К методам математического моделирования относятся. Основные понятия математического моделирования
Математическое моделирование
1. Что такое математическое моделирование?
С середины XX в. в самых различных областях человеческой деятельности стали широко применять математические методы и ЭВМ. Возникли такие новые дисциплины, как «математическая экономика», «математическая химия», «математическая лингвистика» и т. д., изучающие математические модели соответствующих объектов и явлений, а также методы исследования этих моделей.
Математическая модель - это приближенное описание какого-либо класса явлений или объектов реального мира на языке математики. Основная цель моделирования - исследовать эти объекты и предсказать результаты будущих наблюдений. Однако моделирование - это еще и метод познания окружающего мира, дающий возможность управлять им.
Математическое моделирование и связанный с ним компьютерный эксперимент незаменимы в тех случаях, когда натурный эксперимент невозможен или затруднен по тем или иным причинам. Например, нельзя поставить натурный эксперимент в истории, чтобы проверить, «что было бы, если бы...» Невозможно проверить правильность той или иной космологической теории. В принципе возможно, но вряд ли разумно, поставить эксперимент по распространению какой-либо болезни, например чумы, или осуществить ядерный взрыв, чтобы изучить его последствия. Однако все это вполне можно сделать на компьютере, построив предварительно математические модели изучаемых явлений.
2. Основные этапы математического моделирования
1) Построение модели . На этом этапе задается некоторый «нематематический» объект - явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т. д. При этом, как правило, четкое описание ситуации затруднено. Сначала выявляются основные особенности явления и связи между ними на качественном уровне. Затем найденные качественные зависимости формулируются на языке математики, то есть строится математическая модель. Это самая трудная стадия моделирования.
2) Решение математической задачи, к которой приводит модель . На этом этапе большое внимание уделяется разработке алгоритмов и численных методов решения задачи на ЭВМ, при помощи которых результат может быть найден с необходимой точностью и за допустимое время.
3) Интерпретация полученных следствий из математической модели. Следствия, выведенные из модели на языке математики, интерпретируются на языке, принятом в данной области.
4) Проверка адекватности модели. На этом этапе выясняется, согласуются ли результаты эксперимента с теоретическими следствиями из модели в пределах определенной точности.
5) Модификация модели. На этом этапе происходит либо усложнение модели, чтобы она была более адекватной действительности, либо ее упрощение ради достижения практически приемлемого решения.
3. Классификация моделей
Классифицировать модели можно по разным критериям. Например, по характеру решаемых проблем модели могут быть разделены на функциональные и структурные. В первом случае все величины, характеризующие явление или объект, выражаются количественно. При этом одни из них рассматриваются как независимые переменные, а другие - как функции от этих величин. Математическая модель обычно представляет собой систему уравнений разного типа (дифференциальных, алгебраических и т. д.), устанавливающих количественные зависимости между рассматриваемыми величинами. Во втором случае модель характеризует структуру сложного объекта, состоящего из отдельных частей, между которыми существуют определенные связи. Как правило, эти связи не поддаются количественному измерению. Для построения таких моделей удобно использовать теорию графов. Граф - это математический объект, представляющий собой некоторое множество точек (вершин) на плоскости или в пространстве, некоторые из которых соединены линиями (ребрами).
По характеру исходных данных и результатов предсказания модели могут быть разделены на детерминистические и вероятностно-статистические. Модели первого типа дают определенные, однозначные предсказания. Модели второго типа основаны на статистической информации, а предсказания, полученные с их помощью, имеют вероятностный характер.
4. Примеры математических моделей
1) Задачи о движении снаряда.
Рассмотрим следующую задачу механики.
Снаряд пущен с Земли с начальной скоростью v 0 = 30 м/с под углом a = 45° к ее поверхности; требуется найти траекторию его движения и расстояние S между начальной и конечной точкой этой траектории.
Тогда, как это известно из школьного курса физики, движение снаряда описывается формулами:
где t - время, g = 10 м/с 2 - ускорение свободного падения. Эти формулы и дают математическую модель поставленной задачи. Выражая t через x из первого уравнения и подставляя во второе, получим уравнение траектории движения снаряда:
Эта кривая (парабола) пересекает ось x в двух
точках: x 1 = 0 (начало траектории) и 
(место падения
снаряда). Подставляя в полученные формулы
заданные значения v0 и a, получим
ответ: y = x – 90x 2 , S = 90 м.
Отметим, что при построении этой модели использован ряд предположений: например, считается, что Земля плоская, а воздух и вращение Земли не влияют на движение снаряда.
2) Задача о баке с наименьшей площадью поверхности.
Требуется найти высоту h 0 и радиус r 0 жестяного бака объема V = 30 м 3 , имеющего форму закрытого кругового цилиндра, при которых площадь его поверхности S минимальна (в этом случае на его изготовление пойдет наименьшее количество жести).
Запишем следующие формулы для объема и площади поверхности цилиндра высоты h и радиуса r:
V = p r 2 h, S = 2p r(r + h).
Выражая h через r и V из первой формулы и подставляя полученное выражение во вторую, получим:
Таким образом, с математической точки зрения, задача сводится к определению такого значения r, при котором достигает своего минимума функция S(r). Найдем те значения r 0 , при которых производная
обращается в ноль:
Можно проверить, что вторая производная
функции S(r) меняет знак с минуса на плюс при
переходе аргумента r через точку r 0 .
