Вывод формулы индукции магнитного поля кругового тока. Магнитное поле кругового тока

Элемент тока I dl возбуждает магнитное поле dB, перпендикулярное к радиусу-вектору r. Разложим это поле на две слагающие: осевую слагающую dB z и радикальную слагающую dB r . При интегрировании по контуру кругового тока радиальные слагающие взаимно уничтожаются. Результирующее поле будет направлено вдоль оси Z, и надо интегрировать только осевую составляющую

Угол один и тот же для всех точек кругового тока. Интегрирование сводится к простому умножению на длину контура 2πa. Таким образом,

4) Индукция маг. Поля на оси соленоида.

Поэтому маг-ю индукцию на оси соленоида можно получить проинтегрировав индукции от отдельных круговых токов, согласно расчетов:

n-число витков на единицу длины соленоида.

Направление вектора B вдоль оси соленоида по правилу буравчика.

33. Закон Ампера. Взаимодействие параллельных токов.

На всякую рамку с током, помещенную в маг. поле, действует пара сил. Можно предположить, что эта пара сил, создается силами, действующими на каждый элемент контура тока, находящихся в маг. поле.

Магнитное поле оказывает на рамку с током ориентирующее действие. Следовательно, вращающий момент, испытываемый рамкой, есть результат действия сил на отдельные ее элементы. Ампер установил, что сила dF , с которой магнитное поле действует на элемент проводника dl с током, находящегося в магнит­ном поле, равна

где dl -вектор, совпадающий по направлению с током, В - вектор магнитной индукции.

Направление вектора dF определяется правилом левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор В , а четыре вытянутых пальца рас­положить по направлению тока в проводнике, то отогнутый большой палец покажет направление силы, действующей на ток.

Модуль силы Ампера вычисляется по формуле

где a -угол между векторами dl и В .

Закон Ампера применяется для определения силы взаимодействия двух токов. Рассмотрим два бесконечных прямолинейных параллельных тока I 1 и I 2 , расстояние между которыми равно R. Каждый из провод­ников создает магнитное поле, которое действует по закону Ампера на другой провод­ник с током. Можно показать, что два параллельных тока, одинакового направления, притягиваются друг с силой

Если токи имеют противоположные направления, то, используя правило левой руки, можно показать, что между ними действует сила отталкивания, определяемая формулой.

34. Магнитная постоянная. Единицы магнитной индукции и напряженности магнитного поля. Магнитное поле движущегося заряда.

Магнитная постоянная. Единицы магнитной индукции и напряженности магнитного поля

Если два параллельных проводника с током находятся в вакууме (m= 1), то сила взаимодействия на единицу длины проводника, равна

Для нахождения числового значения m 0 воспользуемся определением ампера, согласно

которому =2×10 –7 Н/м при I 1 = I 2 = 1 А и R = 1 м. Подставив это значение в фор­мулу, получим

гдегенри (Гн) - единица индуктивности.

Закон Ампера позволяет определить единицу магнитной индукции В. Предполо­жим, что элемент проводника dl с током I перпендикулярен направлению магнитного поля. Тогда закон Ампера запишется в виде d F =IB dl, откуда

Единица магнитной индукции - тесла (Тл): 1 Тл - магнитная индукция такого однородного магнитного поля, которое действует с силой 1 Н на каждый метр длины прямолинейного проводника, расположенного перпендикулярно направлению поля, если по этому проводнику проходит ток 1 А:

Так как m 0 = 4p×10 –7 Н/А 2 , а в случае вакуума (m = 1), согласно (109.3), B=m 0 H, то для данного случая

Единица напряженности магнитного поля -ампер на метр (А/м): 1 А/м - напря­женность такого поля, магнитная индукция которого в вакууме равна 4p×10 –7 Тл.

Магнитное поле движущегося заряда

Каждый проводник с током создает в окружающем пространстве магнитное поле. Электрический же ток представляет собой упорядоченное движение электрических зарядов. Поэтому можно сказать, что любой движущийся в вакууме или среде заряд создает вокруг себя магнитное поле. Обобщая общие данные: Закон точечного заряда q, свободно движущегося с нерелятивистской скоростью v . Под свободным движением заряда понимается его движение с постоянной скоростью. Этот закон выражается формулой

где r - радиус-вектор, проведенный от заряда Q к точке наблюдения М. Вектор В направлен перпендикулярно плоскости, в кото­рой расположены векторы v и r , а именно: его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от v к r .

Модуль магнитной индукции вычисляется по формуле

где a - угол между векторами v и r .

Приведенные закономерности (1) и (2) справедливы лишь при малых скоро­стях (v <<с) движущихся зарядов, когда электрическое поле свободно движущегося заряда можно считать электростатическим, т. е. создаваемым неподвижным зарядом, находящимся в той точке, где в данный момент времени расположен движущийся заряд.

Формула (1) определяет магнитную индукцию положительного заряда, движу­щегося со скоростью v . Если движется отрицательный заряд, то Q надо заменить на -Q. Скорость v - относительная скорость, т. е. скорость относительно наблюдателя. Вектор В в рассматриваемой системе отсчета зависиткак от времени, так и от положения точки М наблюдения. Поэтому следует подчеркнуть относительный харак­тер магнитного поля движущегося заряда.

36. Эффект Холла. Циркуляция вектора В для магнитного поля в вакууме.

Эффект Холла* (1879) - это возникновение в металле (или полупроводнике) с током плотностью j , помещенном в магнитное поле В , электрического поля в направлении, перпендикулярном В и j.

Поместим металлическую пластинку с током плотностью j в магнитное поле В , перпендикулярное j . При данном направлении j скорость носителей тока в металле - электронов - направлена справа налево. Электроны испытывают дейст­вие силы Лоренца, которая в данном случае направлена вверх. Таким образом, у верхнего края пластинки возникнет повышенная концентрация электронов (он зарядится отрицательно), а у нижнего - их недостаток (зарядится положительно). В результате этого между краями пластинки возникнет дополнительное поперечное электрическое поле, направленное снизу вверх. Когда напряженность Е B этого попереч­ного поля достигнет такой величины, что его действие на заряды будет уравновеши­вать силу Лоренца, то установится стационарное распределение зарядов в поперечном направлении. Тогда

где а - ширина пластинки, Dj - поперечная (холловская) разность потенциалов.

