующего показателя
.
Для характеристики погрешности на всем промежутке изменения фактора рассматривают среднюю абсолютную и относительную погрешности. Их вычисляют по следующим соотношениям:
и 
.
6. Функции спроса и предложения строительных услуг
.1)Спрос
, где С 0 , С 1 принадл. R.
1.
Со>0, C1>0,α<0,p>0. 2
. Со>0, C1<0,α=1. 3
. Со<0, C1>0,α> 2) Предложение
– зеркальное отображение теории спроса. Все продавцы стремятся получить на рынке самую высокую цену, и чем выше цена, тем активнее будет расти предложение товаров. Определяющий фактор, влияющий на предложение тов. – издержки пр-ват.е. сумма ден. расходов на пр-во прод-ции.Чем меньше издержки, тем меньше цена. Предложение – совокупность товаров, представленных к продаже по соотв-м, удовл-м товаропроизводителя ценам. Кривая предложения –это кривая предельных издержек фирмы на пр-во кажд. новой единицы продукции. Как видно из графика сниж-е цены p(x) ведет к соотв. измен-ю предлож-я товаров ч, повыш-е цен ведет к росту предл-я. 
.С2 и С3 зависят от цены товара, числа продавцов на рынке, налогов, технологии пр-ва, цен на ресурсы.
1. С2>0,C3>0,β>1, x>0,p>0. 2. С2>0,C3>0,β=1. 3. С2>0,C3>0,0<β<1. Общее св-во 1, 2, 3 – положительное значение p"(x).
7. Функция спроса по цене.
1)Спрос
– это платежеспособная потребность покупателя, т.е. потребность покупателя, располагающего ден. ср-вами для приобретения тов. и усл. На спрос влияют 3 фактора: 1) потребность человека в продукте, 2) цена продукта, 3) уровень ден. доходов потребителя. В основе рыночного спроса на тов. или услугу есть правило(з-н убывающей полезности): Чем выше цена, тем меньше тех, кто согласиться купить данный товар, т.е. уменьшается уровень спроса и наоборот. График имеет вид убывающей кривой, а ее аналит. выр-е: , где С 0 , С 1 принадл. R.
1. Со>0, C1>0,α<0,p>0. 2 . Со>0, C1<0,α=1. 3 . Со<0, C1>0,α>0 (α≠1). Со и С1 – зависят от числа покупателей на рынке, от ден. доходов и вкусов потребителя, от цен конкурентов и цен на замещающие товары. Общее св-во 1, 2, 3 – отрицательное значение x"(p).
Функции спроса (предложения) по цене могут быть как линейными, так и нелинейными. В случае линейной функции она имеет следующий вид: 
Функция характеризует собой семейства прямых, каждая из которых характеризуется конкретными значениями коэффициентов a и b. Наилучшей для рассматриваемой выборки из всего множества прямых является, та прямая, которая на плоскости xoy расположена «ближе» всего, в определенном смысле, к опытным точкам. В качестве меры близости прямой и некоторой точки на плоскости можно выбрать расстояние между ними. При этом под расстоянием следует понимать модуль разности между опытным (наблюдаемым) значением результирующей величины и теоретическим, вычисленным по формуле при одном и том же значении фактора т.е. 
(i=1,2,...,n)
Где y x - расчетное значение по уравнению.
Значение средней ошибки аппроксимации до 15% свидетельствует о хорошо подобранной модели уравнения.
По семи территориям Уральского района за 199Х г. известны значения двух признаков.
Требуется:1. Для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих функций:
а) линейной;
б) степенной;
в) показательной;
г) равносторонней гиперболы (так же нужно придумать как предварительно линеаризовать данную модель).
2. Оценить каждую модель через среднюю ошибку аппроксимации А ср и F-критерий Фишера.
Решение проводим при помощь онлайн калькулятора Линейное уравнение регрессии .
а) линейное уравнение регрессии;
Использование графического метода
.
Этот метод применяют для наглядного изображения формы связи между изучаемыми экономическими показателями. Для этого в прямоугольной системе координат строят график, по оси ординат откладывают индивидуальные значения результативного признака Y, а по оси абсцисс - индивидуальные значения факторного признака X.