Следовательно, в точке r0 функция S(r) имеет
минимум. Соответствующее значение h 0 = 2r 0 .
Подставляя в выражение для r 0 и h 0
заданное значение V, получим искомый радиус 
и высоту 
3) Транспортная задача.
В городе имеются два склада муки и два хлебозавода. Ежедневно с первого склада вывозят 50 т муки, а со второго - 70 т на заводы, причем на первый - 40 т, а на второй - 80 т.
Обозначим через a ij стоимость перевозки 1 т муки с i-го склада на j-й завод (i, j = 1,2). Пусть
a 11 = 1,2 р., a 12 = 1,6 р., a 21 = 0,8 р., a 22 = 1 р.
Как нужно спланировать перевозки, чтобы их стоимость была минимальной?
Придадим задаче математическую формулировку. Обозначим через x 1 и x 2 количество муки, которое надо перевезти с первого склада на первый и второй заводы, а через x 3 и x 4 - со второго склада на первый и второй заводы соответственно. Тогда:
x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)
Общая стоимость всех перевозок определяется формулой
f = 1,2x 1 + 1,6x 2 + 0,8x 3 + x 4 .
С математической точки зрения, задача заключается в том, чтобы найти четыре числа x 1 , x 2 , x 3 и x 4 , удовлетворяющие всем заданным условиям и дающим минимум функции f. Решим систему уравнений (1) относительно xi (i = 1, 2, 3, 4) методом исключения неизвестных. Получим, что
x 1 = x 4 – 30, x 2 = 80 – x 4 , x 3 = 70 – x 4 , (2)
а x 4 не может быть определено однозначно. Так как x i і 0 (i = 1, 2, 3, 4), то из уравнений (2) следует, что 30Ј x 4 Ј 70. Подставляя выражение для x 1 , x 2 , x 3 в формулу для f, получим
f = 148 – 0,2x 4 .
Легко видеть, что минимум этой функции достигается при максимально возможном значении x 4 , то есть при x 4 = 70. Соответствующие значения других неизвестных определяются по формулам (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.
4) Задача о радиоактивном распаде.
Пусть N(0) - исходное количество атомов
радиоактивного вещества, а N(t) - количество
нераспавшихся атомов в момент времени t.
Экспериментально установлено, что скорость
изменения количества этих атомов N"(t)
пропорциональна N(t), то есть N"(t)=–l
N(t),
l
>0 - константа
радиоактивности данного вещества. В школьном
курсе математического анализа показано, что
решение этого дифференциального уравнения имеет
вид N(t) = N(0)e –l
t . Время T, за
которое число исходных атомов уменьшилось вдвое,
называется периодом полураспада, и является
важной характеристикой радиоактивности
вещества. Для определения T надо положить в
формуле 
Тогда 
Например, для
радона l
= 2,084 ·
10 –6 ,
и следовательно, T = 3,15 сут.
5) Задача о коммивояжере.
Коммивояжеру, живущему в городе A 1 , надо посетить города A 2 , A 3 и A 4 , причем каждый город точно один раз, и затем вернуться обратно в A 1 . Известно, что все города попарно соединены между собой дорогами, причем длины дорог b ij между городами A i и A j (i, j = 1, 2, 3, 4) таковы:
b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.
Надо
определить порядок посещения городов, при
котором длина соответствующего пути минимальна.
Изобразим каждый город точкой на плоскости и пометим ее соответствующей меткой Ai (i = 1, 2, 3, 4). Соединим эти точки отрезками прямых: они будут изображать дороги между городами. Для каждой «дороги» укажем ее протяженность в километрах (рис. 2). Получился граф - математический объект, состоящий из некоторого множества точек на плоскости (называемых вершинами) и некоторого множества линий, соединяющих эти точки (называемых ребрами). Более того, этот граф меченый, так как его вершинам и ребрам приписаны некоторые метки - числа (ребрам) или символы (вершинам). Циклом на графе называется последовательность вершин V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 такая, что вершины V 1 , ..., V k - различны, а любая пара вершин V i , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) и пара V 1 , V k соединены ребром. Таким образом, рассматриваемая задача заключается в отыскании такого цикла на графе, проходящего через все четыре вершины, для которого сумма всех весов ребер минимальна. Найдем перебором все различные циклы, проходящие через четыре вершины и начинающиеся в A 1:
1) A 1 , A 4 , A 3 , A 2 , A 1 ;
2) A 1 , A 3 , A 2 , A 4 , A 1 ;
3) A 1 , A 3 , A 4 , A 2 , A 1 .
Найдем теперь длины этих циклов (в км): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Итак, маршрут наименьшей длины - это первый.
Заметим, что если в графе n вершин и все вершины попарно соединены между собой ребрами (такой граф называется полным), то число циклов, проходящих через все вершины, равно Следовательно, в нашем случае имеется ровно три цикла.
6) Задача о нахождении связи между структурой и свойствами веществ.
Рассмотрим
несколько химических соединений, называемых
нормальными алканами. Они состоят из n атомов
углерода и n + 2 атомов водорода (n = 1, 2 ...), связанных
между собой так, как показано на рисунке 3 для n = 3.
Пусть известны экспериментальные значения
температур кипения этих соединений:
y э (3) = – 42°, y э (4) = 0°, y э (5) = 28°, y э (6) = 69°.
