Уравнение колебаний пружинного маятника является дифференциальным уравнением. Свободные колебания пружинного маятника

Вопрос 36 Энергия гармонических колебаний

Литература

Периодические колебания называются гармоническими , если колеблющаяся величина меняется с течением времени по закону косинуса или синуса:

Здесь
- циклическая частота колебаний,A – максимальное отклонение колеблющейся величины от положения равновесия (амплитуда колебаний ), φ(t ) = ωt + φ 0 – фаза колебаний , φ 0 – начальная фаза .

График гармонических колебаний представлен на рисунке 1.

Рисунок 1 – График гармонических колебаний

При гармонических колебаниях полная энергия системы с течением времени не изменяется. Можно показать, что полная энергия механической колебательной системы при гармонических колебаниях равна:

Гармонически колеблющаяся величина s (t ) подчиняется дифференциальному уравнению:

, (1)

которое называется дифференциальным уравнением гармонических колебаний.

Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на нерастяжимой невесомой нити, совершающая колебательное движение в одной вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

Период кодебаний

Физический маятник.

Физическим маятником называется твердое тело, закрепленное на неподвижной горизонтальной ocи (оси подвеса), не проходящей через центр тяжести, и совершающее колебания относительно этой оси под действием силы тяжести. В отличие от математического маятника массу такого тела нельзя считать точечной.

При небольших углах отклонения α (рис. 7.4) физический маятник так же совершает гармонические колебания. Будем считать, что вес физического маятника приложен к его центру тяжести в точке С. Силой, которая возвращает маятник в положение равновесия, в данном случае будет составляющая силы тяжести – сила F.

Для вывода закона движения математического и физического маятников используем основное уравнение динамики вращательного движения

Момент силы: определить в явном виде нельзя. С учетом всех величин, входящих в исходное дифференциальное уравнение колебаний физического маятника имеет вид:

Решение этого уравнения

Определим длину l математического маятника, при которой период его колебаний равен периоду колебаний физического маятника, т.е. или

. Из этого соотношения определяем

Данная формула определяет приведенную длину физического маятника, т.е. длину такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний данного физического маятника.

Пружинный маятник

Это груз, прикрепленный к пружине, массой которой можно пренебречь.

Пока пружина не деформирована, сила упругостина тело не действует. В пружинном маятнике колебания совершаются под действием силы упругости.

Гармонические колебания

Простейшими из колебаний являются гармонические колебания, т.е. такие колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса.

Механические колебания, которые происходят под действием силы (восстанавливающая сила), пропорциональной смещению и направленной противоположно ему, называют гармоническими колебаниями -диференциальное уравнение, -решение

x- смещение колеблющейся величины от положительного равновесия

66.Основные харак-ки ГК

А – амплитуда- максимальное смещение от положения равновесия

0 ) – фаза колебаний – определяет смещение в данный момент времени

0 – начальная фаза – определяется положением системы в начальный момент времени

ω – собственная частота колебаний, определяется параметрами системы

Роль начальных условий – А, начальная фаза

67.Способы графического представления колебательных процессов:

Плоская диаграмма

Векторная диаграмма

68.Векторная диаграмма – способ графического задания колебательного движения в виде вектора.

Возьмем ось, которую обозначим буквой х. Из т. О, взятой на оси, отложим вектор длины а, образующий с осью угол α. Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью ω 0 , то проекция конца вектора будет перемещаться по соси х в пределах от –а до +а, причем координата этой проекции будет изменяться со временем по закону х=а cos (ω 0 t + α).

Следовательно, проекция вектора на ось будет совершать гармоническое колебание с амплитудой, равной длине вектора, с круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и с начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени.

Т.о. гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина кот равна амплитуде колебания, а направление вектора образует с осью х угол, равный начальной фазе колебаний.

69.Пружинный маятник – груз, подвешенный на пружине.

Выведем диф ур-е пружинного маятника

70.Математическим маятником называют идеализированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке. Отклонение маятника от положения равновесия будем характеризовать углом , образованным нитью с вертикалью. При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращающий момент М, равный M=-mgl sin .Он имеет такое направление, что стремится вернуть маятник в положение равновесия.