Учитывая, что сила тока I=jS=nevS (S - площадь поперечного сечения пластинки толщиной d, п - концентрация электронов, v - средняя скорость упорядоченного движения электронов), получим

т. е. холловская поперечная разность потенциалов прямо пропорциональна магнитной индукции В, силе тока I и обратно пропорциональна толщине пластинки d. В формуле (1) R= 1/ (en ) - постоянная Холла , зависящая от вещества. По измеренному значе­нию постоянной Холла можно: 1) определить концентрацию носителей тока в провод­нике (при известных характере проводимости и заряда носителей); 2) судить о природе проводимости полупроводников (см. § 242, 243), так как знак постоянной Холла совпадает со знаком заряда е носителей тока. Эффект Холла поэтому - наиболее эффективный метод изучения энергетического спектра носителей тока в металлах и полупроводниках.

§ 118. Циркуляция вектора В магнитного поля в вакууме

Циркуляцией вектора В по заданно­му замкнутому контуру называется интеграл

где dl - вектор элементарной длины контура, направленной вдоль обхода контура, B l =B cosa - составляющая вектора В в направлении касательной к контуру (с учетом выбранного направления обхода), a - угол между векторами В и dl .

Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора В):

циркуляция вектора В по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной m 0 на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим кон­туром: (2)

где n - число проводников с токами, охватываемых контуром L произвольной формы. Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Положительным считается ток, направление которого образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему; ток противоположного направления считается отрицательным. Например, для системы токов, изображенных на рис.,

Выражение (2) справедливо только для поля в вакууме, поскольку, как будет показано ниже, для поля в веществе необходимо учитывать молекулярные токи.

Представим себе замкнутый контур в виде окружности радиуса r. В каждой точке этого контура вектор В одинаков по модулю и направлен по касатель­ной к окружности (она является и линией магнитной индукции). Следовательно, циркуляция вектораВ равна

Согласно выражению (2), получим В× 2pr=m 0 I (в вакууме), откуда

Сравнивая выражения (3) и (4) для циркуляции векторов Е и В , видим, что между ними существует принципиальное различие. Циркуляция вектора Е электростати­ческого поля всегда равна нулю, т. е. электростатическое поле является потенциаль­ным. Циркуляция вектора В магнитного поля не равна нулю. Такое поле называется вихревым.

37. Магнитное поле соленоида и тороида.

Рассмотрим соленоид длиной l , имеющий N витков, по которому течет ток. Длину соленоида считаем во много раз больше, чем диаметр его витков, т. е. рассматриваемый соленоид бесконечно длинный. Магнитного поля внутри соленоида поле является однородным, вне соленоида - неоднородным и очень слабым.

На рис. представлены линии магнитной индукции внутри и вне соленоида. Чем соленоид длиннее,тем меньше магнитная индукция вне его. Поэтому приближенно можно считать, что поле бесконечно длинного соленоида сосредоточено целиком внутри него, а полем вне соленоида можно пренебречь.

Для нахождения магнитной индукции В выберем замкнутый прямоугольный кон­тур ABCDA, как показано на рис. Циркуляция вектора В по замкнутому контуру ABCDA, охватывающему все N витков, равна

Интеграл по ABCDA можно представить в виде четырех интегралов: по АВ, ВС, CD и DA. На участках АВ и CD контур перпендикулярен линиям магнитной индукции и B l = 0. На участке вне соленоида B =0. На участке DA циркуляция вектора В равна Вl (контур совпадает с линией магнитной индукции); следовательно,

Из (1) приходим к выражению для магнитной индукции поля внутри соленоида (в вакууме): (2)

Получили, что поле внутри соленоида однородно . Корректно рассчитать поле внутри соленоида можно, применяя закон Био - Савара - Лапласа; в результате получается та же формула (2).

Важное значение для практики имеет также магнитное поле тороида - кольцевой катушки, витки которой намотаны на сердечник, имеющий форму тора. Магнитное поле, как показывает опыт, сосредоточено внутри тороида, вне его поле отсутствует.

Линии магнитной индукции в данном случае, окружности, центры которых расположены по оси тороида. В качестве контура выберем одну такую окружность радиуса r . Тогда, по теореме о циркуляции , B× 2pr=m 0 NI, откуда следует, что магнитная индукция внутри тороида (в вакууме)

где N - число витков тороида.

Если контур проходит вне тороида, то токов он не охватывает и B× 2pr= 0. Это означает, что поле вне тороида отсутствует.

38. Поток вектора магнитной индукции. Теорема Гаусса для магнитного поля, в том числе в дифференциальной форме.

Потоком вектора магнитной индукции (магнитным потоком) через площадку dS называ­ется скалярная физическая величина, равная

где B n =В cos a - проекция вектора В на направление нормали к площадке dS (a - угол между векторами n и В ), dS =dS n - вектор, модуль которого равен dS, а направление его совпадает с направлением нормали n к площадке. Поток вектора В может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от знака cos a (определяется выбором положительного направления нормали n ). Поток вектора В связывают с контуром, по которому течет ток. В таком случае положительное направление нормали к контуру связывается с током правилом правого винта. Таким образом, магнитный поток, создаваемый контуром через поверхность, ограниченную им самим, всегда положителен.

Поток вектора магнитной индукции Ф B через произвольную поверхность S равен (1)

Для однородного поля и плоской поверхности, расположенной перпендикулярно вектору В , B n =B=const и

Из этой формулы определяется единица магнитного потока вебер (Вб): 1 Вб - маг­нитный поток, проходящий сквозь плоскую поверхность площадью 1 м 2 , расположен­ную перпендикулярно однородному магнитному полю, индукция которого равна 1 Тл (1 Вб=1 Тл×м 2).