Требуется найти приближенную зависимость между температурой кипения и числом n для этих соединений. Предположим, что эта зависимость имеет вид
y » a n + b,
где a , b - константы, подлежащие определению. Для нахождения a и b подставим в эту формулу последовательно n = 3, 4, 5, 6 и соответствующие значения температур кипения. Имеем:
– 42 » 3a + b, 0 » 4a + b, 28 » 5a + b, 69 » 6a + b.
Для определения наилучших a и b существует много разных методов. Воспользуемся наиболее простым из них. Выразим b через a из этих уравнений:
b » – 42 – 3a , b » – 4a , b » 28 – 5a , b » 69 – 6a .
Возьмем в качестве искомого b среднее арифметическое этих значений, то есть положим b » 16 – 4,5a . Подставим в исходную систему уравнений это значение b и, вычисляя a , получим для a следующие значения: a » 37, a » 28, a » 28, a » 36. Возьмем в качестве искомого a среднее значение этих чисел, то есть положим a » 34. Итак, искомое уравнение имеет вид
y » 34n – 139.
Проверим точность модели на исходных четырех соединениях, для чего вычислим температуры кипения по полученной формуле:
y р (3) = – 37°, y р (4) = – 3°, y р (5) = 31°, y р (6) = 65°.
Таким образом, ошибка расчетов данного свойства для этих соединений не превышает 5°. Используем полученное уравнение для расчета температуры кипения соединения с n = 7, не входящего в исходное множество, для чего подставим в это уравнение n = 7: y р (7) = 99°. Результат получился довольно точный: известно, что экспериментальное значение температуры кипения y э (7) = 98°.
7) Задача об определении надежности электрической цепи.
Здесь мы рассмотрим пример вероятностной модели. Сначала приведем некоторые сведения из теории вероятностей - математической дисциплины, изучающей закономерности случайных явлений, наблюдаемых при многократном повторении опыта. Назовем случайным событием A возможный исход некоторого опыта. События A 1 , ..., A k образуют полную группу, если в результате опыта обязательно происходит одно из них. События называются несовместными, если они не могут произойти одновременно в одном опыте. Пусть при n-кратном повторении опыта событие A произошло m раз. Частотой события A называется число W = . Очевидно, что значение W нельзя предсказать точно до проведения серии из n опытов. Однако природа случайных событий такова, что на практике иногда наблюдается следующий эффект: при увеличении числа опытов значение практически перестает быть случайным и стабилизируется около некоторого неслучайного числа P(A), называемого вероятностью события A. Для невозможного события (которое никогда не происходит в опыте) P(A)=0, а для достоверного события (которое всегда происходит в опыте) P(A)=1. Если события A 1 , ..., A k образуют полную группу несовместимых событий, то P(A 1)+...+P(A k)=1.
Пусть, например, опыт состоит в подбрасывании игральной кости и наблюдении числа выпавших очков X. Тогда можно ввести следующие случайные события A i ={X = i}, i = 1, ..., 6. Они образуют полную группу несовместных равновероятных событий, поэтому P(A i) = (i = 1, ..., 6).
Суммой событий A и B называется событие A + B, состоящее в том, что в опыте происходит хотя бы одно из них. Произведением событий A и B называется событие AB, состоящее в одновременном появлении этих событий. Для независимых событий A и B верны формулы
P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).
8) Рассмотрим теперь следующую задачу . Предположим, что в электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо друг от друга. Вероятности отказов 1-го, 2-го и 3-го элементов соответственно равны P 1 = 0,1, P 2 = 0,15, P 3 = 0,2. Будем считать цепь надежной, если вероятность того, что в цепи не будет тока, не более 0,4. Требуется определить, является ли данная цепь надежной.
Так как элементы включены последовательно, то тока в цепи не будет (событие A), если откажет хотя бы один из элементов. Пусть A i - событие, заключающееся в том, что i-й элемент работает (i = 1, 2, 3). Тогда P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Очевидно, что A 1 A 2 A 3 - событие, заключающееся в том, что одновременно работают все три элемента, и
P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0,612.
Тогда P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, поэтому P(A) = 0,388 < 0,4. Следовательно, цепь является надежной.
В заключение отметим, что приведенные примеры математических моделей (среди которых есть функциональные и структурные, детерминистические и вероятностные) носят иллюстративный характер и, очевидно, не исчерпывают всего разнообразия математических моделей, возникающих в естественных и гуманитарных науках.
Содержание Предмет математического моделирования. Основы моделирования. Понятие модели. Принцип моделирования. Моделирование как метод научного познания. Этапы моделирования. Характеристика 1 – 2 этапов. Этапы моделирования. Характеристика 3 – 4 этапов. Классификация моделей. Общий обзор. Классификация экономико-математических моделей. Этапы экономико-математического моделирования. Математическая модель. Линейное программирование. Постановка задачи линейного программирования. Геометрическая интерпретация и графическое решение задачи линейного программирования. Симплексный метод. Построение начального опорного плана. Симплексные таблицы. Признак оптимальности опорного плана. Понятие двойственности. Построение двойственных задач и их свойства. Транспортная задача. Построение исходного опорного плана. Транспортная задача. Метод потенциалов.