71.Физический маятник – любое твердое тело, имеющее ось вращения, которая не совпадает с центром масс.

Вывод дифференциального ур-я колебаний:

72.Приведенная длина физического маятника – длина такого матем маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника.

Собственная частота для пружинного маятника

Собственная частота математического маятника

73. Периодические или почти периодические изменения заряда, силы тока и напряжения называются электромагнитными колебаниями .

Простейшая система, в которой могут происходить свободные электромагнитные колебания, состоит из конденсатора и катушки, присоединённой к его обкладкам. Такая система называется колебательным контуром.

Частота колебаний – это число колебаний в единицу времени. υ = 1/T

Продолжительность одного полного колебания называется периодом колебания. T = 1/υ

где L – индуктивность, С - электроемкость

74.Сложение коллинеарных колебаний одинаковой частоты:

Смещение х колеблющегося тела будет суммой смещений х1 и х2, которые запишутся след образом: х 1 =а 1 cos (ω 0 t+α 1) х 2 =а 2 cos (ω 0 t+α 2)

Представим оба колебания с помощью векторов а1 и а2. Построим по правилам сложения векторов результирующий вектор а. Проекция этого вектора на ось х равна сумме проекций слагаемых векторов: х1=х1+х2. След-но, вектор а представляет собой результирующее колебание. Этот вектор вращается с той же угловой скоростью ω 0, как и векторы а1 и а2, так что результирующее движение будет гармоническим колебанием с частотой ω 0, амплитудой а и начальной фазой α.

75. Пусть маленькое тело колеблется на взаимно-перпендикулярных пружинках одинаковой жесткости. По какой траектории будет двигаться это тело? Это уравнения траектории в параметрическом виде.

Для получения явной зависимости между координатами x и y надо из уравнений исключить параметр t. Из первого уравнения:

Из второго:

После подстановки:

Избавимся от корня: - это уравнение эллипса.

76.В реальных условиях всегда присутствуют рассеянные силы (десепативные?), приводящие к уменьшению энергии в контуре. Рассмотрим частный случай механических колебаний при наличии силы вязкого трения.

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний

77.Основные параметры затухающих колебаний.

ω0- собственная частота колебательной системы, без затухания,β - коэффициент затухания- характеризует скорость затухания

Время релаксации, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз.

Добротность - показатель скорости ухода энергии из колебательной системы

Q=2π , где Е-энергия, запасенная в контуре, - энергия за период. Q=πNe, гдеNe – кол-во колебаний за время релаксации.

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний для пружинного маятника.

79.Дифференциальное уравнение для затухающих колебаний э\м контура

Его решением является функция

q(t)=q 0 e - βtcos (ωt+ ), где частота колебаний ω= Для колебательного контура

80.Амплитуда и частота затухающих колебаний , - амплитуда затухающих колебаний

ω0- собственная частота колебательной системы, без затухания.Частота затухающих колебаний меньше чем собственная частота.

Амплитуда уменьшается по экспоненциальному закону,где

Здесь - - частота затухающих колебаний.

τ- переходный режим, после него колебания устанавливаются с частотой вынуждающей силы.

83. Вынужденные колебания – совершаются в колебательных системах под действием внешней периодической силы, меняющейся по гармоническому закону:

f 0 – амплитуда вынужденной силы

Частота вынужденной силы

Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы.

Резонанс – явление резкого возрастания амплитуды при частоте вынужденных колебаний близкой к собственной.

Резонансная частота

84.Амплитудно – частотные характеристики. В контуре с большой добротностью амплитуда резонанса велика, но мала полоса пропускания, а в контуре с резкой добротностью амплитуда мала, но большая ширина полосы пропускания в контурах, где коэф затухания близок к критическому.