Теорема Гаусса для поля: поток вектора магнитной индукции сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю:

Пусть V - объем ограничивающий рассматриваемой поверхности. Тогда, при стягивании закм-й поверхности в точку, получаем

Т.о., в любой точке пространства =0 (а в электростатике , и только в тех местах, где нет объемных зарядов ρ=0, ).

В силу равенства (2), в области маг. явлений не сущ-ет аналога эл-м зарядам.

Теорема Гаусса для маг. поля отражает факт отсутствия маг. зарядов, вследствии чего линии маг. индукции не имеют ни начало ни конца – они замк-ые.

Магнитный поток Вебера:

39,Магнитные моменты электронов и атомов.

Опыт показывает, что все вещества, помещенные в магнитное поле, намагничива­ются. Рассмотрим причину этого явления с точки зрения строения атомов и молекул, положив в основу гипотезу Ампера, согласно которой в любом теле существуют микроскопические токи, обусловленные движением электронов в атомах и молекулах.

Для качественного объяснения магнитных явлений с достаточным приближением можно считать, что электрон движется в атоме по круговым орбитам. Электрон, движущийся по одной из таких орбит, эквивалентен круговому току, поэтому он обладаеторбитальным магнитным моментом p m =IS n , модуль которого (1)

где I=en - сила тока, n - частота вращения электрона по орбите, S - площадь орбиты. Если электрон движется по часовой стрелке, то ток направлен против часовой стрелки и вектор р m (в соответствии с правилом правого винта) направлен перпендикулярно плоскости орбиты электрона, как указано на рисунке.

С другой стороны, движущийся по орбите электрон обладает механическим момен­том импульса L e , модуль которого (2)

где v = 2pn, pr 2 = S. Вектор L e (его направление также определяется по правилу правого винта) называется орбитальным механическим моментом электрона .

Из рис. следует, что направления р m и L e , противоположны, поэтому, учитывая выражения (1) и (2), получим

где величина (3)

называется гиромагнитным отношением орбитальных моментов. Это отношение, определяемое универсальными постоянными, одинаково для любой ор­биты, хотя для разных орбит значения v и r различны. Формула (3) выведена для круговой орбиты, справедлива и для эллиптических орбит.

Экспериментальное определение гиромагнитного отношения проведено в опытах Эйнштейна и де Гааза, которые наблюдали поворот свободно подвешенного на тончайшей кварцевой нити железного стержня при его намагничении во внешнем магнитном поле (по обмотке соленоида пропускался переменный ток с частотой, равной частоте крутильных колебаний стержня). При исследовании вынужденных крутильных колебаний стержня определялось гиромагнитное отношение, которое ока­залось равным – (e/m ). Таким образом, знак носителей, обусловливающих молекуляр­ные токи, совпадал со знаком заряда электрона, а гиромагнитное отношение оказалось в два раза большим, чем введенная ранее величина g (3). Для объяснения этого результата, имевшего большое значение для дальнейшего развития физики, было предположено, а впоследствии доказано, что кроме орбитальных моментов (1) и (2) электрон обладает собственным механическим моментом импульса L es , называ­емым спином . В настоящее время установлено, что спин является неотъемлемым свойством электрона, подобно его заряду и массе. Спину электрона L es , соответствует собственный (сотовый) магнитный момент р ms , пропорци­ональный L es и направленный в противоположную сторону:

Величина g s называетсягиромагнитным отношением спиновых моментов.

Проекция собственного магнитного момента на направление вектора В может принимать только одно из следующих двух значений:

где ħ=h/ (2p) (h- постоянная Планка), m b -магнетон Бора, являющийся единицей магнитного момента электрона.

Общий магнитный момент атома (молекулы) p a равен векторной сумме магнитных моментов (орбитальных и спиновых) входящих в атом (молекулу) электронов:

40. Диамагнетики и парамагнетики

Вещества, способные влиять на маг. поле – магнетики. Под влиянием электростатического поля, диэлектрик приходит в особое состояние – поляризация. Т.е., на границах диэлектрика и в обл-х где он неоднороден, возникают эл-е связанные заряды. Они создают свое электро-стат. поле, которое складывается с первоначальным эл-стат полем. Тогда суммарная напряженность эл-стат поля:

E 0­ – первоначальное эл-стат. поле

E - поле, возникающие в результате поля диэлектрика.

Точно также, всякий магнетик, находящийся в маг. поле, текущих по проводам намагничиваются.

В – вектор маг-ой индукции, хар-ий маг-е поле, создаваемое всеми макро и микропотоками.

Н – вектор напряженности, хар-ий маг-е поле макротоков.

=> маг-е поел в вещ-ве складывается из двух полей: внеш. поля, создаваемого током и полем создаваемого намогничиванием вещ-м. Тогда вектор маг. индукции результирующего маг. поля равно векторной сумме маг-х индукций внеш. поля B 0 и поля микротока B

Вещ-ва, для которых сонаправлен с , называется парамагнетиками (платина, алюминий, редкоземельные элементы).Вещ-ва для которых противоположны с называют диамагнетиками (висмут, серебро, золото, медь).

Т.е., парамагнетики намагничиваются вдоль маг. поля, в результате чего они притягиваются к ист-ку внеш. поля. Диамагнетики намагничиваются против поля и отталкиваются от ист-ка внеш. поля.

Для всех диамагнитных тел и большинства парамагнитных довольно мало по сравнению с . Однако сущ-ет группа тел, для которых может быть велико по сравнению с . Такие тела выделяются в особую группу фугромагнитных тел (железо, никель, коболь и др-е). Эти вещ-ва в 10 3 - 10 4 сильнее притягивается к ист-ку внеш. поля, т.е. они сильно намагничиваются вдоль поля.

По гипотезе Ампера, в молекулах парамагнитных вещ-в имеются круговые токи, названные молекулярными токами.