Содержание Основные понятия и определения теории графов. Упорядочение элементов орграфа. Алгоритм Фалкерсона. Решение задач о нахождении кратчайших путей в графе. Задача о максимальном потоке и ее приложения. Транспортная задача в сетевой постановке. Элементы сетевого планирования. Принципы динамического программирования, вычислительная процедура метода. Метод Монте-Карло. Суть метода. Решение задач методом Монте-Карло. Элементы теории матричных игр. Парные матричные игры с нулевой суммой. Методы решения матричных игр. Игры с природой. Критерии для принятия решения. Пакет Maple 7. Общий обзор пакета. Его возможности. Интерфейс программы, работа с командами. Использование переменных. Работа с таблицами.
Предмет математического моделирования. Основы моделирования Математическое моделирование - это исследование явлений, процессов, систем или объектов путем построения и изучения их моделей и использования последних для определения или уточнения характеристик и рациональных способов построения вновь конструируемых технологических процессов, систем и объектов. Математическая модель - это абстракция реального мира, в которой интересующие исследователя отношения между реальными элементами заменены подходящими отношениями между математическими категориями. Эти отношения, как правило, представлены в форме уравнений и (или) неравенств, характеризующих функционирование моделируемой реальной системы. Искусство построения математических моделей состоит в том, чтобы совместить как можно большую лаконичность в ее математическом описании с достаточной точностью модельного воспроизводства именно тех сторон анализируемой реальности, которые интересуют исследователя. Меню Моделирование - творческий процесс, требующий серьезной подготовки и переработки большого объема информации, сочетающий в себе трудоемкость и эвристические начала и носящий вероятностный характер.
Понятие модели. Моделирование как метод научного познания Модель - это некоторое упрощенное подобие реального объекта, явления или процесса. Модель - это такой материальный или мысленно представляемый объект, который замещает объект-оригинал с целью его исследования, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные черты и свойства оригинала. Хорошо построенная модель, как правило, доступнее для исследования, чем реальный объект (например, такой, как экономика страны, Солнечная система и т. п.). Другое, не менее важное назначение модели состоит в том, что с ее помощью выявляются наиболее существенные факторы, формирующие те или иные свойства объекта. Модель также позволяет учиться управлять объектом, что важно в тех случаях, когда экспериментировать с объектом бывает неудобно, трудно или невозможно (например, когда эксперимент имеет большую продолжительность или когда существует риск привести объект в нежелательное или необратимое состояние). Таким образом, можно сделать вывод, что модель необходима для того, чтобы: понять, как устроен конкретный объект - каковы его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром; научиться управлять объектом или процессом и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях (оптимизация); Меню прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект, процесс.
Этапы моделирования Характеристика 1 этапа I этап. Постановка задачи Под задачей в самом общем смысле понимается некая проблема, которую надо решить. Главное - определить объект моделирования и понять, что собой должен представлять результат. По характеру постановки все задачи можно разделить на две основные группы. К первой группе можно отнести задачи, в которых требуется исследовать, как изменяется характеристика объекта при некотором воздействии на него. Такую постановку задачи принято называть "что будет, если. . . ". Вторая группа задач имеет такую обобщенную формулировку: какое надо произвести воздействие на объект, чтобы его параметры удовлетворяли некоторому заданному условию? Такая постановка задачи часто называется "как сделать, чтобы. . . ". Цели моделирования определяются расчетными параметрами модели. Чаще всего это поиск ответа на вопрос, поставленный в формулировке задачи. Далее переходят к описанию объекта или процесса. На этой стадии выявляются факторы, от которых зависит поведение модели. При моделировании в электронных таблицах учитывать можно только те параметры, которые имеют количественные характеристики. Иногда задача может быть уже сформулирована в упрощенном виде, и в ней четко поставлены цели и определены параметры модели, которые надо учесть. При анализе объекта необходимо ответить на следующий вопрос: можно ли исследуемый объект или процесс рассматривать как единое целое или же это система, состоящая из более простых объектов? Если это единое целое, то можно перейти к построению информационной модели. Если система - надо перейти к анализу объектов, ее составляющих, определить связи между ними. Меню
Этапы моделирования Характеристика 2 этапа II этап. Разработка модели По результатам анализа объекта составляется информационная модель. В ней детально описываются все свойства объекта, их параметры, действия и взаимосвязи. Далее информационная модель должна быть выражена в одной из знаковых форм. Учитывая, что мы будем работать в среде электронных таблиц, то информационную модель необходимо преобразовать в математическую. На основе информационной и математической моделей составляется компьютерная модель в форме таблиц, в которой выделяются три области данных: исходные данные, промежуточные расчеты, результаты. Исходные данные вводятся "вручную". Расчеты, как промежуточные, так и окончательные, проводятся по формулам, записанным по правилам электронных таблиц. Меню
Этапы моделирования Характеристика 3 этапа III этап. Компьютерный эксперимент Чтобы дать жизнь новым конструкторским разработкам, внедрить новые технические решения в производство или проверить новые идеи, нужен эксперимент. В недалеком прошлом такой эксперимент можно было провести либо в лабораторных условиях на специально создаваемых для него установках, либо на натуре, т. е. на настоящем образце изделия, подвергая его всяческим испытаниям. Это требует больших материальных затрат и времени. В помощь пришли компьютерные исследования моделей. При проведении компьютерного эксперимента проверяют правильность построения моделей. Изучают поведение модели при различных параметрах объекта. Каждый эксперимент сопровождается осмыслением результатов. Если результаты компьютерного эксперимента противоречат смыслу решаемой задачи, то ошибку надо искать в неправильно выбранной модели или в алгоритме и методе ее решения. После выявления и устранения ошибок компьютерный эксперимент повторяется. Меню