Пружинный маятник - это колебательная система, состоящая из материальной точки массой т и пружины. Рассмотрим горизонтальный пружинный маятник (рис. 13.12, а). Он представляет собой массивное тело, просверленное посередине и надетое на горизонтальный стержень, вдоль которого оно может скользить без трения (идеальная колебательная система). Стержень закреплен между двумя вертикальными опорами. К телу одним концом прикреплена невесомая пружина. Другой ее конец закреплен на опоре, которая в простейшем случае находится в покое относительно инерциальной системы отсчета, в которой происходят колебания маятника. В начале пружина не деформирована, и тело находится в положении равновесия С. Если, растянув или сжав пружину, вывести тело из положения равновесия, то со стороны деформированной пружины на него начнет действовать сила упругости, всегда направленная к положению равновесия. Пусть мы сжали пружину, переместив тело в положение А, и отпустили \((\upsilon_0=0).\) Под действием силы упругости оно станет двигаться ускоренно. При этом в положении А на тело действует максимальная сила упругости, так как здесь абсолютное удлинение x m пружины наибольшее. Следовательно, в этом положении ускорение максимальное. При движении тела к положению равновесия абсолютное удлинение пружины уменьшается, а следовательно, уменьшается ускорение, сообщаемое силой упругости. Но так как ускорение при данном движении сонаправлено со скоростью, то скорость маятника увеличивается и в положении равновесия она будет максимальна. Достигнув положения равновесия С, тело не остановится (хотя в этом положении пружина не деформирована, и сила упругости равна нулю), а обладая скоростью, будет по инерции двигаться дальше, растягивая пружину. Возникающая при этом сила упругости направлена теперь против движения тела и тормозит его. В точке D скорость тела окажется равной нулю, а ускорение максимально, тело на мгновение остановится, после чего под действием силы упругости начнет двигаться в обратную сторону, к положению равновесия. Вновь пройдя его по инерции, тело, сжимая пружину и замедляя движение, дойдет до точки А (так как трение отсутствует), т.е. совершит полное колебание. После этого движение тела будет повторяться в описанной последовательности. Итак, причинами свободных колебаний пружинного маятника являются действие силы упругости, возникающей при деформации пружины, и инертность тела.

По закону Гука \(~F_x=-kx.\) По второму закону Ньютона \(~F_x = ma_x.\) Следовательно, \(~ma_x = -kx.\) Отсюда

\(a_x = -\frac{k}{m}x\) или \(a_x + -\frac{k}{m}x = 0 \) - динамическое уравнение движения пружинного маятника.

Видим, что ускорение прямопропорционально смешению и противоположно ему направлено. Сравнивая полученное уравнение с уравнением гармонических колебаний \(~a_x + \omega^2 x = 0,\) видим, что пружинный маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой \(\omega = \sqrt \frac{k}{m}\) Так как \(T = \frac{2 \pi}{\omega},\) то

\(T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} }\)- период колебаний пружинного маятника.

По этой же формуле можно рассчитывать и период колебаний вертикального пружинного маятника (рис. 13.12. б). Действительно, в положении равновесия благодаря действию силы тяжести пружина уже растянута на некоторую величину x 0 , определяемую соотношением \(~mg=kx_0.\) При смещении маятника из положения равновесия O на х проекция силы упругости \(~F"_{ynpx} = -k(x_0 + x)\) и по второму закону Ньютона \(~ma_x=-k(x_0+ x) + mg.\) Подставляя сюда значение \(~kx_0=mg,\) получим уравнение движения маятника \(a_x + \frac{k}{m}x = 0,\) совпадающее с уравнением движения горизонтального маятника.

Измерение периода колебаний

Измерение времени

уменьшения амплитуды в 2 раза

Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. - Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. - С. 377-378.

Цель работы . Ознакомиться с основными характеристиками незатухающих и затухающих свободных механических колебаний.

Задача . Определить период собственных колебаний пружинного маятника; проверить линейность зависимости квадрата периода от массы; определить жесткость пружины; определить период затухающих колебаний и логарифмический декремент затухания пружинного маятника.

Приборы и принадлежности . Штатив со шкалой, пружина, набор грузов различной массы, сосуд с водой, секундомер.