Когда нет внеш. маг-го поля оси этих токов расположены беспорядочно и создаваемые ими маг-е поле в среднем равно 0. Под влиянием маг. поля эти круговые токи ориентируются, при этом они создадут маг-е поле, дающее в среднем индукцию отличную от нуля индукцию она прибавится к первоначальной маг-ой индукции поля . Т.о., объясняется увеличение суммарной магнитной индукции в вещ-ве. Т.е., намагничивание парамагнетика сводится к определенной ориентации его молекулярных токов.

Круговые токи возникают лишь при возбуждении внеш. маг-м полем. Направление этих индуцированных токов таково, что создаваемое ими маг-е поле, направлено против внеш. маг. поля. Этим объясняется уменьшение индукции поля в диамагнитной среде.

41. Магнитное поле в веществе. Магнитная проницаемость. Закон полного тока для магнитного поля в веществе, теорема о циркуляции вектора Н.

Намагниченность. Магнитное поле в веществе

Подобно тому, как для количественного описания поляризации диэлектриков вводи­лась поляризованность (см. § 88), для количественного описания намагничения магнетиков вводят векторную величину - намагниченность, определяемую магнитным моментом единицы объема магнетика:

где - магнитный момент магнетика, представляющий собой векторную сумму магнитных моментов отдельных молекул (см. (131.6)).

Рассматривая характеристики магнитного поля (см. § 109), мы вводили вектор магнитной индукции В , характеризующий результирующее магнитное поле, создава­емое всеми макро- и микротоками, и вектор напряженности Н , характеризующий магнитное поле макротоков. Следовательно, магнитное поле в веществе складывается из двух полей: внешнего поля, создаваемого током, и поля, создаваемого намагничен­ным веществом. Тогда можем записать, что вектор магнитной индукции результирующего магнитного ноля в магнетике равен векторной сумме магнитных индукций внешнего поля В 0 (поля, создаваемого намагничивающим током в вакууме) и поля микротоков В " (поля, создаваемого молекулярными токами): (133.1)

где В 0 =m 0 Н (см. (109.3)).

Для описания поля, создаваемого молекулярными токами, рассмотрим магнетик в виде кругового цилиндра сечения S и длины l , внесенного в однородное внешнее магнитное поде с индукцией В 0 . Возникающее в магнетике магнитное поле молекуляр­ных токов будет направлено противоположно внешнему полю для диамагнетиков и совпадать с ним по направлению для парамагнетиков. Плоскости всех молекулярных токов расположатся перпендикулярно вектору В 0 , так как векторы их магнитных моментовp m антипараллельны вектору В 0 (для диамагнетиков) и параллельны В 0 (для парамагнетиков). Если рассмотреть любое сечение цилиндра, перпендикулярное его оси, то во внутренних участках сечения магнетика молекулярные токи соседних атомов направлены навстречу друг другу и взаимно компенсируются (рис. 189). Нескомпенсированными будут лишь молекулярные токи, выходящие на боковую поверхность цилиндра.

Ток, текущий по боковой поверхности цилиндра, подобен току в соленоиде и созда­ет внутри него поле, магнитную индукцию В" которого можно вычислить, учитывая формулу (119.2) для N = 1 (соленоид из одного витка): (133.2)

где I" - сила молекулярного тока, l - длина рассматриваемого цилиндра, а магнит­ная проницаемость m принята равной единице.

С другой стороны, I"/l - магнитной восприимчивостью вещества. Для диамагнстихов c отрицательна (поле молекулярных токов противоположно вне­шнему), для парамагнетиков - положительна (поле молекулярных токов совпадает с внешним).

Используя формулу (133.6), выражение (133.4) можно записать в виде (133.7)

Безразмерная величина (133.8)

представляет собой магнитную проницаемость вещества. Подставив (133.8) в (133.7), придем к соотношению (109.3) В =m 0 m Н , которое ранее постулировалось.

Так как абсолютное значение магнитной восприимчивости для диа- и парамаг­нетиков очень мало (порядка 10 –4 -10 –6), то для них m незначительно отличается от единицы. Это просто понять, так как магнитное поле молекулярных токов значительно слабее намагничивающего поля. Таким образом, для диамагнетиков c<0 и m <1, для парамагнетиков c>0 и m >1.

Закон полного тока для магнитного поля в веществе (теорема о циркуляции вектора В) является обобщением закона (118.1):

где I и I" - соответственно алгебраические суммы макротоков (токов проводимости) и микротоков (молекулярных токов), охватываемых произвольным замкнутым кон­туром L. Таким образом, циркуляция вектора магнитной индукции В по произволь­ному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов проводимости и молеку­лярных токов, охватываемых этим контуром, умноженной на магнитную постоянную. Вектор В , таким образом, характеризует результирующее поле, созданное как мак­роскопическими токами в проводниках (токами проводимости), так и микроскопичес­кими токами в магнетиках, поэтому линии вектора магнитной индукции В не имеют источников и являются замкнутыми.

Из теории известно, что циркуляция намагниченности J по произвольному замкну­тому контуру L равна алгебраической сумме молекулярных токов, охватываемых этим контуром:

Тогда закон полного тока для магнитного поля в веществе можно записать также в виде (133.9)

где I, подчеркнем это еще раз, есть алгебраическая сумма токов проводимости.

Выражение, стоящее в скобках в (133.9), согласно (133.5), есть не что иное, как введенный ранее вектор H напряженности магнитного поля. Итак, циркуляция вектора Н по произвольному замкнутому контуру L равна алгебраической сумме токов проводимости, охватываемых этим контуром: (133.10)

Выражение (133.10) представляет собой теорему о циркуляции вектора Н .

Вначале решим более общую задачу нахождения магнитной индукции на оси витка с током. Для этого сделаем рисунок 3.8, на котором изобразим элемент тока и вектор магнитной индукции , который он создает на оси кругового контура в некоторой точке .