Этапы моделирования Характеристика 4 этапа IV этап. Анализ результатов моделирования Заключительный этап моделирования - анализ модели. По полученным расчетным данным проверяется, насколько расчеты отвечают нашему представлению и целям моделирования. На этом этапе определяются рекомендации по совершенствованию принятой модели и, если возможно, объекта или процесса. Меню
Классификация моделей Классификация по области использования Учебные: наглядные пособия, различные тренажеры, обучающие программы. Опытные: уменьшенные или увеличенные копии исследуемого объекта для дальнейшего изучения (модели корабля, автомобиля, самолета, гидростанции). Научно-технические модели создают для исследования процессов и явлений (стенд для проверки телевизоров; синхротрон - ускоритель электронов и др.). Игровые: военные, экономические, спортивные, деловые игры. Имитационные: отражают реальность с той или иной степенью точности (испытание нового лекарственного средства в ряде опытах на мышах; эксперименты по внедрению в производство новой технологии). Классификация с учетом фактора времени Статическая модель - модель объекта в данный момент времени. Динамическая модель позволяет увидеть изменения объекта во времени. Меню
Классификация моделей Классификация по способу представления Материальная модель - это физическое подобие объекта. Они воспроизводят геометрические и физические свойства оригинала (чучела птиц, муляжи животных, внутренних органов человеческого организма, географические и исторические карты, схема солнечной системы). Информационная модель - это совокупность информации, характеризующая свойства и состояния объекта, процесса, явления, а также взаимосвязь с внешним миром. Любая информационная модель содержит лишь существенные сведения об объекте с учетом той цели, для которой она создается. Информационные модели одного и того же объекта, предназначенные для разных целей, могут быть совершенно разными. Вербальная модель - информационная модель в мысленной или разговорной форме. Знаковая модель - информационная модель, выраженная специальными знаками, т. е. средствами любого формального языка. Знаковые модели - это рисунки, тексты, графики, схемы, таблицы и т. д. Компьютерная модель - модель, реализованная средствами программной среды. Прежде чем построить модель объекта (явления, процесса), необходимо выделить составляющие его элементы и связи между ними (провести системный анализ) и "перевести" полученную структуру в какую-либо заранее определенную форму - формализовать информацию. Меню Формализация - это процесс выделения и перевода внутренней структуры предмета, явления или процесса в определенную информационную структуру - форму.
Классификация экономикоматематических моделей Экономико-математические модели – модели управляемых и регулируемых экономических процессов, использующиеся для преобразования экономической действительности. Адекватность моделей объектам моделирования определяется по совпадению результатов исследования с наблюдаемыми фактами. Практика в этом случае означает действительность. По целевому назначению экономико-математические модели бывают Теоретико-аналитические Прикладные Экономико-математические модели делятся на модели всего народного хозяйства и его подсистем (отраслей, регионов и т. д.) Модели бывают функциональные и структурные. Модели бывают дескрептивные и нормативные. Дескрептивные модели отвечают на вопрос, как это происходит и как может дальше развиваться? Нормативные модели отвечают на вопрос как это должно быть? То есть предполагают целенаправленную деятельность. Различают модели жёстко детерминистские и модели, учитывающие случайность и неопределённость. Модели бывают статически и динамические. По длительности рассматриваемого периода различают модели краткосрочного (1 -5 лет) и долгосрочного (10 -15 и более лет) прогнозирования, планирования. Само время в таких моделях может изменяться либо, непрерывно либо дискретно. Меню Модели могут быть линейные и нелинейные.
Этапы экономико-математического моделирования. Постановка экономической проблемы и её анализ. Главное – определить сущность проблемы, принимаемые допущения и те вопросы на которые, требуется получить ответы. Этап включает выделение важнейших черт и свойств объекта, абстрагирование от второстепенных. Формирование гипотез, если требуется, объясняющих поведение и развитие объекта. Построение математической модели. Этап формализации экономической проблемы. Неправильно полагать, что чем больше фактов учитывает модель, тем она лучше. Изменение сложности и громоздкости модели затрудняет процесс исследования. Нужно учитывать реальные возможности информационного и математического обеспечения. Нужно сопоставить затраты на моделирование с получаемым эффектом. Одной из важнейших особенностей математической модели является потенциальная возможность их использования для решения разных задач. Меню
Этапы экономико-математического моделирования. Математический анализ модели. Целью данного этапа является выяснение общих свойств модели. Важный момент – доказательство существования решения. Подготовка исходной информации Надо учитывать за какие сроки будет собрана нужная информация, учитывать затраты на подготовку информации. В процессе подготовки широко используются методы теории вероятности, теоретической и математической статистики. Численное решение. Разработка алгоритмов для численного решения задачи, составления программ для компьютера и непосредственно проведение расчетов. Трудность на этом этапе создаёт большая размерность экономических задач и необходимость обработки значительных массивов информации. Меню Анализ численных результатов и их применение. На этом этапе встаёт вопрос о правильности и полноте результатов моделирования, о степени их практической применимости.