1. Свободные колебания пружинного маятника. Общие сведения

Колебаниями называются процессы, в которых периодически изменяется одна или несколько физических величин, описывающих эти процессы. Колебания могут быть описаны различными периодическими функциями времени. Простейшими колебаниями являются гармонические колебания – такие колебания, при которых колеблющаяся величина (например, смещение груза на пружине) изменяется со временем по закону косинуса или синуса. Колебания, возникающие после действия на систему внешней кратковременной силы, называются свободными.

Если груз вывести из положения равновесия, отклонив на величину x , то сила упругости возрастает: F упр = – kx 2= – k (x 1 + x ). Дойдя до положения равновесия, груз будет обладать отличной от нуля скоростью и пройдет положение равновесия по инерции. По мере дальнейшего движения будет увеличиваться отклонение от положения равновесия, что приведет к возрастанию силы упругости, и процесс повторится в обратном направлении. Таким образом, колебательное движение системы обусловлено двумя причинами: 1) стремлением тела вернуться в положении равновесия и 2) инерцией, не позволяющей телу мгновенно остановиться в положении равновесия. В отсутствии сил трения колебания продолжались бы сколь угодно долго. Наличие силы трения приводит к тому, что часть энергии колебаний переходит во внутреннюю энергию и колебания постепенно затухают. Такие колебания называются затухающими.

Незатухающие свободные колебания

Сначала рассмотрим колебания пружинного маятника, на который не действуют силы трения – незатухающие свободные колебания. Согласно второму закону Ньютона c учетом знаков проекций на ось X

Из условия равновесия смещение, вызываемое силой тяжести: . Подставляя в уравнение (1), получим: Дифференциал" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">дифференциальное уравнение

https://pandia.ru/text/77/494/images/image008_28.gif" width="152" height="25 src=">. (3)

Данное уравнение называется уравнением гармонических колебаний . Наибольшее отклонение груза от положения равновесия А 0 называется амплитудой колебаний . Величина , стоящая в аргументе косинуса, называется фазой колебания . Постоянная φ0 представляет собой значение фазы в начальный момент времени (t = 0) и называется начальной фазой колебаний . Величина

есть круговая или циклическая частота собственных колебаний , связанная с периодом колебаний Т соотношением https://pandia.ru/text/77/494/images/image012_17.gif" width="125" height="55">. (5)

Затухающие колебания

Рассмотрим свободные колебания пружинного маятника при наличии силы трения (затухающие колебания). В простейшем и вместе с тем наиболее часто встречающемся случае сила трения пропорциональна скорости υ движения:

F тр = – rυ , (6)

где r – постоянная, называемая коэффициентом сопротивления. Знак минус показывает, что сила трения и скорость имеют противоположные направления. Уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось Х при наличии упругой силы и силы трения

ma = – kx – rυ . (7)

Данное дифференциальное уравнение с учетом υ = dx / dt можно записать

https://pandia.ru/text/77/494/images/image014_12.gif" width="59" height="48 src="> – коэффициент затухания ; – циклическая частота свободных незатухающих колебаний данной колебательной системы, т. е. при отсутствии потерь энергии (β = 0). Уравнение (8) называют дифференциальным уравнением затухающих колебаний .

Чтобы получить зависимость смещения x от времени t , необходимо решить дифференциальное уравнение (8)..gif" width="172" height="27">, (9)

где А 0 и φ0 – начальная амплитуда и начальная фаза колебаний;
– циклическая частота затухающих колебаний при ω >> https://pandia.ru/text/77/494/images/image019_12.gif" width="96" height="27 src=">. (10)

На графике функции (9), рис. 2, пунктирными линиями показано изменение амплитуды (10) затухающих колебаний.

Рис. 2. Зависимость смещения х груза от времени t при наличии силы трения

Для количественной характеристики степени затухания колебаний вводят величину, равную отношению амплитуд, отличающихся на период, и называемую декрементом затухания :

. (11)

Часто используют натуральный логарифм этой величины. Такой параметр называется логарифмическим декрементом затухания :

Амплитуда уменьшается в n раз, то из уравнения (10) следует, что

Отсюда для логарифмического декремента получаем выражение

Если за время t " амплитуда уменьшается в е раз (е = 2,71 – основание натурального логарифма), то система успеет совершить число колебаний

Рис. 3. Схема установки

Установка состоит из штатива 1 с измерительной шкалой 2 . К штативу на пружине 3 подвешиваются грузы 4 различной массы. При изучении затухающих колебаний в задании 2 для усиления затухания используется кольцо 5 , которое помещается в прозрачный сосуд 6 с водой.