Рис. 3.8 Определение магнитной индукции

на оси кругового витка с током

Вектор магнитной индукции , создаваемый бесконечно малым элементом контура может быть определен с помощью закона Био-Савара-Лапласа (3.10).

Как следует из правил векторного произведения, магнитная индукция будет перпендикулярна плоскости, в которой лежат вектора и , поэтому модуль вектора будет равен

.

Для нахождения полной магнитной индукции от всего контура необходимо векторно сложить от всех элементов контура, т. е. фактически сосчитать интеграл по длине кольца

Данный интеграл можно упростить, если представить в виде суммы двух составляющих и

При этом в силу симметрии , поэтому результирующий вектор магнитной индукции будет лежать на оси . Следовательно, для нахождения модуля вектора нужно сложить проекции всех векторов , каждая из которых равна

.

Учитывая, что и , получим для интеграла следующее выражение

Нетрудно заметить, что вычисление получившегося интеграла даст длину контура, т. е. . В итоге суммарная магнитная индукция, создаваемая круговым контуром на оси в точке , равна

. (3.19)

Используя магнитный момент контура, формулу (3.19) можно переписать следующим образом

.

Теперь отметим, что полученное в общем виде решение (3.19) позволяет проанализировать предельный случай, когда точка помещена в центре витка. В этом случае и решение для магнитной индукции поля в центре кольца с током примет вид

Результирующий вектор магнитной индукции (3.19) направлен вдоль оси тока, а его направление связано с направлением тока правилом правого винта (рис. 3.9).

Рис. 3.9 Определение магнитной индукции

в центре кругового витка с током

Индукция магнитного поля в центре дуги окружности

Данная задача может быть решена как частный случай рассмотренной в предыдущем пункте задачи. В этом случае интеграл в формуле (3.18) следует брать не по всей длине окружности, а только по ее дуге l . А также учесть то, что индукция ищется в центре дуги, поэтому . В результате получим

, (3.21)

где – длина дуги; – радиус дуги.

5 Вектор индукции магнитного поля движущегося в вакууме точечного заряда (без вывода формулы)

,

где – электрический заряд; – постоянная нерелятивистская скорость; – радиус-вектор, проведенный от заряда к точке наблюдения.

Силы Ампера и Лоренца

Опыты по отклонению рамки с током в магнитном поле показывают, что на всякий проводник с током, помещенный в магнитное поле, действует механическая сила, называемая силой Ампера .

Закон Ампера определяет силу, действующую на проводник с током, помещенный в магнитное поле:

; , (3.22)

где – сила тока; – элемент длины провода (вектор совпадает по направлению с током ); – длина проводника. Сила Ампера перпендикулярна направлению тока и направлению вектора магнитной индукции.

Если прямолинейный проводник длиной находится в однородном поле, то модуль силы Ампера определяется выражением (рис. 3.10):

Сила Ампера всегда направлена перпендикулярно плоскости, содержащей векторы и , а ее направление как результат векторного произведения определяется правилом правого винта: если смотреть вдоль вектора , то поворот от к по кратчайшему пути должен происходить по часовой стрелке.

Рис. 3.10 Правило левой руки и правило буравчика для силы Ампера

С другой стороны, для определения направления силы Ампера можно также применить мнемоническоеправило левой руки (рис. 3.10): нужно поместить ладонь так, чтобы силовые линии магнитной индукции входили в нее, вытянутые пальцы показывали направление тока, тогда отогнутый большой палец укажет направление силы Ампера.

Исходя из формулы (3.22), найдем выражение для силы взаимодействия двух бесконечно длинных, прямых, параллельных друг другу проводников, по которым текут токи I 1 и I 2 (рис. 3.11) (опыт Ампера). Расстояние между проводами равно a.

Определим силу Ампера dF 21 , действующую со стороны магнитного поля первого тока I 1 на элемент l 2 dl второго тока.

Величина магнитной индукции этого поля B 1 в точке расположения элемента второго проводника с током равна

Рис. 3.11 Опыт Ампера по определению силы взаимодействия

двух прямолинейных токов

Тогда с учетом (3.22) получим

. (3.24)

Рассуждая точно так же, можно показать, что сила Ампера, действующая со стороны магнитного поля, создаваемого вторым проводником с током, на элемент первого проводника I 1 dl , равна

,

т. e. dF 12 = dF 21 . Таким образом, мы вывели формулу (3.1), которая была получена Ампером экспериментальным путем.

На рис. 3.11 показано направление сил Ампера. В случае, когда токи направлены в одну и ту же сторону, то это ‑ силы притяжения, а в случае токов разного направления ‑ силы отталкивания.

Из формулы (3.24), можно получить силу Ампера, действующую на единицу длины проводника

. (3.25)

Таким образом, сила взаимодействия двух параллельных прямых проводников с токами прямо пропорциональна произведению величин токов и обратно пропорциональна расстоянию между ними .

Закон Ампера утверждает, что на элемент с током, помещенный в магнитное поле, действует сила. Но всякий ток есть перемещение заряженных частиц. Естественно предположить, что силы, действующие на проводник с током в магнитном поле, обусловлены силами, действующими на отдельные движущиеся заряды. Этот вывод подтверждается рядом опытов (например, электронный пучок в магнитном поле отклоняется).

Найдем выражение для силы, действующей на заряд, движущийся в магнитном поле, исходя из закона Ампера. Для этого в формулу, определяющую элементарную силу Ампера

подставим выражение для силы электрического тока

,

где I – сила тока, протекающего через проводник; Q – величина полного заряда протекшего за время t ; q – величина заряда одной частицы; N – общее число заряженных частиц, прошедших через проводник объемом V , длиной l и сечением S; n – число частиц в единице объема (концентрация); v – скорость частицы.

В результате получим:

. (3.26)

Направление вектора совпадаёт с направлением скорости v , поэтому их можно поменять местами.

. (3.27)

Эта сила действует на все движущиеся заряды в проводнике длиной и сечением S , число таких зарядов:

Следовательно, сила, действующая на один заряд, будет равна:

. (3.28)

Формула (3.28) определяет силу Лоренца , величина которой

где a - угол между векторами скорости частицы и магнитной индукции.