Линейное программирование. Это раздел математического моделирования, все зависимости которого линейны. Математическая модель любой задачи линейного программирования имеет вид Z= max(min) Меню Условия не отрицательности Xj ≥ 0
Пример: При изготовлении изделий u 1 и u 2 используются токарные и фрезерные станки, а также сталь и цветные металлы, по технологическим нормам на производство единице изделия u 1 требуется 300 и 200 единиц соответственно токарного и фрезерного оборудования (в часах), и 10 и 20 единиц стали и цветных металлов (в кг.). для производства изделия u 2 требуется 400, 100, 70, 50 соответственно единиц тех же ресурсов. Цех располагает 12400 и 6800 часами, 640 и 840 кг. материала. Прибыль от реализации единице изделия u 1=6000 ден. ед. , u 2=16000 ден. ед. Требуется: Свести исходные данные в таблицу, удобную для построения модели. Составить математическую модель задачи. Определить план выпуска изделий, обеспечить max прибыль при условие что, время работы фрезерных станков должно быть использовано полностью.
Решение: Пусть х1 - число изделий u 1, а х2 – число изделий u 2, z – суммарная прибыль.
Линейное программирование. Эта общая или производная форма записи. Переменные Xj, которые удовлетворяют системе ограничений и условию не отрицательности, называются допустимыми. Допустимые переменные, которые превращают целевую функцию в max или min, называются оптимальными. Методы решения таких задач подразделяются на универсальные и специальные. Универсальным методом решают любые ЗЛП. Специальные методы учитывают особенности модели. Особенностью ЗЛП является то, что max (min) целевая функция достигает на границе области допустимых решений. К ЗЛП относятся: задача о выборе оптимальных технологий; задача о смесях; задача о раскрое материала; транспортная задача; Меню задача о наилучшем использовании ресурсов; задача о размещении заказа;
Постановка задачи линейного программирования Любая ЗЛП записывается с помощью математической модели. Существует 3 формы записи ЗЛП Меню Общая (произвольная)
Постановка задачи линейного программирования Все эти формы эквивалентны. Чтобы от max перейти к min (или наоборот) надо поменять знаки у каждого слагаемого в записи целевой функции. Чтобы превратить неравенство вида в неравенство вида (и наоборот) нужно обе части неравенства умножить на -1. Меню Каноническая (основная) Чтобы неравенство превратить в равенство (и наоборот) нужно добавить или отнять от левой части дополнительную неотрицательную переменную, она называется балансовой. При записи целевой функции она имеет коэффициент =0.
Решение практических задач математическими методами последовательно осуществляется путем формулировки задачи (разработки математической модели), выбора метода исследования полученной математической модели, анализа полученного математического результата. Математическая формулировка задачи обычно представляется в виде геометрических образов, функций, систем уравнений и т.п. Описание объекта (явления) может быть представлено с помощью непрерывной или дискретной, детерминированной или стохастической и другими математическими формами.
Теория математического моделирования обеспечивает выявление закономерностей протекания различных явлений окружающего мира или работы систем и устройств путем их математического описания и моделирования без проведения натурных испытаний. При этом используются положения и законы математики, описывающие моделируемые явления, системы или устройства на некотором уровне их идеализации.
Математическая модель (ММ) представляет собой формализованное описание системы (или операции) на некотором абстрактном языке, например, в виде совокупности математических соотношений или схемы алгоритма, т. е. такое математическое описание, которое обеспечивает имитацию работы систем или устройств на уровне, достаточно близком к их реальному поведению, получаемому при натурных испытаниях систем или устройств. Любая ММ описывает реальный объект, явление или процесс с некоторой степенью приближения к действительности. Вид ММ зависит как от природы реального объекта, так и от задач исследования.
Математическое моделирование общественных, экономических, биологических и физических явлений, объектов, систем и различных устройств является одним из важнейших средств познания природы и проектирования самых разнообразных систем и устройств. Известны примеры эффективного использования моделирования в создании ядерных технологий, авиационных и аэрокосмических систем, в прогнозе атмосферных и океанических явлений, погоды и т.д.
Однако для таких серьезных сфер моделирования нередко нужны суперкомпьютеры и годы работы крупных коллективов ученых по подготовке данных для моделирования и его отладки. Тем не менее, и в этом случае математическое моделирование сложных систем и устройств не только экономит средства на проведение исследований и испытаний, но и может устранить экологические катастрофы – например, позволяет отказаться от испытаний ядерного и термоядерного оружия в пользу его математического моделирования или испытаний аэрокосмических систем перед их реальными полетами.
Между тем математическое моделирование на уровне решения более простых задач, например, из области механики, электротехники, электроники, радиотехники и многих других областей науки и техники в настоящее время стало доступным выполнять на современных ПК. А при использовании обобщенных моделей становится возможным моделирование и достаточно сложных систем, например, телекоммуникационных систем и сетей, радиолокационных или радионавигационных комплексов.
Целью математического моделирования является анализ реальных процессов (в природе или технике) математическими методами. В свою очередь, это требует формализации ММ процесса, подлежащего исследованию. Модель может представлять собой математическое выражение, содержащее переменные, поведение которых аналогично поведению реальной системы. Модель может включать элементы случайности, учитывающие вероятности возможных действий двух или большего числа «игроков», как, например, в теории игр; либо она может представлять реальные переменные параметры взаимосвязанных частей действующей системы.