В задании 1 (выполняется без сосуда с водой и кольца) в первом приближении затуханием колебаний можно пренебречь и считать гармоническими. Как следует из формулы (5) для гармонических колебаний зависимость T 2 = f (m ) – линейная, из которой можно определить коэффициент жесткости пружины k по формуле

где – угловой коэффициент наклона прямой T 2 от m .

Задание 1. Определение зависимости периода собственных колебаний пружинного маятника от массы груза.

1. Определить период колебаний пружинного маятника при различных значениях массы груза m . Для этого с помощью секундомера для каждого значения m трижды измерить время t полных n колебаний (n ≥10) и по среднему значению времени https://pandia.ru/text/77/494/images/image030_6.gif" width="57 height=28" height="28">. Результаты занести в табл. 1.

2. По результатам измерений построить график зависимости квадрата периода T 2 от массы m . Из углового коэффициента графика определить жесткость пружины k по формуле (16).

Таблица 1

Результаты измерений для определения периода собственных колебаний

3. Дополнительное задание. Оценить случайную , полную и относительную εt ошибки измерения времени для значения массы m = 400 г.

Задание 2. Определение логарифмического декремента затухания пружинного маятника.

1. На пружину подвесить груз массой m = 400 г с кольцом и поместить в сосуд с водой, так чтобы кольцо полностью находилось в воде. Определить период затухающих колебаний для данного значения m по методу, изложенному в п. 1 задания 1. Измерения повторить три раза и результаты занести в левую часть табл. 2.

2. Вывести маятник из положения равновесия и, отметив по линейке его начальную амплитуду, измерить время t " , в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в 2 раза. Измерения произвести три раза. Результаты занести в правую часть табл. 2.

Таблица 2

Результаты измерений

для определения логарифмического декремента затухания

4. Контрольные вопросы и задания

1. Какие колебания называются гармоническими? Дайте определение их основных характеристик.

2. Какие колебания называются затухающими? Дайте определение их основных характеристик.

3. Поясните физический смысл логарифмического декремента затухания и коэффициента затухания.

4. Вывести зависимости от времени скорости и ускорения груза на пружине, совершающего гармонические колебания. Привести графики и проанализировать.

5. Вывести зависимости от времени кинетической, потенциальной и полной энергии для груза, колеблющегося на пружине. Привести графики и проанализировать.

6. Получить дифференциальное уравнение свободных колебаний и его решение.

7. Построить графики гармонических колебаний с начальными фазами π/2 и π/3.

8. В каких пределах может изменяться логарифмический декремент затухания?

9. Привести дифференциальное уравнение затухающих колебаний пружинного маятника и его решение.

10. По какому закону изменяется амплитуда затухающих колебаний? Являются ли затухающие колебания периодическими?

11. Какое движение называется апериодическим? При каких условиях оно наблюдается?

12. Что называется собственной частотой колебаний? Как она зависит от массы колеблющегося тела для пружинного маятника?

13. Почему частота затухающих колебаний меньше частоты собственных колебаний системы?

14. Подвешенный к пружине медный шарик совершает вертикальные колебания. Как изменится период колебаний, если к пружине подвесить вместо медного шарика алюминиевый того же радиуса?

15. При каком значении логарифмического декремента затухания колебания затухают быстрее: при θ1 = 0,25 или θ2 = 0,5? Привести графики этих затухающих колебаний.

Библиографический список

1. Трофимова Т. И . Курс физики / . – 11-е изд. – М. : Академия, 2006. – 560 с.

2. Савельев И. В . Курс общей физики: в 3 т. / . – СПб. : Лань, 2008. – Т. 1. – 432 с.

3. Ахматов А. С . Лабораторный практикум по физике / .
– М. : Высш. шк., 1980. – 359 с.