В экспериментальной физике часто встречается ситуация, когда заряженная частица движется одновременно и в магнитном и электрическом поле. В этом случае рассматривают полную силу Лоренца в виде

,

где – электрический заряд; – напряженность электрического поля; – скорость частицы; – индукция магнитного поля.

Только в магнитном поле на движущуюся заряженную частицу действует магнитная составляющая силы Лоренца (рис. 3.12)

Рис. 3.12 Сила Лоренца

Магнитная составляющая силы Лоренца перпендикулярна вектору скорости и вектору магнитной индукции. Она не изменяет величины скорости, а изменяет только ее направление, следовательно, работы не совершает.

Взаимная ориентация трех векторов ‑ , и , входящих в (3.30), показана на рис. 313 для положительно заряженной частицы.

Рис. 3.13 Сила Лоренца, действующая на положительный заряд

Как видно из рис. 3.13, если частица влетает в магнитное поле под углом к силовым линиям , то она равномерно движется в магнитном поле по окружности радиусом и периодом обращения:

где – масса частицы.

Отношение магнитного момента к механическому L (моменту импульса) заряженной частицы, движущейся по круговой орбите,

где ‑ заряд частицы; т ‑ масса частицы.

Рассмотрим общий случай движения заряженной частицы в однородном магнитном поле, когда ее скорость направлена под произвольным углом a к вектору магнитной индукции (рис. 3.14). Если заряженная частица влетает в однородное магнитное поле под углом , то она движется по винтовой линии.

Разложим вектор скорости на составляющие v || (параллельную вектору ) и v ^ (перпендикулярную вектору ):

Наличие v ^ приводит к тому, что на частицу будет действовать сила Лоренца и она будет двигаться по окружности радиусом R в плоскости перпендикулярной вектору :

.

Период такого движения (время одного витка частицы по окружности) равен

.

Рис. 3.14 Движение по винтовой линии заряженной частицы

в магнитном поле

За счет наличия v || частица будет двигаться равномерно вдоль , так как на v || магнитное поле не действует.

Таким образом, частица участвует одновременно в двух движениях. Результирующая траектория движения представляет собой винтовую линию, ось которой совпадает с направлением индукции магнитного поля. Расстояние h между соседними витками называется шагом винтовой линии и равно:

.

Действие магнитного поля на движущийся заряд находит большое практическое применение, в частности, в работе электронно-лучевой трубки, где используется явление отклонения заряженных частиц электрическим и магнитным полями, а также в работе масс-спектрографов, позволяющих определить удельный заряд частиц (q/m ) и ускорителей заряженных частиц (циклотронов).

Рассмотрим один такой пример, назыаемый «магнитной бутылкой» (рис. 3.15). Пусть неоднородное магнитное поле создано двумя витками с токами, протекающими в одном направлении. Сгущение линий индукции в какой-либо пространнственной области означает большее значение величины магнитной индукции в этой области. Индукция магнитного поля вблизи витков с током больше, чем в пространстве между ними. По этой причине радиус винтовой линии траектории частицы, обратно пропорциональный модулю индукции, меньше вблизи витков, чем в пространстве между ними. После того, как частица, двигаясь вправо по винтовой линии, пройдет среднюю точку, сила Лоренца, действующая на чатицу, приобретает компоненту , тормозящую ее движение вправо. В определенный момент эта компонента силы останавливает движение частицы в этом направлении и отталкивает ее влево к витку 1. При приближении заряженной частицы к витку 1 она также тормозится и начинает циркулировать между витками, оказавшись в магнитной ловушке, или между «магнитными зеркалами». Магнитные ловушки используются для удержания в определенной области пространства высокотемпературной плазмы ( К) при управляемом термоядерном синтезе.

Рис. 3.15 Магнитная «бутылка»

Закономерностями движения заряженных частиц в магнитном поле можно объяснить особенности движения космических лучей вблизи Земли. Космические лучи – это потоки заряженных частиц большой энергии. При приближении к поверхности Земли эти частицы начинают испытывать действие магнитного поля Земли. Те из них, которые направляются к магнитным полюсам, будут двигаться почти вдоль линий земного магнитного поля и навиваться на них. Заряженные частицы, подлетающие к Земле вблизи экватора, направлены почти перпендикулярно к линиям магнитного поля, их траектория будет искривляться. и лишь самые быстрые из них достигнут поверхности Земли (рис. 3.16).

Рис. 3.16 Образование Полярного сияния

Поэтому интенсивность космических лучей доходящих до Земли вблизи экватора, заметно меньше, чем вблизи полюсов. С этим связан тот факт что, Полярное сияние наблюдается главным образом в приполярных областях Земли.

Эффект Холла

В 1880г. американский физик Холл провел следующий опыт: он пропускал постоянный электрический ток I через пластинку из золота и измерял разность потенциалов между противолежащими точками A и C на верхней и нижней гранях (рис. 3.17).

Движение электрического заряда означает перемещение присущего заряду электрического силового поля. Кинетика потенциального электрического поля проявляется в форме возникающего вихревого магнитного поля охватывающего ток. Для обнаружения магнитного поля в качестве индикатора может служить ферромагнитный стержень, обладающий свободой вращения (например, магнитная стрелка).

Подобно электрическому полю, магнитное также характеризуют напряженностью , однако определение этого понятия связано уже не с зарядом, как это было в случае потенциального электрического поля, а с током, т.е. движением электричества.

Направленное поступательное перемещение зарядов и вихревое магнитное поле, отображающие движение электрического поля этих зарядов, представляет собой две стороны единого электромагнитного процесса, называемое электрическим током.