Математическое моделирование для исследования характеристик систем можно разделить на аналитическое, имитационное и комбинированное. В свою очередь, ММ делятся на имитационные и аналитические.
Математические модели
Математическая модель - приближенное опи сание объекта моделирования, выраженное с помо щью математической символики.
Математические модели появились вместе с математикой много веков назад. Огромный толчок развитию математического моделирования придало появление ЭВМ. Применение вычислительных машин позволило проанализировать и применить на практике многие математические модели, которые раньше не поддавались аналитическому исследованию. Реализованная на компьютере математиче ская модель называется компьютерной математической моделью , а проведение целенаправленных расчетов с помощью компьютерной модели называется вычислительным экспериментом .
Этапы компьютерного математического мо делирования изображены на рисунке. Первый этап - определение целей моделирования. Эти цели могут быть различными:
- модель нужна для того, чтобы понять, как устроен конкретный объект, какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия
с окружающим миром (понимание); - модель нужна для того, чтобы научиться управлять объектом (или процессом) и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях (управление);
- модель нужна для того, чтобы прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект (прогнозирование).
Пример совсем из другой области: мирно сосуществовавшие со стабильными численностями популяции двух видов особей, имеющих общую кормовую базу, "вдруг" начинают резко менять численность. И здесь математическое моделирование позволяет (с известной долей достоверности) установить причину (или по крайней мере опровергнуть определенную гипотезу).
Выработка концепции управления объектом - другая возможная цель моделирования. Какой режим полета самолета выбрать для того, чтобы полет был безопасным и экономически наиболее выгодным? Как составить график выполнения сотен видов работ на строительстве большого объекта, чтобы оно закончилось в максимально короткий срок? Множество таких проблем систематически возникает перед экономистами, конструкторами, учеными.
Наконец, прогнозирование последствий тех или иных воздействий на объект может быть как относительно простым делом в несложных физических системах, так и чрезвычайно сложным - на грани выполнимости - в системах биолого-экономических, социальных. Если ответить на вопрос об изменении режима распространения тепла в тонком стержне при изменениях в составляющем его сплаве относительно легко, то проследить (предсказать) экологические и климатические последствия строительства крупной ГЭС или социальные последствия изменений налогового законодательства несравненно труднее. Возможно, и здесь методы математического моделирования будут оказывать в будущем более значительную помощь.
Второй этап: определение входных и выходных параметров модели; разделение входных параметров по степени важности влияния их изменений на выходные. Такой процесс называется ранжированием, или разделением по рангам (см. "Формализа ция и моделирование" ).
Третий этап: построение математической модели. На этом этапе происходит переход от абстрактной формулировки модели к формулировке, имеющей конкретное математическое представление. Математическая модель - это уравнения, системы уравнений, системы неравенств, дифференциальные уравнения или системы таких уравнений и пр.
Четвертый этап: выбор метода исследования математической модели. Чаще всего здесь используются численные методы, которые хорошо поддаются программированию. Как правило, для решения одной и той же задачи подходит несколько методов, различающихся точностью, устойчивостью и т.д. От верного выбора метода часто зависит успех всего процесса моделирования.
Пятый этап: разработка алгоритма, составление и отладка программы для ЭВМ - трудно формализуемый процесс. Из языков программирования многие профессионалы для математического моделирования предпочитают FORTRAN: как в силу традиций, так и в силу непревзойденной эффективности компиляторов (для расчетных работ) и наличия написанных на нем огромных, тщательно отлаженных и оптимизированных библиотек стандартных программ математических методов. В ходу и такие языки, как PASCAL, BASIC, С, - в зависимости от характера задачи и склонностей программиста.
Шестой этап: тестирование программы. Работа программы проверяется на тестовой задаче с заранее известным ответом. Это - лишь начало процедуры тестирования, которую трудно описать формально исчерпывающим образом. Обычно тестирование заканчивается тогда, когда пользователь по своим профессиональным признакам сочтет программу верной.
Седьмой этап: собственно вычислительный эксперимент, в процессе которого выясняется, соответствует ли модель реальному объекту (процессу). Модель достаточно адекватна реальному процессу, если некоторые характеристики процесса, полученные на ЭВМ, совпадают с экспериментально полученными характеристиками с заданной степенью точности. В случае несоответствия модели реальному процессу возвращаемся к одному из предыдущих этапов.
Классификация математических моделей
В основу классификации математических моделей можно положить различные принципы. Можно классифицировать модели по отраслям наук (математические модели в физике, биологии, социологии и т.д.). Можно классифицировать по применяемому математическому аппарату (модели, основанные на применении обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных, стохастических методов, дискретных алгебраических преобразований и т.д.). Наконец, если исходить из общих задач моделирования в разных науках безотносительно к математическому аппарату, наиболее естественна такая классификация:
- дескриптивные (описательные) модели;
- оптимизационные модели;
- многокритериальные модели;
- игровые модели.
Поясним это на примерах.
Дескриптивные (описательные) модели . Например, моделирование движения кометы, вторгшейся в Солнечную систему, производится с целью предсказания траектории ее полета, расстояния, на котором она пройдет от Земли, и т.д. В этом случае цели моделирования носят описательный характер, поскольку нет никаких возможностей повлиять на движение кометы, что-то в нем изменить.