На рис. 16 изображена подвешенная вертикально пружина. К нижнему ее концу прикреплен шарик, имеющий массу . Изображена также координатная ось , направленная вертикально вниз. Считаем, что начало оси координат, совпадает с центром шарика, когда пружина находится в ненапряженном состоянии. Однако в момент времени она выведена из состояния покоя мгновенным ее сжатием или растяжением, сопровождаемым, быть может, еще приданием шарику импульса (мгновенной скорости) в вертикальном направлении. Благодаря этому при пружина совершает вертикальные колебания.

Координата центра шарика есть функция от времени . Поставим задачу найти эту функцию.

Ускорение движения центра шарика есть производная второго порядка от . По закону Ньютона произведение массы шарика на ускорение его центра равно действующей на него силе. Если пренебречь весом шарика и сопротивлением воздуха, то придется учесть только силу напряжения в пружине. По закону Гука эта сила равна , где - положительный коэффициент, характеризующий упругие свойства пружины. Если , то пружина растянута, и сила напряжения направлена вверх, т.е. в наших обозначениях отрицательна, а если , то пружина сжата и указанная сила направлена вниз, т.е. положительна. В обоих случаях сила равна .

Итак, справедливо равенство

. (26)

Мы видим, что искомая функция удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению второго порядка (26).

Общее его решение, как мы знаем, имеет вид

где и - произвольные постоянные.

При функции вида (27) говорят, что она описывает гармоническое колебание с частотой .

Задача Коши для уравнения (26): , выражает, что мы хотим найти частное движение, соответствующее тому случаю, когда в момент центр шарика перемещен в точку и ему в этот момент придан импульс .

и, следовательно, движение центра шарика описывается функцией

Если учитывать вес шарика, то к правой части уравнения (25) надо еще добавить величину , где - ускорение земного притяжения. И тогда дифференциальное уравнение движения центра шарика запишется так:

Общее решение этого уравнения имеет вид

, (29)

где и - произвольные постоянные. Ведь решение есть сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Этот случай нахождения частного решения предусмотрен формулами (2)-(4) .

Из формулы (29) следует, что при

, .

Следовательно, задача Коши приводит к решению

Мы видим, что центр шарика описывает гармонические колебания возле точки, имеющей ординату .

Но наши рассмотрения будут еще ближе к действительности, если мы учтем силу сопротивления среды (воздуха) и терния, возникающего в пружине. Опыт показывает, что эта сила равна , где - положительный коэффициент, характеризующий среду и пружину.

Теперь уже дифференциальное уравнение движения (центра шарика) будет иметь вид

. (30)

Из физических соображений мы должны ожидать, что это движение совершает затухающие колебания. Так оно и есть.

Характеристическое уравнение для дифференциального уравнения (30) имеет вид

Если , что на практике обычно имеет место, получим два комплексных корня

Частное решение уравнения (30) можно найти в виде постоянной . Очевидно , и, следовательно, общее решение уравнения (30) имеет вид

Как мы и ожидали, центр шарика совершает затухающие колебания. Эти колебания совершаются на оси вокруг точки . (Напомним, что начало координат помещено в точку, в которой находится центр шарика, когда пружина не напряжена.)

Очевидно,

Рассмотрим еще движение (центр шарика), описываемое дифференциальным уравнением

. (32) растет к .

Решение уравнения (32) есть сумма соответствующего ему решения однородного уравнения и некоторого его частного решения. На языке механики в этом случае говорят, что колебание системы есть сумма собственного и вынужденного колебаний этой системы.

С математической точки зрения тот факт, что частное решение уравнения (32) имеет вид , где - постоянная, объясняется тем, что число (см. пример 3) есть корень кратности 1 характеристического уравнения.

Механик этот факт выразил бы другими словами. Он сказал бы, что в данном случае частота собственного колебания системы равна частоте колебания внешней силы. Равенство этих частот, приводит к резонансу – система колеблется с той же частотой, но с неограниченно возрастающей при амплитудой.

Другое дело, если указанные частоты различны, тогда резонанса нет. Например, в примере 2 указанные частоты различны и любое движение системы имеет ограниченную амплитуду.