Экспериментальное исследование магнитного поля токов провели в 1820 г. французские физики Ж. Био и Ф. Савар, а П. Лаплас теоретически обобщил результаты этих измерений, получив в итоге формулу (для магнитного поля в вакууме):

, (1)

где 1/4 – коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора единиц измерения;I – сила тока; – вектор, совпадающий с элементарным участком тока (рис. 3); – вектор, проведенный от элемента тока в ту точку, в которой определяется

Как видно из выражения (1), вектор
направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через и точку, в которой вычисляется поле, причем так, что вращение вокруг в направлении
связано с правилом правого винта (см. рис. 3). Для модуля dH можно написать следующее выражение:

, (2)

где  – угол между векторами и .

Р

ассмотрим поле, создаваемое током, текущим по тонкому проводу, имеющим форму окружности радиусомR (круговой ток). Определим напряженность магнитного поля в центра кругового тока (рис. 4). Каждый элемент тока создает в центре напряженность, направленную вдоль положительной нормали к контуру. Поэтому векторное сложение
сводится к сложению их модулей.

По формуле рассчитаем dH для случая   /2:

. (3)

Проинтегрируем это выражение по всему контуру, учитывая, что r  R :

H 
. (4)

Если контур состоит из n витков, то напряженность магнитного поля в центре его будет равна

H  . (5)

Описание аппаратуры и метода измерений

Целью данной работы является определение величиныH 0. Для измерения H 0 применяется прибор, называемый тангенс- гальванометром, который состоит из кольцеобразного проводника или очень плоской катушки большого радиуса. Плоскость катушки расположена вертикально, и вращением около вертикальной оси ей можно придать любое положение.

В центре катушки укреплен компас с очень короткой магнитной стрелкой. Рис. 5 дает сечение прибора горизонтальной плоскостью проходящей через центр витка, где NS – направление магнитного меридиана, AD – сечение катушки горизонтальной плоскостью, ab – магнитная стрелка компаса.

При отсутствии тока в катушке на стрелку abдействует только магнитное поле Земли и стрелка устанавливается по направлению магнитного меридиана NS.

Если по катушке пропускать ток, то стрелка отклоняется на угол . Теперь магнитная стрелка abнаходится под действием двух полей: магнитного поля Земли () и магнитного поля, созданного током ().

В условиях совмещения витка с плоскостью меридиана векторы и взаимно перпендикулярны, тогда (см. рис. 5):

;
. (6)

Так как длина магнитной стрелки ab мала по сравнению с радиусом витка, то в пределах стрелки H можно считать постоянной (поле однородно) и равным ее значению в центре катушки, определяемого формулой (5).

Решая совместно уравнения (5) и (6), получим:

. (7)

Этой расчетной формулой пользуются для определения H 0 в данной работе.

Магнетизм

Характеристики магнитного поля (напряженность, индукция). Силовые линии, напряженность и магнитная индукция прямого тока, в центре кругового тока.

ИНДУКЦИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

Магнитная индукция - векторная величина: в каждой точке поля вектор магнитной индукции направлен по касательной к магнитным силовым линиям.

Наличие магнитного поля обнаруживается по силовому воздействию на внесенные в него проводники с током или постоянные магниты. Название «магнитное поле» связывают с ориентацией магнитной стрелки под действием поля, создаваемого током. Это явление было впервые обнаружено датским физиком Х. Эрстедом (1777-1851).

При исследовании магнитного поля были установлены два факта :

1. Магнитное поле действует только на движущиеся заряды;

2. Движущиеся заряды, в свою очередь создают магнитное поле.

Таким образом, мы видим, что магнитное поле существенно отличается от электростатического поля, которое действует как на движущиеся, так и на покоящиеся заряды.

Магнитное поле – силовое поле, действующее на движущиеся электрические заряды и на тела, обладающие магнитным моментом.

Любое магнитное поле обладает энергией, которая проявляет себя при взаимодействии с другими телами. Под влиянием магнитных сил движущиеся частички меняют направление своего потока. Магнитное поле появляется лишь вокруг тех электрических зарядов, которые находятся в движении. Всякое изменение электрического поля влечет за собой появление магнитных полей.

Обратное утверждение также верно: изменение магнитного поля - предпосылка к возникновению электрического. Такое тесное взаимодействие привело к созданию теории электромагнитных сил, с помощью которых и сегодня успешно объясняются различные физические явления.

Напряжённость магни́тного по́ля - векторная физическая величина, равная разности вектора магнитной индукции B и вектора намагниченности M . Обычно, обозначается символом Н .

Магнитное поле прямого и кругового токов.

Магнитное поле прямого тока, т е тока текущего по прямому проводу бесконечной длины

Магнитное поле элемента тока ,dl – элемент длины провода

Проинтегрировав в этих пределах последнее выражение получим магнитное поле равное:

Магнитное поле прямого тока

от всех элементов тока будет образовываться конус векторов , результирующий вектор направлен вверх по осиZ. Сложим проекции векторов на осьZ, тогда каждая проекция имеет вид:

Угол между и радиус векторомr равен .

Интегрируя по dl и учитывая , получим

- магнитное поле на оси кругового витка

Линии напряженности магнитного поля

Силовые линии магнитного поля – окружности. Линиями магнитного поля линии, проведенные так, что касательные к ним в каждой точке указывают направление поля в этой точке. линии поля чертятся так, чтобы их густота, т. е. число линий, проходящих через единицу площади, давала модуль магнитной индукции магнитного поля. Таким образом, мы будем получать «магнитные карты», способ построения и употребления которых аналогичен «электрическим картам» Главное отличие магнитного поля то, что линии его всегда оказываются замкнутыми. построение линий магнитного поля

Пусть в плоскости YZ располагается проволочный виток радиуса R, по которому течёт ток силы Á. Нас интересует магнитное поле, которое создаёт ток. Силовые линии вблизи витка такие: Поляризация света.Волновая оптика

Общая картина силовых линий тоже просматривается (рис.7.10). Сложение гармонических колебаний Если система участвует одновременно в нескольких колебательных процессах, то под сложением колебаний понимают нахождение закона, описывающий результиующий колебательный процесс.