Оптимизационные модели используются для описания процессов, на которые можно воздействовать, пытаясь добиться достижения заданной цели. В этом случае в модель входит один или несколько параметров, доступных влиянию. Например, меняя тепловой режим в зернохранилище, можно задаться целью подобрать такой режим, чтобы достичь максимальной сохранности зерна, т.е. оптимизировать процесс хранения.
Многокритериальные модели . Нередко приходится оптимизировать процесс по нескольким параметрам одновременно, причем цели могут быть весьма противоречивыми. Например, зная цены на продукты и потребность человека в пище, нужно организовать питание больших групп людей (в армии, детском летнем лагере и др.) физиологически правильно и, одновременно с этим, как можно дешевле. Ясно, что эти цели совсем не совпадают, т.е. при моделировании будет использоваться несколько критериев, между которыми нужно искать баланс.
Игровые модели могут иметь отношение не только к компьютерным играм, но и к весьма серьезным вещам. Например, полководец перед сражением при наличии неполной информации о противостоящей армии должен разработать план: в каком порядке вводить в бой те или иные части и т.д., учитывая и возможную реакцию противника. Есть специальный раздел современной математики - теория игр, - изучающий методы принятия решений в условиях неполной информации.
В школьном курсе информатики начальное представление о компьютерном математическом моделировании ученики получают в рамках базового курса. В старших классах математическое моделирование может глубоко изучаться в общеобразовательном курсе для классов физико-математического профиля, а также в рамках специализированного элективного курса.
Основными формами обучения компьютерному математическому моделированию в старших классах являются лекционные, лабораторные и зачетные занятия. Обычно работа по созданию и подготовке к изучению каждой новой модели занимает 3-4 урока. В ходе изложения материала ставятся задачи, которые в дальнейшем должны быть решены учащимися самостоятельно, в общих чертах намечаются пути их решения. Формулируются вопросы, ответы на которые должны быть получены при выполнении заданий. Указывается дополнительная литература, позволяющая получить вспомогательные сведения для более успешного выполнения заданий.
Формой организации занятий при изучении нового материала обычно служит лекция. После завершения обсуждения очередной модели учащиеся имеют в своем распоряжении необходимые теоретические сведения и набор заданий для дальнейшей работы. В ходе подготовки к выполнению задания учащиеся выбирают подходящий метод решения, с помощью какого-либо известного частного решения тестируют разработанную программу. В случае вполне возможных затруднений при выполнении заданий дается консультация, делается предложение более детально проработать указанные разделы в литературных источниках.
Наиболее соответствующим практической части обучения компьютерному моделированию является метод проектов. Задание формулируется для ученика в виде учебного проекта и выполняется в течение нескольких уроков, причем основной организационной формой при этом являются компьютерные лабораторные работы. Обучение моделированию с помощью метода учебных проектов может быть реализовано на разных уровнях. Первый - проблемное изложение процесса выполнения проекта, которое ведет учитель. Второй - выполнение проекта учащимися под руководством учителя. Третий - самостоятельное выполнение учащимися учебного исследовательского проекта.
Результаты работы должны быть представлены в численном виде, в виде графиков, диаграмм. Если имеется возможность, процесс представляется на экране ЭВМ в динамике. По окончанию расчетов и получению результатов проводится их анализ, сравнение с известными фактами из теории, подтверждается достоверность и проводится содержательная интерпретация, что в дальнейшем отражается в письменном отчете.
Если результаты удовлетворяют ученика и учителя, то работа считается завершенной, и ее конечным этапом является составление отчета. Отчет включает в себя краткие теоретические сведения по изучаемой теме, математическую постановку задачи, алгоритм решения и его обоснование, программу для ЭВМ, результаты работы программы, анализ результатов и выводы, список использованной литературы.
Когда все отчеты составлены, на зачетном занятии учащиеся выступают с краткими сообщениями о проделанной работе, защищают свой проект. Это является эффективной формой отчета группы, выполняющей проект, перед классом, включая постановку задачи, построение формальной модели, выбор методов работы с моделью, реализацию модели на компьютере, работу с готовой моделью, интерпретацию полученных результатов, прогнозирование. В итоге учащиеся могут получить две оценки: первую - за проработанность проекта и успешность его защиты, вторую - за программу, оптимальность ее алгоритма, интерфейс и т.д. Учащиеся получают отметки и в ходе опросов по теории.
Существенный вопрос - каким инструментарием пользоваться в школьном курсе информатики для математического моделирования? Компьютерная реализация моделей может быть осуществлена:
- с помощью табличного процессора (как правило, MS Excel);
- путем создания программ на традиционных языках программирования (Паскаль, Бейсик и др.), а также на их современных версиях (Delphi, Visual
Basic for Application и т.п.); - с помощью специальных пакетов прикладных программ для решения математических задач (MathCAD и т.п.).
На уровне основной школы первое средство представляется более предпочтительным. Однако в старшей школе, когда программирование является, наряду с моделированием, ключевой темой информатики, желательно привлекать его в качестве инструмента моделирования. В процессе программирования учащимся становятся доступными детали математических процедур; более того, они просто вынуждены их осваивать, а это способствует и математическому образованию. Что же касается использования специальных пакетов программ, то это уместно в профильном курсе информатики в качестве дополнения к другим инструментам.
Задание :
- Составить схему ключевых понятий.