Совокупность точек результативного и факторного признаков называется полем корреляции
.
На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит линейный характер.
Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a + ε
Здесь ε - случайная ошибка (отклонение, возмущение).
Причины существования случайной ошибки:
1. Невключение в регрессионную модель значимых объясняющих переменных;
2. Агрегирование переменных. Например, функция суммарного потребления – это попытка общего выражения совокупности решений отдельных индивидов о расходах. Это лишь аппроксимация отдельных соотношений, которые имеют разные параметры.
3. Неправильное описание структуры модели;
4. Неправильная функциональная спецификация;
5. Ошибки измерения.
Так как отклонения ε i для каждого конкретного наблюдения i – случайны и их значения в выборке неизвестны, то:
1) по наблюдениям x i и y i можно получить только оценки параметров α и β
2) Оценками параметров α и β регрессионной модели являются соответственно величины а и b, которые носят случайный характер, т.к. соответствуют случайной выборке;
Тогда оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = bx + a + ε, где e i – наблюдаемые значения (оценки) ошибок ε i , а и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти.
Для оценки параметров α и β - используют МНК (метод наименьших квадратов).
Получаем b = -0.35, a = 76.88
Уравнение регрессии:
y = -0.35 x + 76.88
| x | y | x 2 | y 2 | x y | y(x) | (y i -y cp) 2 | (y-y(x)) 2 | |y - y x |:y |
| 45,1 | 68,8 | 2034,01 | 4733,44 | 3102,88 | 61,28 | 119,12 | 56,61 | 0,1094 |
| 59 | 61,2 | 3481 | 3745,44 | 3610,8 | 56,47 | 10,98 | 22,4 | 0,0773 |
| 57,2 | 59,9 | 3271,84 | 3588,01 | 3426,28 | 57,09 | 4,06 | 7,9 | 0,0469 |
| 61,8 | 56,7 | 3819,24 | 3214,89 | 3504,06 | 55,5 | 1,41 | 1,44 | 0,0212 |
| 58,8 | 55 | 3457,44 | 3025 | 3234 | 56,54 | 8,33 | 2,36 | 0,0279 |
| 47,2 | 54,3 | 2227,84 | 2948,49 | 2562,96 | 60,55 | 12,86 | 39,05 | 0,1151 |
| 55,2 | 49,3 | 3047,04 | 2430,49 | 2721,36 | 57,78 | 73,71 | 71,94 | 0,172 |
| 384,3 | 405,2 | 21338,41 | 23685,76 | 22162,34 | 405,2 | 230,47 | 201,71 | 0,5699 |
Примечание: значения y(x) находятся из полученного уравнения регрессии:
y(45.1) = -0.35*45.1 + 76.88 = 61.28
y(59) = -0.35*59 + 76.88 = 56.47
... ... ...
Ошибка аппроксимации
Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации
- среднее отклонение расчетных значений от фактических:
Поскольку ошибка меньше 15%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.
F-статистики. Критерий Фишера.
3. Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2.
4. Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу.
В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-α) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.
< Fkp, то коэффициент детерминации статистически не значим (Найденная оценка уравнения регрессии статистически не надежна).
б) степенная регрессия ;
Решение проводится с помощью сервиса Нелинейная регрессия . При выборе укажите Степенная y = ax b
в) показательная регрессия;
г) модель равносторонней гиперболы.
Система нормальных уравнений.
Для наших данных система уравнений имеет вид
7a + 0.1291b = 405.2
0.1291a + 0.0024b = 7.51
Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение
Получаем b = 1054.67, a = 38.44
Уравнение регрессии:
y = 1054.67 / x + 38.44
Ошибка аппроксимации.
Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.
Поскольку ошибка меньше 15%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.
Критерий Фишера.
Проверка значимости модели регрессии проводится с использованием F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели.
Если расчетное значение с k1=(m) и k2=(n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.
где m – число факторов в модели.
Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму:
1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H 0: R 2 =0 на уровне значимости α.
2. Далее определяют фактическое значение F-критерия:
где m=1 для парной регрессии.
Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=5, Fkp = 6.61
Поскольку фактическое значение F < Fkp, то коэффициент детерминации статистически не значим (Найденная оценка уравнения регрессии статистически не надежна).