По идее, нас интересовало бы поле , но в элементарных функциях указать поле этого витка нельзя. Найти можно только на оси симметрии. Мы ищем поле в точках (х,0,0).

Направление вектора определяется векторным произведением . Вектор имеет две составляющие: и . Когда мы начнём суммировать эти вектора, то все перпендикулярные составляющие в сумме дадут ноль. . А теперь пишем: , = , а . , и, наконец1), .

Мы добыли такой результат:

А теперь, в качестве проверки, поле в центре витка равна: .

Работа, совершаемая при перемещении контура с током в магнитном поле.

Рассмотрим отрезок проводника с током, способный свободно перемещаться по двум направляющим во внешнем магнитном поле (рис.9.5). Магнитное поле будем считать однородным и направленным под углом α по отношению к нормали к плоскости переме-щения проводника.

Рис.9.5 . Отрезок проводника с током в однородном магнитном поле.

Как видно из рис.9.5, вектор имеет две составляющие и , из которых только составляющая создает силу, действующую в плоскости перемещения проводника. По абсолютной величине эта сила равна:

,

где I – сила тока в проводнике; l – длина проводника; B – индукция магнитного поля.

Работа этой силы на элементарном пути перемещения ds есть:

Произведение lds равно площади dS , заметанной проводником при движении, а величинаBdScosα равна потоку магнитной индукции dФ через эту площадь. Следовательно, можем написать:

dA=IdФ .

Рассматривая отрезок проводника с током как часть замкнутого контура и интегрируя это соотношение, найдем работу при перемещении контура с током в магнитном поле:

A = I(Ф 2 – Ф 1)

где Ф 1 и Ф 2 обозначают поток индукции магнитного поля через площадь контура соответственно в начальном и конечном положениях.

Движение заряженных частиц

Однородном магнитном поле

Рассмотрим частный случай, когда нет электрического поля, но имеется магнитное поле. Предположим, что частица, обладающая начальной скоростью u0, попадает в магнитное поле с индукцией B. Это поле мы будем считать однородным и направленным перпендикулярно к скорости u0.

Основные особенности движения в этом случае можно выяснить, не прибегал к полному решению уравнений движения. Прежде всего, отметим, что действующая на частицу сила Лоренца всегда перпендикулярна к скорости движения частицы. Это значит, что работа силы Лоренца всегда равна нулю; следовательно, абсолютное значение скорости движения частицы, а значит, и энергия частицы остаются постоянными при движении. Так как скорость частицы u не изменяется, то величина силы Лоренца

остается постоянной. Эта сила, будучи перпендикулярной, к направлению движения, является центростремительной силой. Но движение под действием постоянной по величине центростремительной силы есть движение по окружности. Радиус r этой окружности определяется условием

Если энергия электрона выражена в эВ и равна U, то

(3.6)

и поэтому

Кругообразное движение заряженных частиц в магнитном поле обладает важной особенностью: время полного обращения частицы по окружности (период движения) не зависит от энергии частицы. Действительно, период обращения равен

Подставляя сюда вместо r его выражение по формуле (3.6), имеем:

(3.7)

Частота же оказывается равной

Для данного типа частиц и период, и частота зависят только от индукции магнитного поля.

Выше мы предполагали, что направление начальной скорости перпендикулярно к направлению магнитного поля. Нетрудно сообразить, какой характер будет иметь движение, если начальная скорость частицы составляет некоторый угол с направлением поля.
В этом случае удобно разложить скорость на две составляющие, одна из которых параллельна полю, а другая перпендикулярна к полю. На частицу действует сила Лоренца, и частица движется по окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной к полю. Составляющая Ut, не вызывает появления добавочной силы, так как сила Лоренца при движении параллельно полю равна нулю. Поэтому в направлении поля частица движется по инерции равномерно, со скоростью

В результате сложения обоих движений частица будет двигаться по цилиндрической спирали.

Шаг винта этой спирали равен

подставляя вместо T его выражение (3.7), имеем:

Эффе́кт Хо́лла - явление возникновения поперечной разности потенциалов (называемой также холловским напряжением) при помещении проводника с постоянным током в магнитное поле. Открыт Эдвином Холлом в 1879 году в тонких пластинках золота. Свойства

В простейшем рассмотрении эффект Холла выглядит следующим образом. Пусть через металлический брус в слабом магнитном поле течёт электрический ток под действиемнапряжённости . Магнитное поле будет отклонять носители заряда (для определённости электроны) от их движения вдоль или против электрического поля к одной из граней бруса. При этом критерием малости будет служить условие, что при этом электрон не начнёт двигаться по циклоиде.

Таким образом, сила Лоренца приведёт к накоплению отрицательного заряда возле одной грани бруска, и положительного - возле противоположной. Накопление заряда будет продолжаться до тех пор, пока возникшее электрическое поле зарядов не скомпенсирует магнитную составляющую силы Лоренца:

Скорость электронов можно выразить через плотность тока:

где - концентрация носителей заряда. Тогда

Коэффициент пропорциональности между и называется коэффициентом (или константой ) Холла . В таком приближении знак постоянной Холла зависит от знака носителей заряда, что позволяет определять их тип для большого числа металлов. Для некоторых металлов (например, таких, как свинец, цинк, железо, кобальт, вольфрам), в сильных полях наблюдается положительный знак , что объясняется в полуклассической и квантовой теориях твёрдого тела.

Электромагнитная индукция - явление возникновения электрического тока в замкнутом контуре при изменении магнитного потока, проходящего через него.

Электромагнитная индукция была открыта Майклом Фарадеем 29 августа [источник не указан 111 дней ] 1831 года. Он обнаружил, что электродвижущая сила, возникающая в замкнутом проводящем контуре, пропорциональна скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную этим контуром. Величина электродвижущей силы (ЭДС) не зависит от того, что является причиной изменения потока - изменение самого магнитного поля или движение контура (или его части) в магнитном поле. Электрический ток, вызванный этой ЭДС, называется индукционным током.